Jak działa notacja Bra-Ket?

29

Algorytmy kwantowe często używają notacji bra-ket w swoim opisie. Co oznaczają wszystkie te nawiasy i linie pionowe? Na przykład: $|ψ⟩=α|0⟩+β|1⟩$

Chociaż jest to prawdopodobnie pytanie dotyczące matematyki, ten typ notacji wydaje się być często używany w przypadku obliczeń kwantowych. Nie jestem pewien, czy kiedykolwiek widziałem go używanego w innych kontekstach.

Edytować

Przez ostatnią część rozumiem, że możliwe jest oznaczenie wektorów i produktów wewnętrznych za pomocą standardowej notacji dla algebry liniowej, a niektóre inne pola, które używają tych obiektów i operatorów, robią to bez użycia notacji bra-ket.

To prowadzi mnie do wniosku, że istnieje pewna różnica / powód, dla którego bra-ket jest szczególnie przydatny do oznaczania algorytmów kwantowych. To nie jest twierdzenie faktu, miałem na myśli to spostrzeżenie. „Nie jestem pewien, czy widziałem go używanego gdzie indziej” nie jest tym samym stwierdzeniem, co „Nie jest używany w żadnym innym kontekście”.

notation

— Ella Rose
źródło

3

Powiązane: Jak

T E X

$\TeX$ notacja bra-ket na Meta.

— Nat

18

Jak już wyjaśnili inni, ket to tylko wektor. Brajest koniugatem hermitowskim wektora. Wektor można pomnożyć przez liczbę w zwykły sposób. $\left|\psi\right>$ $\left<\psi\right|$

Teraz jest zabawa: możesz napisać iloczyn skalarny dwóch wektorów i jako . $\left|\psi\right>$ $\left|\phi\right>$ $\left<\phi\middle|\psi\right>$

Możesz zastosować operator do wektora (w skończonych wymiarach jest to tylko mnożenie macierzy) . $X\left|\psi\right>$

Podsumowując, notacja jest bardzo przydatna i intuicyjna. Aby uzyskać więcej informacji, zobacz artykuł w Wikipedii lub podręcznik na temat mechaniki kwantowej.

— jknappen - Przywróć Monikę
źródło

„stanik jest koniugatem hermitowskim”. Czym jest hermitowski koniugat wektora? I czy tylko wewnętrzny produkt wektorów i ?

⟨ ϕ | ψ ⟩

$\langle\phi|\psi\rangle$

ϕ^{⊤} ψ

$\phi^\top \psi$

ϕ

$\phi$

ψ

$\psi$

— develarist

Istnieją dwa rodzaje wektorów: wektory kolumnowe i wektory rzędowe. Koniugat hermitowski wektora kolumnowego jest wektorem rzędowym o złożonych sprzężonych elementach i odwrotnie.

— jknappen - Przywróć Monikę

złożone elementy sprzężone?

— develarist

Elementy jak w elementach macierzowych. Możesz także użyć terminu „składniki”, który jest bardziej powszechny w przypadku wektorów.

— jknappen - Przywróć Monikę

1

Tak, jest produktem wewnętrznym , ale przestrzeń wektorowa jest złożona, więc formuła to , zwróć uwagę na sztylet dla koniugatu hermitowskiego, to nie jest tylko transpozycja.

⟨ ϕ | ψ ⟩

$\langle\phi|\psi\rangle$

ϕ^{†} ψ

$\phi^\dagger\psi$

— jknappen - Przywróć Monikę

20

Można myśleć o i jako o dwóch ortonormalnych stanach bazowych (reprezentowanych przez „ket”) bitu kwantowego, który znajduje się w dwuwymiarowej złożonej przestrzeni wektorowej. Linie i nawiasy, które widzisz, to w zasadzie notacja bra-ket, czyli notacja Diraca, powszechnie stosowana w mechanice kwantowej. $|0\rangle$ $|1\rangle$

Na przykład może reprezentować stan rozpadu elektronu, podczas gdy może reprezentować stan rozpadu. Ale tak naprawdę elektron może znajdować się w liniowej superpozycji tych dwóch stanów, tj. (zwykle jest to znormalizowane jak ) gdzie . $|0\rangle$ $|1\rangle$ $|\psi\rangle_{\text{electron}} = a|0\rangle + b|1\rangle$ $\frac{a|0\rangle + b|1\rangle}{\sqrt{|a|^2+|b|^2}}$ $a,b\in \Bbb{C}$

— Sanchayan Dutta
źródło

16

Co oznaczają wszystkie te nawiasy i linie pionowe?

Notacja oznacza dokładnie to samo, co lub , tzn. Oznacza wektor o nazwie „v”. to jest to! Nie ma już żadnej tajemnicy ani magii. Symbol oznacza wektor o nazwie „psi”. $\left \lvert v \right \rangle$ $\vec{v}$ $\textbf{v}$ $\left \lvert \psi \right \rangle$

Symbol nazywa się „ket”, ale równie dobrze mógłby (i moim zdaniem powinien) zostać nazwany „wektorem” bez żadnej utraty znaczenia. $\left \lvert \cdot \right \rangle$

Chociaż jest to prawdopodobnie pytanie dotyczące matematyki, ten typ notacji wydaje się być często używany w odniesieniu do obliczeń kwantowych. Nie jestem pewien, czy kiedykolwiek widziałem go używanego w innych kontekstach.

Notacja została wynaleziona przez fizyka ( Paul Dirac ) i nazywa się „notacją Diraca” lub „notacją bra-ket” . O ile mi wiadomo, Dirac prawdopodobnie wymyślił go podczas badań mechaniki kwantowej, a więc historycznie notacja była głównie używana do oznaczania wektorów pojawiających się w mechanice kwantowej, tj. Stanów kwantowych. Notacja Bra-ket jest standardem w każdym kontekście mechaniki kwantowej, nie tylko w obliczeniach kwantowych. Na przykład równanie Schrodingera , które ma związek z dynamiką w układach kwantowych i wyprzedza obliczenia kwantowe o dziesięciolecia, zostało zapisane przy użyciu notacji bra-ket.

Ponadto notacja jest dość wygodna w innych kontekstach algebry liniowej i jest używana poza mechaniką kwantową.

— DanielSank
źródło

12

To prowadzi mnie do wniosku, że istnieje pewna różnica / powód, dla którego bra-ket jest szczególnie przydatny do oznaczania algorytmów kwantowych.

Jest już zaakceptowana odpowiedź i odpowiedź, która wyjaśnia „ket”, „stanik” i notację produktu skalarnego.

Spróbuję dodać trochę więcej do podświetlonego wpisu. Co sprawia, że jest to przydatna / przydatna notacja?

Pierwszą rzeczą, w której notacja bra-ket jest bardzo często używana, jest bardzo proste określenie wektorów własnych operatora (zwykle hermitowskiego) powiązanego z wartością własną. Załóżmy, że mamy równanie wartości własnej , można to określić jako , i prawdopodobnie pewna dodatkowa etykieta jeśli jest pewna degeneracja . $A(v)=\lambda v$ $A\left|\lambda\right\rangle=\lambda \left|\lambda\right\rangle$ $k$ $A\left|\lambda,k\right\rangle=\lambda \left|\lambda,k\right\rangle$

Widzisz to stosowane w całej mechanice kwantowej, stany własne pędu zwykle są oznaczone jako lub zależności od jednostek lub z wieloma stanami cząstek ; reprezentacja numeru zawodu dla systemu bose i fermi wiele układów ciała ; cząstka spinowa przyjmująca stany własne zwykle operatora , zapisywana czasami jako i lub i itp. jako skrót $\left|\vec{k}\right\rangle$ $\left|\vec{p}\right\rangle$ $\left|\vec{p}_1,\vec{p}_2,\vec{p}_3\ldots\right\rangle$ $\left|n_1,n_2,\ldots\right\rangle$ $S_z$ $\left|+\right\rangle$ $\left|-\right\rangle$ $\left|\uparrow\,\right\rangle$ $\left|\downarrow\,\right\rangle$ $\left|\pm \hbar/2\right\rangle$ ; harmoniczne sferyczne jako funkcje własne funkcji i są dogodnie zapisywane jako z i $L^2$ $L_z$ $\left|l,m\right\rangle$ $l=0,1,2,\ldots$ $m=-l,-l+1,\ldots,l-1,l.$

Więc wygoda notacji to jedno, ale istnieje również swego rodzaju „lego” uczucie do algebraicznych manipulacji z notacji Diraca, Weźmy na przykład wirowania pół operatora w notacji Diraca jako , działając w stanie jak który po prostu robi $S_x$ $S_x=\frac{\hbar}{2}(\left|\uparrow\right\rangle\left\langle\downarrow\right|+\left|\downarrow\right\rangle\left\langle\uparrow\right|)$ $\left|\uparrow\right\rangle$

S_{x} | ↑ ⟩ = \frac{ℏ}{2} (| ↑ ⟩ ⟨ ↓ | + | ↓ ⟩ ⟨ ↑ |) | ↑ ⟩ = \frac{ℏ}{2} | ↑ ⟩ ⟨ ↓∣↑ ⟩ + \frac{ℏ}{2} | ↓ ⟩ ⟨ ↑∣↑ ⟩ = \frac{ℏ}{2} | ↓ ⟩

$S_x\left|\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left(\left|\uparrow\rangle\langle\downarrow\right|+\left|\downarrow\rangle\langle\uparrow\right|\right)\left|\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left|\uparrow\rangle\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle+\frac{\hbar}{2}\left|\downarrow\rangle\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=\frac{\hbar}{2}\left|\downarrow\right\rangle$

ponieważ i . $\left\langle\uparrow\mid\uparrow\right\rangle=1$ $\left\langle\downarrow\mid\uparrow\right\rangle=0$

Co sprawia, że jest przydatny w przypadku algorytmów kwantowych?

Powiedzmy, że mamy odpowiedni dwupoziomowy system na kubit; tworzy to dwuwymiarową złożoną przestrzeń wektorową , której podstawa jest oznaczona jako i . Kiedy weźmiemy pod uwagę kubitów tej formy, stany układu żyją w większej przestrzeni przestrzeni produktu tensora, . Notacja Diraca może się tu przydać, stany bazowe będą oznaczone ciągami zer i jedynek, a jeden zwykle oznacza stan, np. i powiedzmy, że mamy trochę operatora odwracania który zamienia $V$ $\left|0\right\rangle$ $\left|1\right\rangle$ $n$ $V^{\otimes n}$ $\left|1\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|0\right\rangle\otimes\left|1\right\rangle\equiv\left|1001\right\rangle$ $X_i$ $1\leftrightarrow 0$ na -tym bicie, może to działać raczej po prostu na powyższych ciągach, np. , i biorąc sumę operatorów lub działając na superpozycja stanów działa równie prosto. $i$ $X_3\left|1001\right\rangle=\left|1011\right\rangle$

Nieznaczna ostrożność: stan zapisany jako nie zawsze oznacza , na przykład gdy masz dwa identyczne fermiony z funkcje falowe mówią i , z etykietami indeksującymi pewien zestaw podstaw, wtedy można zapisać slater determinant fermionów w skrócie jako lub nawet . $\left|a,b\right\rangle$ $\left|a\right\rangle\otimes\left|b\right\rangle$ $\phi_{k_1}(\vec{r}_1)$ $\phi_{k_2}(\vec{r}_2)$

\frac{1}{\sqrt{2}} (ϕ_{k_{1}} ({\vec{r}}_{1}) ϕ_{k_{2}} ({\vec{r}}_{2}) - ϕ_{k_{1}} ({\vec{r}}_{2}) ϕ_{k_{2}} ({\vec{r}}_{1}))

$\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\phi_{k_1}(\vec{r}_1)\phi_{k_2}(\vec{r}_2)-\phi_{k_1}(\vec{r}_2)\phi_{k_2}(\vec{r}_1)\right)$

| ϕ_{k_{1}}, ϕ_{k_{2}} ⟩

$\left|\phi_{k_1},\phi_{k_2}\right\rangle$

| k_{1}, k_{2} ⟩ \neq | k_{1} ⟩ \otimes | k_{2} ⟩

$\left|k_1,k_2\right\rangle\neq \left|k_1\right\rangle\otimes \left|k_2\right\rangle$

— przeszkadzać
źródło

8

Ket notacja oznacza wektor w jakikolwiek wektor przestrzeń pracujemy w, jak na przestrzeni wszystkich złożonych liniowych kombinacji ośmiu 3-bitowych ciągów , , , itp , jak moglibyśmy używać reprezentować stany komputera kwantowego. Bez ozdób oznacza dokładnie to samo - notacja ket jest przydatna częściowo do podkreślenia, że na przykład jest elementem interesującej wektorowej przestrzeni, a częściowo ze względu na jej ostrość w połączeniu z notacja stanika . $|\psi\rangle$ $000$ $001$ $010$ $\psi$ $|\psi\rangle$ $|010\rangle$

Biustonosz notacjaoznacza podwójne wektor lub covector -a liniowy funkcjonalny lub liniową mapę z wektorami, skalarnych, którego wartość w wektorze jest wewnętrzny produkt o z , słodko napisany . Zakładamy tutaj istnienie produktu wewnętrznego, który nie jest dany w dowolnych przestrzeniach wektorowych, ale w fizyce kwantowej zwykle pracujemy w przestrzeniach Hilberta, które z definicji mają produkt wewnętrzny. Podwójność wektora jest czasem nazywana także jego transpozycją (hermitowską) $\langle\psi|$ $|\phi\rangle$ $\psi$ $\phi$ $\langle\psi|\phi\rangle$ , ponieważ w reprezentacji macierzowej wektor odpowiada kolumnie, a kowektor odpowiada wierszowi, a po pomnożeniu otrzymujesz skalar. (Część Hermitian oznacza, że oprócz transponowania macierzy bierzemy złożony koniugat jej wpisów - co tak naprawdę jest po prostu dalszą transpozycją reprezentacji macierzy kompleksu numer .) $\mathrm{row} \times \mathrm{column}$ $\scriptstyle\begin{bmatrix}a&b\\-b&a\end{bmatrix}$ $a + b i$

Kiedy napisany jest w inny sposób,, Można uzyskać zewnętrzną produkt z z , zdefiniowany jako liniowa transformacja przestrzeni wektorowej do siebie udzielonej przez . To znaczy, biorąc pod uwagę wektor , skaluje wektor przez skalar podany przez iloczyn wewnętrzny . Ponieważ omawiane operacje są asocjatywne, możemy usunąć nawiasy i jednoznacznie napisać $|\psi\rangle\langle\phi|$ $\psi$ $\phi$ $|\theta\rangle \mapsto (\langle\phi|\theta\rangle) |\psi\rangle$ $\theta$ $\psi$ $\langle\phi|\theta\rangle$

(| ψ ⟩ ⟨ ϕ |) | θ ⟩ = | ψ ⟩ ⟨ ϕ | θ ⟩ = ⟨ ϕ | θ ⟩ | ψ ⟩ = (⟨ ϕ | θ ⟩) | ψ ⟩ .

$(|\psi\rangle\langle\phi|)|\theta\rangle = |\psi\rangle\langle\phi|\theta\rangle = \langle\phi|\theta\rangle|\psi\rangle = (\langle\phi|\theta\rangle)|\psi\rangle.$ Zaangażowane operacje nie są jednak ogólnie przemienne: odwrócenie kolejności daje złożony koniugat , zastępując przez . W miksie mogą również występować inne przekształcenia zaangażowanych przestrzeni, takie jak , które można odczytać równorzędnie jako wstępny skład liniowej funkcjiprzez transformację liniową zastosowaną do wektora

⟨ ψ | ϕ ⟩ = ⟨ ϕ | ψ ⟩^{*}

$\langle\psi|\phi\rangle = \langle\phi|\psi\rangle^*$

a + b i

$a + b i$

a - b i

$a - b i$

⟨ ψ | A | ϕ ⟩

$\langle\psi|A|\phi\rangle$

⟨ ψ |

$\langle\psi|$

A

$A$

| ϕ ⟩

$|\phi\rangle$ , lub jako ocena liniowego funkcjonalnegow wektorze uzyskane poprzez przekształcenie przez liniowej transformacji .

⟨ ψ |

$\langle\psi|$

| ϕ ⟩

$|\phi\rangle$

A

$A$

Notacja jest używana głównie w fizyce kwantowej; matematycy zwykle piszą tam, gdzie fizycy mogą pisać ; dla covector; albo lub do wyrobu wewnątrz; i dla tego, co fizycy zapisaliby przez . $\psi$ $|\psi\rangle$ $\psi^*$ $\langle\psi|$ $\langle\psi,\phi\rangle$ $\psi^*\phi$ $\psi^*A\phi$ $\langle\psi|A|\phi\rangle$

— Squeamish Ossifrage
źródło