Jak tworzyć obwody kwantowe od zera

Obecnie prowadzę samokształcenie, korzystając przede wszystkim z książki: Quantum Computing a Gentle Introduction autorstwa Eleanor Rieffel i Wolfganga Polaka.

Poruszanie się we wcześniejszych rozdziałach i ćwiczeniach poszło całkiem dobrze (na szczęście we wcześniejszych rozdziałach było mnóstwo przykładów), jednak utknąłem w 5. rozdziale o obwodach kwantowych. Chociaż rozumiem pojęcia przedstawione przez autorów, być może z powodu braku przykładów, mam problem z zastosowaniem tych pojęć do ćwiczeń.

Ćwiczenia, z którymi mam problem (i gdzie nie mogę znaleźć rozwiązania ani dokładnego / wstępnego wyjaśnienia), są następujące:

$\\$

Pytania:

Zaprojektuj obwód do tworzenia: $\left| W_n \right> = \frac{1}{\sqrt{n}}(\left| 0 \dots 001 \right> + \left| 0 \dots 010 \right> + \left| 0\dots 100 \right>) + \cdots + \left| 1\dots 000 \right>)$ od $\left| 0 \dots 000 \right>$

I zaprojektuj obwód do tworzenia „stanu Hardy'ego”: $\frac{1}{\sqrt{12}}(3\left| 00 \right> + \left| 01 \right> + \left| 10 \right> + \left| 11 \right>)$

$\\$

Czy ktoś może wskazać mi właściwy kierunek lub skierować mnie do literatury / samouczków, aby lepiej zrozumieć tego rodzaju ćwiczenia?

$\\$

Być może powiązane pytanie: Wskazówki i porady dotyczące konstruowania obwodów w celu generowania dowolnych stanów kwantowych

Jak zauważył DaftWullie, pytanie dotyczy $W_n$posiada doskonałą kolekcję odpowiedzi tutaj .

W przypadku pytania o stan Hardy'ego (i wielu innych podobnych zadań) możesz podejść do niego w następujący sposób.

• Zacznij od $|0...0\rangle$ stan.
• Zacznij od umieszczenia pierwszego kubita „we właściwym stanie”, który jest stanem $(\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle) \otimes |0...0\rangle$, gdzie $\alpha$ i $\beta$są względnymi wagami wszystkich stanów bazowych, które zaczynają się odpowiednio od 0 i od 1. W przypadku stanu Hardy dwa stany bazowe zaczynają się od 0:$\frac{1}{\sqrt{12}}(3\left| 00 \right> + \left| 01 \right>)$ a dwa stany bazowe zaczynają się od 1: $\frac{1}{\sqrt{12}}(\left| 10 \right> + \left| 11 \right>)$; ich względne masy są tylko sumami kwadratów ich amplitud:$\frac{9}{12} + \frac{1}{12} = \frac{10}{12}$ i $\frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{2}{12}$odpowiednio. Musisz więc ustawić pierwszy kubit w stanie$(\sqrt{\frac{10}{12}} |0\rangle + \sqrt{\frac{2}{12}} |1\rangle)$ za pomocą $R_y$ brama.
• Kontynuuj, ustawiając drugi kubit we właściwym stanie, stosując kontrolowane $R_y$bramy z pierwszym kubitem jako kontrolą. Aby uzyskać prawidłowe dwa pierwsze warunki, musisz je przekonwertować$\sqrt{\frac{10}{12}} |0\rangle \otimes |0\rangle$ do terminu $\frac{1}{\sqrt{12}}(3\left| 00 \right> + \left| 01 \right>)$, co jest tym samym, co konwersja stanu normalnego $|0\rangle \otimes |0\rangle$ w $\frac{1}{\sqrt{10}}(3\left| 00 \right> + \left| 01 \right>)$ bez wpływu na stan $|1\rangle \otimes |0\rangle$ (zwróć uwagę na renormalizację przy przechodzeniu z wyrażeń o większym wyrażeniu do stanów samodzielnych!) Aby to zrobić, możesz wykonać operację 0 $R_y$ z pierwszym kubitem jako kontrolą, a drugim kubitem jako celem.
• Jeśli masz więcej kubitów, będziesz kontynuował to, używając więcej kubitów kontrolnych, aby Twoje rotacje były coraz bardziej szczegółowe.

Możesz przeczytać ten artykuł Shende, Bullocka i Markova, jeśli chcesz uzyskać bardziej formalne i mniej ad-hoc wyjaśnienia.

Możesz uprościć problemy dotyczące „tworzenia stanu”, dzieląc je na trzy części:

1. Przygotuj zbiór wielkości, których potrzebujesz, nie martwiąc się fazą ani o tym, który stan ma wielkość.
2. Napraw fazy.
3. Napraw zamówienie.

Teraz rozważ stan Hardy. Jakich wielkości musimy dokonać? Potrzebujemy jednego wystąpienia$3/\sqrt{12}$ i trzy przypadki wystąpienia $1/\sqrt{12}$. Możemy je wytwarzać pojedynczo, mając stan „pozostałej amplitudy”, z którego się dzielimy.

Zaczynamy od całej amplitudy w jednym stanie z wzbudzeniem po lewej stronie, $\ell_0 |1000...00\rangle$ gdzie $\ell_0=1$. To, co chcemy zrobić, to przesunąć wzbudzenie w prawo, pozostawiając po sobie pożądane wielkości. Na początek chcemy zostawić za sobą wielkość$3/\sqrt{12}$. Możemy to zrobić w kontrolowany sposób$R_y(\theta_0)$operacja, w której kontrola jest kubitem znajdującym się najbardziej na lewo, a celem jest kubit po prawej stronie. Wybierając odpowiednią wartość dla$\theta$, spowoduje to stan $3/\sqrt{12}|1000...00\rangle + \ell_1 |1100...00\rangle$. Następnie CNOT drugi kubit wraca na pierwszy kubit, aby się do niego dostać$\ell_1|1000...00\rangle + 3/\sqrt{12} |0100...00\rangle$. Następnie chcemy odjechać$1/\sqrt{12}$. Wykonujemy inny$R_y$kontrolowany przez kubit znajdujący się najbardziej na lewo, a następnie przez CNOT do tyłu, ale tym razem z celem jest kubit trzeci od lewej. Wybierając idealne$\theta_1$ wyprodukujemy państwo $\ell_2|1000...00\rangle + 3/\sqrt{12}|0100...00\rangle + 1/\sqrt{12} \ell_2 |0010...00\rangle$. I po prostu to robisz, dopóki nie uzyskasz wszystkich potrzebnych amplitud, wygodnie rozwiązywanych przez ekscytujące poszczególne kubity.

Teraz chcesz naprawić wszelkie nieprawidłowe fazy powstałe w wyniku obrotu Y. Dla stanu Hardy jest to łatwe, ponieważ wszystkie fazy są dodatnie. Zasadniczo celujesz w każdą pozycję kubitową$k$ z $R_z(\phi_k)$ operacja z odpowiednio wybranym $\phi_k$ wartości, a to poprawi fazy.

Teraz chcemy, aby porządek był prawidłowy. Najłatwiejszym sposobem na to jest posiadanie dodatkowych kubitów, które są twoimi kubitami wyjściowymi, a dla każdego kubitów, które do tej pory przygotowaliśmy i każdego kubitów wyjściowych, dodaj CNOT między nimi lub nie. Na przykład, jeśli stan z amplitudą$3/\sqrt{12}$ ma być $|11\rangle$, następnie musimy CNOT z naszego najbardziej lewostronnego kubita na oba kubity wyjściowe. Następnie musimy obliczyć lewostronny kubit za pomocą wielokrotnie kontrolowanej operacji NOT. Powinna istnieć jedna kontrolka na każdy kubit wyjściowy, a typ kontrolki (qubit-must-be-on vs qubit-must-be-off) zależy od tego, czy przełączyłeś kubit.

Zastosowanie tych kroków powoduje nieefektywny, ale poprawny obwód do tworzenia stanu Hardy. Możesz otworzyć obwód w Quirku :

Jeśli chcesz utworzyć stan bez zajmowania tak dużej przestrzeni roboczej, zadanie staje się trudniejsze. Ale nadal możesz śledzić wielkości, następnie fazy, a następnie porządek. Są też sprytniejsze sposoby przygotowania zestawów wielkości, które mają ładne wzory. Na przykład, gdy tylko jedna amplituda różni się od pozostałych, jedna runda częściowego wzmocnienia amplitudy może wystarczyć do przygotowania stanu.