Dlaczego splątany kubit jest pokazany na początku sfery Blocha?

Nie jestem pewien, dlaczego reprezentacja sfery Blocha maksymalnie splątanego kubita pokazuje stan bitu jako będącego początkiem sfery.

Na przykład ta ilustracja

pokazuje efekt prostego obwodu

z czasem, z $q_0$ po lewej i $q_1$ po prawej. Oba kubity kończą się na początku swoich odpowiednich kulek po zastosowaniu $CNOT$ ( $q_1$ „czeka” na swojej wartości początkowej, dopóki $H$ przesunie się $q_1$ do $x$ ).

Dlaczego maksymalnie splątany kubit jest pokazany na początku sfery Blocha?

Tutaj znajduje się wyjaśnienie , ale jestem zbyt początkującym, aby je zastosować.

entanglement bloch-sphere

— orome
źródło

To dobre pytanie z dobrymi odpowiedziami. Częściowy formalizm macierzy śladowej i gęstościowej jest niezbędny do zrozumienia odpowiedzi. Bez tych narzędzi możemy jedynie przedstawić najbardziej płytki opis tego, co się dzieje.

— psitae

Odpowiedzi:

Sfera Blocha reprezentuje tylko stan pojedynczego kubita. Mówisz o przyjęciu stanu wielu kubitów i reprezentowaniu stanu tylko jednego z tych kubitów w sferze Blocha.

Jeśli stan wielu kubitów jest stanem produktu (czysty i możliwy do rozdzielenia), wówczas stan pojedynczego kubita jest stanem czystym i jest reprezentowany jako punkt na powierzchni kuli Blocha. Jeśli ogólny stan jest zaplątany, indywidualny kubit nie jest czysty i jest reprezentowany przez punkt znajdujący się we wnętrzu kuli Blocha. Im mniejsza odległość od centrum, tym bardziej mieszany jest pojedynczy kubit, a zatem tym bardziej uwikłany jest stan globalny. Maksymalnie splątany stan daje możliwie najkrótszą odległość, tj. Punkt w samym środku kuli. Odpowiedź AHussaina przedstawia matematykę formalnego obliczenia tego.

— DaftWullie
źródło

Odpowiedzi te są pomocne, ale niezupełnie na poziomie, którego szukam, co jest zarówno bardzo podstawowe (operatory gęstości wciąż sprawiają, że jestem trochę mdły), jak i wyższy poziom, a mianowicie: dlaczego reprezentujemy splątanie jako odległość od środka kuli ? Czy istnieje jakiś naturalny lub przekonujący powód; czy wynika to z czegoś innego, co jest dobrze ugruntowane lub fundamentalne?

— orome

Powtórzę, że Sfera Blocha nie reprezentuje splątania. Reprezentuje stan jednego kubita. Jeśli ten kubit jest częścią stanu czystego z dwoma kubitami, to stopień, w jakim jeden kubit nie jest w stanie produktu, jest stopniem, w którym jest splątany. Ale zasadniczo jest to właściwość operatorów gęstości dla pojedynczych kubitów. Nie możesz się przed tym ukryć.

— DaftWullie,

Oto kluczowy fragment, myślę: „wtedy stopień, w jakim jeden kubit nie jest w stanie produktu, jest stopniem, w którym jest on uwikłany”. To zapewnia racjonalność, której szukałem.

— orome

$(x,y,z)$ $x^2+y^2+z^2 \leq 1$

Stan związany z tym punktem to

\begin{array}{rcl} ρ & = & \frac{1}{2} (I_{2} + x σ_{x} + y σ_{y} + z σ_{z}) \\ = & \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 + z & x - i y \\ x + i y & 1 - z \end{matrix}) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& \frac{1}{2} (I_2 + x \sigma_x + y \sigma_y + z \sigma_z)\\ &=& \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+z&x-iy\\ x+iy&1-z\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

$2\times 2$ $d \neq 2$ $d=2$ , równie dobrze możemy skorzystać z tej ładnej parametryzacji.

$(x,y,z)=(0,0,0)$ $\rho$

\begin{array}{rcl} ρ & = & \frac{1}{2} (\begin{matrix} 1 + 0 & 0 - i 0 \\ 0 + i 0 & 1 - 0 \end{matrix}) \\ = & (\begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{matrix}) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1+0&0-i0\\ 0+i0&1-0\\ \end{pmatrix}\\ &=& \begin{pmatrix} \frac{1}{2}&0\\ 0&\frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jest to stan maksymalnie mieszany.

Pokazany jest stan tylko dla 1 kubita. Jest to wynik po częściowym śladzie nad drugim kubitem.

Więc jeśli spojrzysz na pierwszy $q_0$

\begin{array}{rcl} ρ & = & | 0 ⟩ ⟨ 0 | \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& | 0 \rangle \langle 0 |\\ \end{eqnarray*}$

$(x,y,z)=(0,0,1)$

Potem idzie do

\begin{array}{rcl} ρ & = & H | 0 ⟩ ⟨ 0 | H \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& H | 0 \rangle \langle 0 | H\\ \end{eqnarray*}$

Ale po CNOT jest

\begin{array}{rcl} ρ & = & {Tr}_{2} ({CNOT}_{12} H | 00 ⟩ ⟨ 00 | H {CNOT}_{12}) \end{array}

$\begin{eqnarray*} \rho &=& \text{Tr}_2 (\operatorname{CNOT}_{12} H | 0 0 \rangle \langle 00 | H \operatorname{CNOT}_{12}) \\ \end{eqnarray*}$

$(x,y,z)=(0,0,0)$

$2\times 2$ $d \neq 2$ $d=2$ $d$ lub więcej kubitów. Nie bierz tej konkretnej parametryzacji zbyt poważnie, to pozwala nam tylko wykreślić stan w taki sposób, aby szybko przekazać informacje wizualnie.

— AHusain
źródło

Zobacz mój komentarz do odpowiedzi DaftWullie.

— orome

Edytowane, aby powiedzieć, że nie jest to fundamentalne.

— AHusain,

Mówisz, że to nie działa tak dobrze dla d ≠ 2, ale wizualizacja wydaje się być nadal powszechnie stosowana w przypadku większych wymiarów .

— orome

To, co robią, jest jak ten obwód, pokazują każdy kubit po wykreśleniu innych. Podobnie jak w przypadku tego obwodu pokazującego 2 kule. Mówiłem o próbie wizualizacji macierzy gęstości d dla całego układu. Stają się zbyt duże i skomplikowane, aby rysować.

— AHusain,