Przybliżanie macierzy jednolitych


10

Obecnie mam 2 jednolite macierze, które chcę aproksymować z dobrą dokładnością przy możliwie jak najmniejszej liczbie bramek kwantowych.

W moim przypadku dwie macierze to:

  • Pierwiastek kwadratowy z bramki NOT (do fazy globalnej)
    G=12(i11i)=e34πX
  • W=(1000012120012)12)00001)

Moje pytanie jest następujące:

Jak mogę aproksymować te konkretne macierze za pomocą mniejszej możliwej liczby bramek kwantowych i dobrej precyzji?

Na to, na co chcę mieć, mogę sobie pozwolić:

  1. Mogę sobie pozwolić na wykorzystanie kilku dni / tygodni czasu procesora i dużo ilości pamięci RAM.
  2. Mogę sobie pozwolić na 1 lub 2 ludzkie dni na poszukiwanie sztuczek matematycznych (w ostateczności, dlatego pytam tutaj pierwszy). Ten czas nie obejmuje czasu, w którym musiałbym zaimplementować hipotetyczne algorytmy zastosowane do pierwszego punktu.
  3. Chcę, aby rozkład był prawie dokładny. W tej chwili nie mam docelowej precyzji, ale 2 bramki powyżej są intensywnie wykorzystywane przez mój obwód i nie chcę, aby błędy były zbyt duże.
  4. Chcę, aby rozkład wykorzystywał jak najmniej bramek kwantowych. Ten punkt jest w tej chwili drugorzędny.
  5. Dobra metoda pozwoliłaby mi wybrać pożądany kompromis między liczbą bramek kwantowych a precyzją przybliżenia. Jeśli nie jest to możliwe, prawdopodobnie wymagana jest dokładność co najmniej 10-6 (pod względem normy śladu) (jak powiedziano wcześniej, nie mam szacunków, więc nie jestem pewien tego progu).
  6. Zestaw bramek to:
    {H.,X,Y,Z,Rϕ,S.,T.,Rx,Ry,Rz,CX,ZAMIANA,iSWAP,ZAMIANA}
    zRϕ,ZAMIANA,ZAMIANA zgodnie z opisem wWikipedii,RZAobrót względem osiZA(ZAtoX,YlubZ) i
    iSWAP=(100000ja00ja000001)
    .

Metody, o których wiem:

  1. Algorytm Solovay-Kitaev. Mam implementację tego algorytmu i już przetestowałem go na kilku jednolitych macierzach. Algorytm generuje sekwencje, które są dość długie, a kompromis [liczba bramek kwantowych] VS [dokładność przybliżenia] nie jest wystarczająco parametryzowalny. Niemniej jednak wykonam algorytm na tych bramkach i edytuję to pytanie z uzyskanymi wynikami.
  2. Dwa artykuły na temat przybliżenia bramki 1-kubit i przybliżenia bramki n-qubit . Muszę też przetestować te algorytmy.

EDYCJA: zredagował pytanie, aby „pierwiastek kwadratowy z” nie był bardziej widoczny.


Czy masz na myśli jakieś konkretne ustawienia bramek i czy istnieje powód, dla którego nie możesz zaimplementować natywnie / bezpośrednio na qubicie? sol
Mithrandir24601

1
Edytowane, aby sprecyzować zestaw bramek, o których myślałem :)
Nelimee

Wygląda na to, że W można wykonać za pomocą odpowiedniej sqrt (SWAP) + jednej bramki CNOT + pojedynczej kubity.
Norbert Schuch,

Jestem ciekawy, co próbujesz z tym zrobić, jeśli nie masz nic przeciwko opracowaniu.
psitae

Te dwie bramy pojawiają się w obwodach kwantowych, aby symulować bardzo prostych hamiltonianów (hamiltonianie 1-rzadkie z tylko prawdziwymi wpisami lub tylko wyimaginowanymi wpisami). Teza, która się na ten temat rozwija, jest dość trudna do uzyskania. Jedyny sposób, jaki znalazłem, to poprosić o kopię tutaj i poczekać na odpowiedź na twoją skrzynkę pocztową :)
Nelimee

Odpowiedzi:


8

Wybrałeś dwie szczególnie proste matryce do wdrożenia.

Pierwsza operacja (G) to po prostu pierwiastek kwadratowy bramki X (do fazy globalnej):

Brama G.

W twoim zestawie bramek jest to RX(π/2)) .

Druga operacja (W) to macierz Hadamarda w środkowym bloku 2x2 macierzy inaczej identycznej. Za każdym razem, gdy zobaczysz ten wzór 2x2 w środku, powinieneś pomyśleć „kontrolowana operacja sprzężona przez CNOT”. I właśnie to działa tutaj (uwaga: być może trzeba zamienić linie; zależy to od twojej konwencji endiannessa):

Operacja W.

Tak więc jedynym prawdziwym problemem jest wdrożenie kontrolowanej operacji Hadamarda. Hadamard to obrót o 180 stopni wokół osi X + Z. Możesz użyć obrotu o 45 stopni wokół osi Y, aby przesunąć oś X + Z na oś X, a następnie wykonać CNOT zamiast CH, a następnie przesunąć oś z powrotem:

Operacja W ponownie

Y1/4RY(π/4)


5

W.W.O(4)doN.OT.s

Konstrukcja jest optymalna w tym sensie, że wymaga dwóch bram CNOT i co najwyżej 12 pojedynczych bramek kubitowych (w najbardziej ogólnym przypadku prawdziwej dwóch bramek kubitowych). Konstrukcja oparta jest na homomorfizmie:

S.O(4)S.U(2))×S.U(2)),
W.
W.=M.UM.
US.U(2))S.U(2))

M.M.

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Korzystając z tej konstrukcji, pełna implementacja bramy podana przez Vatan i Williamsa to:

wprowadź opis zdjęcia tutaj

S.1=S.z(π2))R1=S.y(π2))

ZAb


4

Żadna z tych bram nie wymaga przybliżonych sekwencji. Możesz wdrożyć je dokładnie za pomocą określonych zestawów bram bez większego wysiłku.

H.S.H.

W.

wprowadź opis zdjęcia tutaj

U=sałataπ8ja-jagrzechπ8YRY(θ)

Korzystając z naszej strony potwierdzasz, że przeczytałeś(-aś) i rozumiesz nasze zasady używania plików cookie i zasady ochrony prywatności.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.