Ogólna konstrukcja stanu

12

Dwa najbardziej znane stany splątane to stan GHZ i , gdzie . $|\psi\rangle = 1/\sqrt{2}\left( |0\rangle^{\otimes n} + |1\rangle^{\otimes n}\right)$ $W_n$ $W_3 = 1/\sqrt{3}\left(|100\rangle + |010\rangle + |001\rangle\right)$

Konstruowanie stanu GHZ jest proste dla dowolnego . Jednak implementacja stanu jest trudniejsza. Dla jest to łatwe, a dla możemy użyć $n$ $W_n$ $n=2$ $n=4$

H q[0,3]
X q[0,3]
Toffoli q[0],q[3],q[1]
X q[0,3]
Toffoli q[0],q[3],q[2]
CNOT q[2],q[0]
CNOT q[2],q[3]

Nawet dla mamy implementacje, zobacz na przykład tę odpowiedź . Jednak nie znalazłem algorytmu, który, biorąc pod uwagę , wyprowadza obwód do konstruowania stanu . $n=3$ $n$ $W_n$

Czy istnieje taki algorytm zdefiniowany przez bramki jedno- i dwubitowe? A jeśli tak, to o co chodzi?

algorithm entanglement quantum-state

— Nippon
źródło

8

Tak, istnieje kilka implementacji tego algorytmu w kata kwantowym Superpozycja (zadania 14 i 15):

Dla możesz użyć algorytmu rekurencyjnego: utwórz stan W na pierwszych , przypisz kubit pomocniczy w stanie , zrób kilka kontrolowanych SWAP, aby ustawić stan drugi qubity , a następnie niektóre kontrolowane NOTy, aby zresetować ancilla z powrotem do ( operacja). $n = 2^k$ $2^{k-1}$ $|+\rangle$ $2^{k-1}$ $|0\rangle$ WState_PowerOfTwo_Reference
Dla dowolnego można użyć algorytmu rekurencyjnego opisanego przez DaftWullie ( operacja). $n$ WState_Arbitrary_Reference
Istnieje również sztuczka, której można użyć do utworzenia stanu dla dowolnego za pomocą pierwszego algorytmu rekurencyjnego. Przydziel dodatkowe kubity, aby wstawić podanych do , utwórz na nich stan i zmierz dodatkowe kubity; jeśli wszystkie kubity mają wartość 0, stanem oryginalnych jest , w przeciwnym razie zresetuj i powtórz proces ( operację). $W_n$ $n$ $n$ $2^k$ $W_{2^k}$ $W_n$ WState_Arbitrary_Postselect

To jest moje ulubione zadanie tego kata, ponieważ pozwala na tak wiele różnych podejść.

— Mariia Michajłowa
źródło

6

Koncepcyjnie najprostszy sposób wytworzenia stanu W jest nieco analogiczny do klasycznego próbkowania w zbiorniku , ponieważ obejmuje szereg lokalnych operacji, które ostatecznie dają jednolity efekt.

Zasadniczo, patrzysz kolejno na każdy kubit i zastanawiasz się „ile amplitudy pozostawiłem w stanie zerowym i ile chcę przenieść do stanu właśnie ten kubit?”. Okazuje się, że potrzebna jest rodzina rotacji, którą nazywam „bramkami szans”, które mają następującą macierz:

M (p : q) = \sqrt{\frac{1}{p + q}} [\begin{matrix} \sqrt{p} & \sqrt{q} \\ - \sqrt{q} & \sqrt{p} \end{matrix}]

$M(p:q) = \sqrt{\frac{1}{p+q}} \begin{bmatrix} \sqrt{p} & \sqrt{q} \\ -\sqrt{q} & \sqrt{p} \end{bmatrix}$

Za pomocą tych bramek można uzyskać stan W z sekwencją coraz bardziej kontrolowanych operacji:

Ten obwód jest nieco nieefektywny. Ma koszt gdzie jest liczbą kubitów, a jest pożądaną absolutną precyzją (ponieważ w kontekście skorygowanym błędem zmienne szans nie są rodzime i musi być przybliżony). $O(N^2 + N \lg(1/\epsilon))$ $N$ $\epsilon$

Możemy poprawić efektywność, przechodząc ze strategii „przeniesienia z tego, co pozostawiono” na strategię „przeniesienia z tego, co się dzieje”. Dodaje to przegląd naprawczy na końcu, ale wymaga tylko pojedynczych elementów sterujących dla każdej operacji. Zmniejsza to koszt do : $O(N \lg(1/\epsilon))$

Nadal można lepiej, ale zaczyna się komplikować. Zasadniczo można użyć pojedynczego częściowego kroku Grovera, aby uzyskać amplitud równych ale zostaną one zakodowane w rejestrze binarnym (chcemy rejestru z jednym zestawem bitów). Naprawienie tego wymaga obwodu konwersji binarnej na unarską. Potrzebne do tego narzędzia opisano w „Kodowaniu widm elektronicznych w obwodach kwantowych o liniowej złożoności T” . Oto odpowiednie liczby. $N$ $\sqrt{1/N}$

Częściowy etap grover:

Jak wykonać operację indeksowaną (cóż ... w pewnym sensie najbliższa postać miała akumulator, co nie jest w tym przypadku całkiem odpowiednie):

Zastosowanie tego bardziej skomplikowanego podejścia zmniejsza koszt z do . $O(N \lg(1/\epsilon))$ $O(N + \lg(1/\epsilon))$

— Craig Gidney
źródło

4

Możesz zdefiniować sekwencję rekurencyjnie. Koncepcyjnie to, co chcesz zrobić, to:

Utwórz stan początkowy $|0\rangle^{\otimes N}$
W qubit 1 zastosuj bramkę
$\frac{1}{\sqrt{N}} (\begin{array}{cc} 1 & \sqrt{N - 1} \\ \sqrt{N - 1} & - 1 \end{array})$ $\frac{1}{\sqrt{N}}\left(\begin{array}{cc} 1 & \sqrt{N-1} \\ \sqrt{N-1} & -1 \end{array}\right)$
Kontrolowany poza kubit 1, zastosuj „make ” na kubitach 2 do (tj. Zrób to, jeśli kubit 1 jest w stanie , w przeciwnym razie nic nie rób) $|W_{N-1}\rangle$ $N$ $|1\rangle$
Zastosuj bramkę bit-flip na qubit 1.

Algorytm ten, jak wyrażono, nie składa się tylko z bramek jedno- i dwu kubitowych, ale z pewnością można go rozbić za pomocą standardowych konstrukcji uniwersalności.

Może to nie być najskuteczniejszy algorytm, jaki można wymyślić. Na przykład, jeśli , możesz użyć tylko warstw pierwiastka kwadratowego bramek wymiany, aby uzyskać to, czego chcesz - zacznij od na pojedynczym kubicie. Zamiana korzeni z drugim kubitem, a ty masz (aż do faz, które musisz zająć). Umieść ancilla obok obu z nich i wykonaj wymiany root między parami W-ancilla, a otrzymasz , powtórz i masz , i tak dalej. Wierzę, że to jest właśnie to, co robią tutaj eksperymentalnie . Powinieneś być w stanie włączyć ten algorytm do pierwszego, aby był bardziej wydajny ( $N=2^n$ $n$ $|1\rangle$ $|W_2\rangle$ $|W_4\rangle$ $|W_8\rangle$ $O(\log N)$ ) dla dowolnego dowolnego rozmiaru, ale nigdy nie przestałem opracowywać szczegółów z wielką starannością.

— DaftWullie
źródło