Jak skonstruować Z-element z kontrolowanych Z-podstaw z bramek elementarnych?

Aby zaimplementować pewien algorytm kwantowy, muszę zbudować bramę Z-kubit (w tym przypadku trzy-kubit) sterowaną Z z zestawu bramek elementarnych, jak pokazano na poniższym rysunku. .

Bramy, z których mogę skorzystać, są

• bramy Pauli $\rm X, Y, Z$ i wszystkie ich moce (tj. wszystkie obroty Pauliego aż do współczynnika fazowego),
• ${\rm exp}(i\theta|11\rangle\langle11|)$ (obrót wokół $|11\rangle\langle11|$ rzutnik multimedialny),
• $\rm H$ (Hadamard),
• $\rm C_X$ (pojedynczy Qubit-kontrolowany X lub CNOT),
• $\rm C_Z$ (pojedynczy qubit kontrolowany-Z), i
• $\rm S$ (ZAMIANA).

Jak mogę budować z tych bram trzy-kubit kontrolowany Z? Przeczytałem kilka artykułów na temat rozkładów obwodów, ale żaden z nich nie dał mi jasnej i zwięzłej odpowiedzi.

(EDYCJA: Poprawiona do 14 CNOT.)

Można tego dokonać za pomocą 14 CNOT plus 15 rotacji pojedynczych kubitów Z i bez dodatkowych kubitów.

Odpowiedni obwód to

gdzie $\fbox{$\pm$}$ bramy są obrotami

Pochodzenie:

Korzystając z procedury opisanej w https://arxiv.org/abs/quant-ph/0303063 ¹ , dowolna bramę diagonalną - a tym samym w szczególności bramę CCCZ - można rozłożyć pod względem np. CNOT i bramek ukośnych o jednym kubicie, gdzie CNOT można optymalizować samodzielnie, stosując klasyczną procedurę optymalizacji.

Odnośnik zapewnia obwód wykorzystujący 16 CNOT dla dowolnych ukośnych bramek 4-kubitowych (ryc. 4).

Można to poprawić, jeśli dowolne pary kubitów można połączyć z 14 kubitami. W przypadku najbliższych sąsiadów z okresowymi (otwartymi) warunkami brzegowymi można to zrobić za pomocą 16 (18) CNOT. Odpowiednie obwody można znaleźć na https://epub.uni-regensburg.de/1511/ ¹ , ryc. 5.2, 5.4 i 5.5, i można je np. Uzyskać stosując metody konstruowania krótkich sekwencji Graya.

Liczba bramek jednububowych wynosi zawsze 15.

Uwaga: Chociaż w zasadzie może istnieć prostszy obwód (wspomniany obwód został zoptymalizowany z myślą o bardziej ograniczonej architekturze obwodu), powinien być bliski optymalnego - obwód musi utworzyć wszystkie stany postaci $\bigoplus_{i\in I}x_i$ dla dowolnego nietrywialnego podzbioru $I\subset\{1,2,3,4\}$, a jest ich 15 na 4 kubity.

Należy również pamiętać, że ta konstrukcja w żadnym wypadku nie musi być optymalna.

^{1 Uwaga: Jestem autorem}

Możesz wdrożyć $n$-kontrolowane qit $U$przez obwód podany w tej odpowiedzi . Po prostu wymień$U$ przez $Z$. Wymaga to jednak bramek CCNOT (Toffoli) i masz kilka opcji, jak zaimplementować CCNOT przy użyciu bramek elementarnych .

Oto konstrukcja CCCZ, która wykorzystuje 29 bram :

Jeśli możesz używać pomiaru i klasycznego przekazywania, liczbę bramek można zmniejszyć do 25 :

(Bramki Hadamarda można w razie potrzeby zastąpić pierwiastkami kwadratowymi Y).

A jeśli pozwolisz mi wykonać bramki Kontrolowane-S i Kontrolowane-sqrt (X) i wykonać pomiary w podstawie X, to mogę obniżyć do 10 bramek łącznie :

Zamieszczam tutaj kolejny rozkład CCCZ na wypadek, gdyby był użyteczny dla każdego, kto próbuje skompilować CCCZ. Wymaga mniejszej liczby bramek całkowitych i tylko 1 pomocniczego kubita zamiast 2, ale pięciu kolejnych bramek 2-kubitowych niż odpowiedź „oczywista”, więc może być gorzej w przypadku implementacji na sprzęcie.

Użytkownik @Rob zasugerował w tym komentarzu: Automatyczna kompilacja obwodów kwantowych i pochodzi z tego artykułu .

GMS5$(\chi)$ brama jest taka:

z $n=5$ i wszystkich $\chi_{ij}=\chi$, co oznacza, że ​​obejmuje 10 bramek dwu kubitowych. Będą one musiały zostać wkompilowane w zestaw bramek podany w pytaniu, więc tego rozkładu należy użyć tylko wtedy, gdy próbujesz zaoszczędzić na liczbie kubitów pomocniczych lub jeśli nie masz nic przeciwko posiadaniu większej liczby bramek 2-kubitowych w celu zmniejsz nieco głębokość obwodu.

Istnieje kilka dużych oszczędności, które można wprowadzić w oparciu o określony zestaw bramek. Na przykład w typowej konstrukcji ccnot, jeśli zastąpisz$T$ brama z $Z^{1/4}$, nie potrzebujesz tej korekcji fazy, która stanowi kilka ostatnich bramek między dwoma kubitami kontrolnymi. Ta konstrukcja, która jest zgodna z zestawem bram określonym w pytaniu, składa się z 21 bram, z których 10 to 2 kubity (nie potrzebujesz ostatniej bramki w obwodzie poniżej).

Aby być jasnym (w odpowiedzi na kilka komentarzy): zwykle patrzymy na Toffoli i staramy się, aby było to możliwe $T$brama. Jeśli obie opcje są$|1\rangle$, następnie sekwencją bramki na docelowym kubicie jest $HXTXT^\dagger XTXT^\dagger H$. Teraz, odkąd$XT^\dagger X=Te^{-i\pi/4}$, sekwencja upraszcza się $-iHT^4H=-iX$i należy dodać kompensującą bramkę sterowaną S na dwóch kubitach kontrolnych. Jeśli zamiast tego korzystamy$Z^{1/4}$, następnie $XZ^{-1/4}X=Z^{1/4}$, i żadna z tych brzydkich faz nie wchodzi w to, a to oszczędza ci bramy dwóch kubitów!

Zauważ też, że dwie bramy Toffoli są tylko Toffoli, ponieważ są skierowane na stan 0. Zwykle potrzebujesz dodatkowej bramki o dwóch kubitach.

Nie znalazłem tak skutecznej konstrukcji w istniejącej literaturze, chociaż ten dokument twierdzi, że konstrukcja wykorzystuje tylko 11 bramek 2-kubitowych, ale nie dokonałem pełnego zliczenia bramek po przekształceniu w ograniczony zestaw bramek pytania.

Podczas gdy moja inna odpowiedź jest najbardziej oczywistym sposobem „podręcznikowym” (używając dekompozycji CCCZ Nielsen & Chaung do CCNOT , a następnie kolejnej dekompozycji podręcznika do skompilowania CCNOT ), bardziej kreatywny sposób może pozwolić nam wykonać zadanie z mniejszą liczbą bramek.

Krok 1:

Zastąp wszystkie CNOT w obwodzie Nielsen & Chuang tym gadżetem:

Krok 2:

Teraz mamy kilka CCZ zamiast CCNOT i można je tak rozłożyć (dzięki uprzejmości tego artykułu ):

Krok 3:

Zauważ, że $H^2 = I$, więc niektóre z tych Hadamardów znoszą się nawzajem i otrzymujemy jeszcze więcej zniżki :)