W jaki sposób komputer kwantowy mógłby zostać wykorzystany do rozwiązania równań różniczkowych cząstkowych?

12

Powiedz, że masz PDE, które chcesz rozwiązać.

Jakiego rodzaju algorytmów kwantowych użyłbyś do jego rozwiązania? Jak wprowadzamy nasz problem na komputer kwantowy? Jaka będzie produkcja iw jakiej formie?

Wiem, że algorytmy kwantowe do rozwiązywania układów liniowych (często nazywane HHL, ale w rzeczywistości jest to zła nazwa, ponieważ inne wersje nie pochodzą od autorów HHL) były wymienione wcześniej, ale być może istnieją inne metody. Ponieważ jest uważany za podprogram, wyjście jest kwantowe, a następnie, o ile nie chcesz od niego statystyk lub użyć go jako danych wejściowych innego algorytmu kwantowego, jest ono ograniczone.

algorithm

— cnada
źródło

Jak ogólny ma być Twój PDE? Czy to jest liniowe?

— AHusain

Jeśli masz na myśli różne ustawienia PDE, chciałbym wiedzieć dla każdego. Powiedz najpierw liniowy, ponieważ myślę, że nieliniowe może być trudniejsze.

— cnada

6

Nie mam dokładnej odpowiedzi na twoje pytanie (jeśli faktycznie istnieje); ale mogę odpowiedzieć na część twojego pytania dotyczącego I / O na procesor kwantowy.

Jako ogólna zasada; Algorytmy kwantowe (obecnie) nie mogą dostarczyć bezpośrednich odpowiedzi na stwierdzenia problemów. Przynajmniej na razie procesory kwantowe istnieją jako heterogeniczne akceleratory z klasyczną jednostką obliczeniową. „Akcelerator kwantowy” dotyczy tylko tej części ogólnego algorytmu, który nie jest trywialny (lub wykładniczy w złożoności) do rozwiązania na klasycznym komputerze. Ostatecznie tylko podprogram programu jest obliczany na procesorze kwantowym. (Np. Algorytm faktorowania Shora jest w rzeczywistości algorytmem znajdowania okresu. Znalezienie okresu jest nietrywialnym zadaniem).

Wśród kilku innych powodów głównych problemów jest operacja wejścia i wyjścia z procesorem kwantowym. Problem „musi” być wyrażalny w zwięzłej formie (np. Równanie). To równanie jest wyrażone jako obwód kwantowy w „wyroczni”, która dotyczy przede wszystkim rozwiązania równania, a wyniki pomiaru są zapisywane (tomografia). Dane wyjściowe również wymagają przetwarzania końcowego, aby faktycznie miały sens (co ponownie wykonuje klasyczny odpowiednik).

ps Byłbym bardzo zainteresowany, aby dowiedzieć się więcej o PDE rozwiązującym algorytmy kwantowe; jeśli jest wydajny.

— Viliyar
źródło

Rozumiem „ogólny” punkt widzenia. Po prostu nie jest dla mnie trywialne, jak modelujemy rozwiązywanie PDE na komputerze kwantowym. Jest to bezpośrednio w HHL, ponieważ twój problem może być wyrażony jako układ liniowy Ax = f podczas dyskretyzacji. Po prostu wyrażasz swoje f jako stan kwantowy (twoje pierwsze wejście), używasz A w formie hermitowskiej na przykład do szacowania faz (drugie wejście) i za pomocą podprogramu, który używa kontrolowanego obrotu i nieobliczenia (przynajmniej dla oryginalnej wersji HHL ) masz wynik jako stan kwantowy.

— cnada

Staje się to jakoś skuteczne w skali problemu, ponieważ używasz wykładniczej wymiarowości przestrzeni Hilberta do kodowania w amplitudach prawdopodobieństwa funkcji falowej.

— cnada

Ale zastanawiałbym się, czy istnieją inne sposoby / algorytmy dla PDE.

— cnada

4

Natknąłem się na podejście do rozwiązywania równań różniczkowych za pomocą kwantowego wyżarzania fali D. Link jest tutaj: https://arxiv.org/abs/1812.10572 .

Podstawową metodą jest wyprowadzenie funkcjonalnej energii dla równania różniczkowego, która jest następnie zminimalizowana na kwantowym wyżarzaczu. Minimalizacja może wykorzystywać podstawę elementu skończonego do mapowania energii do zlokalizowanego wykresu podrzędnego maszyny z falą D.

$\mathcal{O}(n)$

— Jeremy
źródło

1

O (n)

$\mathcal{O}(n)$

O (s \sqrt{κ})

$\mathcal{O}(s \sqrt{\kappa})$

s

$s$

κ

$\kappa$