Zaleta symulacji rzadkich hamiltonianów

W odpowiedzi @ DaftWullie na to pytanie pokazał, jak przedstawić w kategoriach bramek kwantowych matrycę zastosowaną jako przykład w tym artykule . Jednak uważam, że nie jest tak dobrze mieć dobrze ustrukturyzowane matryce w przykładach z życia, dlatego starałem się przyjrzeć innym metodom symulowania hamiltonianu. W kilku artykułach znalazłem odniesienie do tego artykułu autorstwa Aharonova i Ta-Shmy, w których między innymi stwierdzają oni, że można uzyskać przewagę w symulowaniu rzadkich hamiltonianów. Jednak po przeczytaniu artykułu nie zrozumiałem, jak można przeprowadzić symulację rzadkich hamiltonianów. Problem jest zwykle przedstawiany jako kolorowanie wykresów, ale również z uwzględnieniem prezentacji że @Nelimee zasugerował przeczytanie w celu zbadania potęgowania macierzy, wszystko to spada w dół po silmulacji dzięki formule produktu.

Na przykład weźmy losową macierz, taką jak:

nie jest to pustelnik, ale korzystając z sugestii Harrowa, Hassidima i Lloyda możemy zbudować macierz pustelniczą, zaczynając od niej:

A = [\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 8 & 5 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 5 & 3 & 4 \end{matrix}];

$A = \left[\begin{matrix} 2 & 0 & 0 & 0\\ 8 & 5 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 5 & 3 & 4 \end{matrix}\right];$

C = [\begin{matrix} 0 & A \\ A^{†} & 0 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 5 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 4 \\ 2 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 7 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix}] .

$C = \left[ \begin{matrix} 0 & A\\ A^{\dagger} & 0 \end{matrix} \right] = \left[\begin{matrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 8 & 5 & 0 & 6\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 7 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 5 & 3 & 4\\ 2 & 8 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 5 & 0 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 7 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 0 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{matrix}\right].$

Teraz, gdy mam macierz pustelniczą 8x8, 2-rzadką:

Czy mogę symulować jego ewolucję na inne sposoby niż metoda formuły produktu?
Nawet jeśli używam formuły produktu, jak mogę wykorzystać fakt, że jest on rzadki? Czy to tylko dlatego, że jest mniej niezerowych wpisów i dlatego powinno być łatwiej znaleźć produkt podstawowych bramek?

algorithm matrix-representation hamiltonian-simulation

— FSic
źródło

$H$ $H_i$

H = \sum_{i = 1}^{m} H_{i} .

$H=\sum_{i=1}^mH_i.$

H_{i}

$H_i$

e^{- i H t} = \prod_{j = 1}^{N} e^{- i H_{m} δ t} e^{- i H_{m - 1} δ t} \dots e^{- i H_{1} δ t},

$e^{-iHt}=\prod_{j=1}^Ne^{-iH_m\delta t}e^{-iH_{m-1}\delta t}\ldots e^{-iH_{1}\delta t},$

t = N δ t

$t=N\delta t$

H_{1} = \frac{1}{4} X \otimes (18 I - 6 Z \otimes Z - 4 Z \otimes I) H_{2} = \frac{1}{4} (X \otimes (11 I + 5 Z) \otimes X + Y \otimes (11 I + 5 Z) \otimes Y) H_{3} = \frac{1}{4} (11 X \otimes X - Y \otimes Y) \otimes (I - Z)

$H_1=\frac14 X\otimes(18\mathbb{I}-6Z\otimes Z-4Z\otimes\mathbb{I}) \\ H_2=\frac14(X\otimes(11\mathbb{I}+5Z)\otimes X+Y\otimes(11\mathbb{I}+5Z)\otimes Y)\\ H_3=\frac14(11X\otimes X-Y\otimes Y)\otimes(\mathbb{I}-Z)$

(i, j)

$(i,j)$

(k, l)

$(k,l)$

k

$k$

l

$l$

i

$i$

j

$j$

m

$m$

m

$m$

H_{i}

$H_i$

Problem polega na tym, że niekoniecznie działa to tak prosto w praktyce. Po pierwsze, wciąż istnieje wykładniczo wiele elementów macierzy, przez które trzeba przejść, ale zawsze tak będzie w przypadku sposobu konfiguracji.

$f(j,l)$ $l^{th}$ $j^{th}$

$\alpha_i$

H = \sum_{i} α_{i} U_{i}

$H=\sum_i\alpha_iU_i$

H = U_{1} + α U_{2}

$H=U_1+\alpha U_2$

U_{1}

$U_1$

U_{2}

$U_2$

V = | 0 ⟩ ⟨ 0 | \otimes U_{1} + | 1 ⟩ ⟨ 1 | \otimes U_{2}

$V=|0\rangle\langle 0|\otimes U_1+|1\rangle\langle 1|\otimes U_2$

| 0 ⟩ + \sqrt{α} | 1 ⟩

$|0\rangle+\sqrt{\alpha}|1\rangle$

V

$V$

| 0 ⟩ + \sqrt{α} | 1 ⟩

$|0\rangle+\sqrt{\alpha}|1\rangle$

U_{1} + α U_{2}

$U_1+\alpha U_2$

(1 - α)^{2} / (1 + α)^{2}

$(1-\alpha)^2/(1+\alpha)^2$

— DaftWullie
źródło

Tylko 2 rzeczy, których nie rozumiałem: 1) co masz na myśli mówiąc, że zawsze zawierasz złożone pary sprzężone? 2) W jaki sposób wiedza na temat pozycji dostarczonej przez wyrocznię powinna nam pomóc? Pomagając nam ustalić zestaw jednostek reprezentujących rozłożony hamiltonian?

— FSic

@ F.Siciliano (2) Wiedza z wyroczni pomaga, ponieważ pozwala ci pracować tylko z niezerowymi elementami macierzy zamiast przechodzić przez każdy element macierzy, aby dowiedzieć się, które nie są zerowe.

— DaftWullie

H

$H$

h_{i j}

$h_{ij}$

(j, i)

$(j,i)$

h_{i j}^{*}

$h_{ij}^*$

h_{i}

$h_i$