Symulacja hamiltonowska ze złożonymi współczynnikami

W ramach algorytmu wariacyjnego chciałbym zbudować obwód kwantowy (najlepiej z pyQuil ), który symuluje hamiltonian postaci:

$H = 0.3 \cdot Z_3Z_4 + 0.12\cdot Z_1Z_3 + [...] + - 11.03 \cdot Z_3 - 10.92 \cdot Z_4 + \mathbf{0.12i \cdot Z_1 Y_5 X_4}$

Jeśli chodzi o ostatni termin, problem polega na tym, że pyQuil zgłasza następujący błąd:

TypeError: PauliTerm coefficient must be real

Zacząłem nurkować w literaturze i wydaje się to nietrywialnym problemem. Natknąłem się na ten artykuł na temat uniwersalnych Hamiltonianów kwantowych, w których omawiane są kodowania złożone do rzeczywistych, a także kodowania lokalne. Jednak nadal nie jest dla mnie jasne, jak można praktycznie zrealizować coś takiego. Czy ktoś może udzielić praktycznej porady, jak rozwiązać ten problem?

Tradycyjny hamiltonian to pustelnik. Stąd, jeśli zawiera termin niehermański, musi albo zawierać swój koniugat hermitowski jako inny termin, albo mieć wagę 0. W tym konkretnym przypadku, ponieważ jest samym hermitianem, współczynnik musiałby wynosić 0. Więc jeśli mówisz o konwencjonalnych hamiltonianach, prawdopodobnie popełniłeś błąd w swoich obliczeniach. Zauważ, że jeśli koniugat hermitowski tego terminu nie jest obecny, nie możesz po prostu naprawić rzeczy, dodając go; da ci zupełnie inny wynik.$Z\otimes X\otimes Y$

Z drugiej strony możesz chcieć wdrożyć niehermiański hamiltonian. Te rzeczy istnieją, często dla opisu procesów hałasu, ale nie są tak rozpowszechnione. Musisz wyraźnie dołączyć terminologię „niehermańską”, w przeciwnym razie wszyscy będą myśleć, że to, co robisz, jest złe, ponieważ to nie jest pustelnik, a Hamiltonian powinien być pustelnikiem. Nie jestem zbytnio zaznajomiony z możliwościami, jakie zapewniają różne symulatory, ale byłbym zaskoczony, gdyby miały wbudowane funkcje niehermityczne.

Można to jednak zasymulować kosztem niedeterministycznej implementacji. Będą bardziej wyrafinowane metody niż to (patrz linki w tej odpowiedzi ), ale pozwólcie, że opiszę szczególnie prosty: założę, że jest tylko jeden niehermański komponent, którym jest (iloczyn tensorowy Paul jest). Zadzwonię ten produkt tensor Paulis . Reszta jest Hamiltona . Chcesz stworzyć ewolucję Zaczynamy od Trotterising ewolucji, gdzie . Teraz pracujemy nad symulacją pojedynczego terminuK H e - i H t + K t e - i H t + K t = N ∏ i = 1 e - i H δ t + K δ t N δ t = t e - i H δ t + K δ t ≈ e - i H δ t e K $i\times$$K$$H$

Wprowadzamy kubit ancilla w stanie i używamy go jako kubitu kontrolnego w bramce kontrolowanejNastępnie mierzymy ancilla w podstawie (gdzie ). Jeśli wynikiem jest , to w kubitach docelowych zaimplementowaliśmy operację , aż do normalizacji. Jeśli więc naprawisz , doskonale tę operację. Jeśli pomiar się nie powiedzie, od Ciebie zależy, czy chcesz spróbować odzyskać (może to nie być możliwe), czy zacząć od nowa.K { | * F ⟩ , | * F ⊥ ⟩ } ⟨ * F | * F ⊥ ⟩ = 0 | * F ⟩ | α | 2 I + | β | 2 K ( 1 - | α | 2 ) / | α | 2 = $|\psi\rangle=\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle$$K$$\{|\psi\rangle,|\psi^\perp\rangle\}$$\langle\psi|\psi^\perp\rangle=0$$|\psi\rangle$$|\alpha|^2\mathbb{I}+|\beta|^2K$$(1-|\alpha|^2)/|\alpha|^2=\tanh(\delta t)$

Ten prosty kod MATLAB / Octave pokazuje, że nie jest pustelnikiem:$i0.12Z_1Y_2X_3$

z=[1 0 ; 0 -1];
x=[0 1;  1  0];
y=[0 -1i; 1i 0];

z1 = kron(z,eye(4));
y2 = kron(kron(eye(2),y),eye(2));
x3 = kron(eye(4),x);

H=0.12*1i*z1*y2*x3

Wyjście to H:

    0     0    0 0.12    0    0     0     0
    0     0 0.12    0    0    0     0     0
    0 -0.12    0    0    0    0     0     0
-0.12     0    0    0    0    0     0     0
    0     0    0    0    0    0     0 -0.12
    0     0    0    0    0    0 -0.12     0
    0     0    0    0    0 0.12     0     0
    0     0    0    0 0.12    0     0     0

Ponieważ jest to prawdziwa matryca, pustelnik oznacza symetryczny, ale nie jest symetryczny, a zatem nie jest pustelnikiem. Trójkąt w prawym górnym rogu nie jest równy trójkątowi w prawym dolnym rogu.

Jednak prawy górny trójkąt jest ujemny z dolnego prawego trójkąta, więc jest anty-pustelnikiem.

Tak więc wykonanie sugestii AHussaina o dodaniu transpozycji sprzężonej daje wynik 0. Po prostu uruchom to polecenie:

H + H'

a otrzymasz macierz 8x8 zer.

Tak więc, kiedy tworzysz hermitianina Hamiltona przez dodanie transpozycji sprzężonej, dostajesz 0 dla tego terminu, a zatem nie musisz mieć żadnych wyimaginowanych współczynników .