Brama Toffoli jako FANOUT

16

Szukałem przykładów obwodów kwantowych do ćwiczenia z programowaniem Q # i natknąłem się na ten obwód:

^{Od : Przykłady schematów obwodów kwantowych - Michał Charemza}

Podczas moich wstępnych kursów obliczeń kwantowych nauczono nas, że klonowanie stanu jest zabronione przez prawa QM, podczas gdy w tym przypadku pierwszy kubit kontrolny jest kopiowany na trzeci kubit docelowy.

Szybko próbowałem zasymulować obwód na Quirku, coś w tym rodzaju, co potwierdza klonowanie stanu wyjściowego na pierwszym kubicie. Mierzenie kubitu przed bramką Toffoli pokazuje, że tak naprawdę nie jest to prawdziwe klonowanie, ale zmiana pierwszego kubita kontrolnego i równa wydajność na pierwszym i trzecim kubicie.

Wykonując prostą matematykę, można wykazać, że „klonowanie” ma miejsce tylko wtedy, gdy trzeci kubit jest w stanie początkowym 0, i tylko wtedy, gdy na pierwszym kubicie nie zostanie wykonana „operacja wirowania” (jak wskazano na Quirku) na Y lub X.

Próbowałem napisać program w Q #, który tylko potwierdził to, co zostało wspomniane powyżej.

Mam problem ze zrozumieniem, jak zmienia się pierwszy kubit przez tę operację i jak możliwe jest coś podobnego do klonowania.

Z góry dziękuję!

quantum-gate quirk cloning

— D-Brc
źródło

1

To doskonałe pytanie i dziękuję za wysiłek, aby sformatować je tak ładnie.

— user1271772,

10

Aby uprościć pytanie, rozważ bramę CNOT zamiast bramy Toffoli; CNOT jest także fanoutem, ponieważ

\begin{aligned} | 0 ⟩ | 0 ⟩ \to | 0 ⟩ | 0 ⟩ \\ | 1 ⟩ | 0 ⟩ \to | 1 ⟩ | 1 ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} |0\rangle|0\rangle \rightarrow |0\rangle|0\rangle\\ |1\rangle|0\rangle \rightarrow |1\rangle|1\rangle \end{align}$

i wygląda jak klonowanie dla dowolnego stanu $x\in\{0,1\}$

\begin{aligned} | x ⟩ | 0 ⟩ \to | x ⟩ | x ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} |x\rangle|0\rangle \rightarrow |x\rangle|x\rangle \end{align}$

ale jeśli weźmiesz superpozycję następnie $|\psi\rangle=\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$

\begin{aligned} (α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩) | 0 ⟩ \to α | 0 ⟩ | 0 ⟩ + β | 1 ⟩ | 1 ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} (\alpha|0\rangle+\beta|1\rangle)|0\rangle \rightarrow \alpha|0\rangle|0\rangle+ \beta|1\rangle|1\rangle \end{align}$

tak ogólnie

\begin{aligned} | ψ ⟩ | 0 ⟩ ↛ | ψ ⟩ | ψ ⟩ \end{aligned}

$\begin{align} |\psi\rangle|0\rangle\not\rightarrow|\psi\rangle|\psi\rangle \end{align}$

a fanout nie klonuje.

Jeśli chodzi o pytanie, jak zmienia się pierwszy kubit - jest on teraz splątany z drugim kubitem.

— kludg
źródło

innymi słowy, ponieważ twierdzenie o braku klonowania mówi, że nie może być żadnej jednostki zdolnej do klonowania stanów nieortogonalnych , podczas gdy stany ortogonalne można klonować bez problemów

— glS

6

Dobre pytanie! Odpowiedź brzmi : twierdzenie o braku klonowania mówi, że nie można sklonować dowolnego nieznanego stanu .

$\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$ $|0\rangle$ $|1\rangle$

$|\psi\rangle$ $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle + |1\rangle)$

— użytkownik1271772
źródło

| x ⟩

$|x\rangle$

| x ⟩

$|x\rangle$

| ψ ⟩

$|\psi\rangle$

4

Twierdzenie o braku klonowania mówi, że nie ma obwodu, który tworzy niezależne kopie wszystkich stanów kwantowych. Matematycznie żaden klonowanie nie stwierdza, że:

\forall do : \exists za, b : do \cdot ((za | 0 ⟩ + b | 1 ⟩) \otimes | 0 ⟩) \neq (za | 0 ⟩ + b | 1 ⟩) \otimes (za | 0 ⟩ + b | 1 ⟩)

Obwody Fanout nie naruszają tego twierdzenia. Nie robią niezależnych kopii. Wykonują splątane kopie. Matematycznie robią:

FANOUT \cdot ((za | 0 ⟩ + b | 1 ⟩) \otimes | 0 ⟩) = za | 00 ⟩ + b | 11 ⟩

$\text{FANOUT} \cdot \Big( (a|0\rangle + b|1\rangle) \otimes |0\rangle \Big) = a|00\rangle + b|11\rangle$

— Craig Gidney
źródło