Jeśli przyspieszenie kwantowe wynika z falowej natury mechaniki kwantowej, dlaczego po prostu nie użyć zwykłych fal?

Mam intuicję, dlaczego obliczenia kwantowe mogą osiągać lepsze wyniki niż obliczenia klasyczne, że falowa natura funkcji falowych pozwala interferować wiele stanów informacji za pomocą jednej operacji, co teoretycznie może pozwolić na wykładnicze przyspieszenie.

Ale jeśli tak naprawdę jest to po prostu konstruktywna ingerencja w skomplikowane stany, dlaczego po prostu nie wykonać tej ingerencji w fale klasyczne?

I jeśli chodzi o tę wartość, jeśli liczba zasług jest po prostu liczbą kroków, które można obliczyć, dlaczego nie zacząć od skomplikowanego systemu dynamicznego, w którym osadzono pożądane obliczenia. (tj. dlaczego nie stworzyć „symulatorów analogowych” dla konkretnych problemów?)

Twoje podstawowe twierdzenie, że matematyka fal naśladuje mechanikę kwantową, jest słuszne. W rzeczywistości wielu pionierów QM nazywało to mechaniką fal z tego właśnie powodu. Zatem naturalne jest pytanie: „Dlaczego nie możemy wykonywać obliczeń kwantowych za pomocą fal?”.

Krótka odpowiedź brzmi: mechanika kwantowa pozwala nam pracować z wykładniczo dużą przestrzenią Hilberta, wydając tylko zasoby wielomianowe. Oznacza to, że przestrzeń stanu kubitów wynosi 2 $n$$2^n$ wymiarowej przestrzeni Hilberta.

Nie można zbudować wykładniczo dużej przestrzeni Hilberta z wielomianowo wielu klasycznych zasobów. Aby zobaczyć, dlaczego tak jest, przyjrzyjmy się dwóm różnym rodzajom komputerów opartych na mechanice falowej.

Pierwszym sposobem na zbudowanie takiego komputera byłoby zabranie dwupoziomowych klasycznych systemów. Każdy system sam w sobie mógłby być reprezentowany przez dwuwymiarową przestrzeń Hilberta. Na przykład można sobie wyobrazić $n$$n$ struny gitary tylko z dwóch pierwszych harmonicznych podekscytowany.

Ta konfiguracja nie będzie w stanie naśladować obliczeń kwantowych, ponieważ nie ma splątania. Zatem dowolny stan systemu będzie stanem produktu, a połączonego systemu strun gitarowych nie można użyć do uzyskania 2 $n$$2^n$ wymiarowej przestrzeni Hilberta.

Drugim sposobem, w jaki można spróbować zbudować wykładniczo dużą przestrzeń Hilberta, jest użycie pojedynczego użądlenia gitary i identyfikacja jego pierwszych harmonicznych z wektorami bazowymi przestrzeni Hilberta. Odbywa się to w odpowiedzi @DaftWullie. Problem z tym podejściem polega na tym, że częstotliwość najwyższej harmonicznej, którą należy wzbudzić, aby to się stało, będzie skalowana jako O ( 2 n$2^n$$O(2^n)$ . A ponieważ energia drgającej struny skaluje się kwadratowo wraz z jej częstotliwością, będziemy potrzebować wykładniczej ilości energii do wzbudzenia struny. Zatem w najgorszym przypadku koszt energii obliczeń może być skalowany wykładniczo wraz z rozmiarem problemu.

Kluczową kwestią jest tutaj to, że klasyczne systemy nie są splątane między fizycznie oddzielnymi częściami. I bez splątania nie możemy budować wykładniczo dużych przestrzeni Hilberta z wielomianowym narzutem.

Sam często opisuję źródło mocy mechaniki kwantowej jako wynik „interferencji destrukcyjnej”, czyli falowej natury mechaniki kwantowej. Z punktu widzenia złożoności obliczeniowej jest jasne, że jest to jedna z najważniejszych i najbardziej interesujących cech obliczeń kwantowych, jak zauważa na przykład Scott Aronson . Ale kiedy opisujemy to w ten bardzo krótki sposób - że „moc obliczeń kwantowych polega na destrukcyjnej interferencji / falowej naturze mechaniki kwantowej” - ważne jest, aby zauważyć, że tego rodzaju stwierdzenie jest skrótem i z konieczności niepełne.

Ilekroć wypowiadasz się o „sile” lub „przewadze” czegoś, ważne jest, aby pamiętać: w porównaniu z czym ? W tym przypadku porównujemy konkretnie obliczenia probabilistyczne: nie chodzi nam tylko o to, że „coś” działa jak fala, ale o to, że coś, co w innym przypadku jest prawdopodobieństwem, działa jak fala.

Trzeba powiedzieć, że samo prawdopodobieństwo w klasycznym świecie już działa trochę jak fala: w szczególności przestrzega pewnego rodzaju zasady Huygen'a (że można zrozumieć propagację prawdopodobieństwa rzeczy poprzez zsumowanie wkładów z poszczególnych początków warunki - lub innymi słowy, zasada superpozycji ). Różnica polega oczywiście na tym, że prawdopodobieństwo jest nieujemne, a zatem może się tylko kumulować, a jego ewolucja będzie zasadniczo formą dyfuzji. Obliczeniom kwantowym udaje się wykazywać zachowanie podobne do fali z amplitudami podobnymi do prawdopodobieństwa, które mogą być dodatnie; i dlatego można zobaczyć destrukcyjną interferencję tych amplitud.

W szczególności, ponieważ rzeczy, które działają jak fale, są na przykład prawdopodobieństwami, „przestrzeń częstotliwości”, w której ewoluuje system, może być wykładnicza pod względem liczby cząstek, które bierzesz pod uwagę w obliczeniach. Ten ogólny rodzaj zjawiska jest konieczny, jeśli chcesz uzyskać przewagę nad konwencjonalnym obliczeniem: jeśli przestrzeń częstotliwości skalowana jest wielomianowo z liczbą układów, a sama ewolucja jest zgodna z równaniem falowym, przeszkody w symulacji z klasycznymi komputerami byłyby łatwiejsze przezwyciężać. Jeśli chcesz zastanowić się, jak osiągnąć podobne przewagi obliczeniowe z innymi rodzajami fal, musisz zadać sobie pytanie, w jaki sposób zamierzasz wycisnąć w wykładniczej ilości dających się odróżnić „częstotliwości” lub „modów” w ograniczonej przestrzeni energetycznej.

Wreszcie, w praktycznej uwadze, istnieje kwestia odporności na uszkodzenia. Innym efektem ubocznym zachowania falowego prezentowanego przez zjawiska podobne do prawdopodobieństwa jest to, że można wykonać korektę błędu przez testowanie parzystości lub, bardziej ogólnie, zgrubnych treningów rozkładów brzeżnych. Bez tej możliwości obliczenia kwantowe byłyby zasadniczo ograniczone do pewnej formy obliczeń analogowych, która jest przydatna do niektórych celów, ale która ogranicza się do problemu wrażliwości na szum. Nie mamy jeszcze odpornych na błędy obliczeń kwantowych w zbudowanych systemach komputerowych, ale wiemy, że jest to w zasadzie możliwe i dążymy do tego; mając na uwadze, że nie jest jasne, w jaki sposób można osiągnąć podobne działania na przykład za pomocą fal wodnych.

Niektóre z tych innych odpowiedzi dotknąć na tej samej cechy mechaniki kwantowej: „dualizm falowo-cząstka” jest sposobem wyrażania fakt, że mamy coś probabilistyczny o zachowaniu poszczególnych cząsteczek, które zachowują się jak fale, a także uwagi o skalowalności / Wynika z tego wykładniczo przestrzeń konfiguracji. Ale u podstaw tych nieco wyższych opisów leży fakt, że mamy amplitudy kwantowe, zachowujące się jak elementy wielowymiarowego rozkładu prawdopodobieństwa, ewoluujące liniowo z czasem i kumulujące się, ale które mogą być zarówno ujemne, jak i dodatnie.

Tym, co odróżnia mechanikę fali kwantowej od klasycznej, jest to, że fala jest definiowana w przestrzeni konfiguracyjnej o ogromnej liczbie wymiarów. W nierelatywistycznej licencjackiej mechanice kwantowej (co jest wystarczające do teoretycznej dyskusji na temat obliczeń kwantowych) układ cząstek bezspiracyjnych w przestrzeni 3D opisany jest przez falę w R 3 n , która dla n = 2 już nie ma analogii w klasycznej mechanika. Wszystkie algorytmy kwantowe wykorzystują to. Możliwe jest wykorzystanie klasycznej mechaniki fal w celu poprawy niektórych obliczeń (obliczenia analogowe), ale nie przy użyciu algorytmów kwantowych.$n$$\mathbb{R}^{3n}$$n=2$

Zwykły model obliczeń kwantowych wykorzystuje kubity, które mogą znajdować się tylko w dwóch stanach ( ), a nie w kontinuum stanów ( R 3 ). Najbliższym klasycznym analogiem są sprzężone wahadła, a nie fale ciągłe. Ale wciąż istnieje wykładnicza różnica między przypadkami klasycznymi i kwantowymi: klasyczny układ n wahadeł jest opisany przez n pozycji i momenta (lub n liczb zespolonych), podczas gdy układ kwantowy jest opisany przez 2 n liczb zespolonych (lub 2 n abstrakcyjnych " pozycje ”i„ moment ”, ale fizycy kwantowi nigdy tak nie mówią).$\{0,1\}$$\mathbb{R}^3$$n$$n$$2^n$$2^n$

Nie twierdzę, że mam pełną odpowiedź (jeszcze! ​​Mam nadzieję ją zaktualizować, ponieważ jest to interesujący problem, aby dobrze wyjaśnić). Ale zacznę od kilku wyjaśnień ...

Ale jeśli tak naprawdę jest to po prostu konstruktywna ingerencja w skomplikowane stany, dlaczego po prostu nie wykonać tej ingerencji w fale klasyczne?

Odpowiedzią glib jest to, że nie jest to tylko interferencja. Myślę, że tak naprawdę sprowadza się to do tego, że mechanika kwantowa stosuje inne aksjomaty prawdopodobieństwa (amplitudy prawdopodobieństwa) niż fizyka klasyczna i nie są one odtwarzane w scenariuszu falowym.

$L$

$^*$$\{A_n\}$

$^*$

$\{A_n\}$

Może to być jeden ze sposobów dostrzegania różnicy (lub przynajmniej zmierzania we właściwym kierunku). Istnieje sposób wykonywania obliczeń kwantowych sklasyfikowanych na podstawie obliczeń kwantowych. Przygotowujesz swój system w określonym stanie (który, jak już ustaliliśmy, moglibyśmy zrobić z naszymi bitami w), a następnie mierzysz różne kubity. Wybór podstawy pomiaru determinuje obliczenia. Ale nie możemy tego zrobić tutaj, ponieważ nie mamy takiego wyboru podstawy.

I jeśli chodzi o tę wartość, jeśli liczba zasług jest po prostu liczbą kroków, które można obliczyć, dlaczego nie zacząć od skomplikowanego systemu dynamicznego, w którym osadzono pożądane obliczenia. (tj. dlaczego nie stworzyć „symulatorów analogowych” dla konkretnych problemów?)

$H$$t_0$$e^{iHt_0}$$2H$$t_0$$t_0/2$$H$

$H$$e^{-iHt_0}$

Regularne fale mogą przeszkadzać, ale nie mogą się zaplątać.
Przykład splątanej pary kubitów, która nie może się zdarzyć z falami klasycznymi, podany jest w pierwszym zdaniu mojej odpowiedzi na to pytanie: Jaka jest różnica między zestawem kubitów a kondensatorem z podzieloną płytką?

Splątanie jest uważane za kluczową rzecz, która daje komputerom kwantowym przewagę nad komputerami klasycznymi, ponieważ sama superpozycja może być symulowana przez probabilistyczny komputer klasyczny (tj. Komputer klasyczny plus flipper monety).

„dlaczego nie wykonać tej interferencji z falami klasycznymi?”

Yes this is one way we can simulate quantum computers on regular digital computers. We simulate the "waves" using floating point arithmetic. The problem is that it does not scale. Every qubit doubles the number of dimensions. For 30 qubits you already need about 8 gigabytes of ram just to store the "wave" aka state vector. At around 40 qubits we run out of computers big enough to do this.

A similar question was asked here: What's the difference between a set of qubits and a capacitor with a subdivided plate?