Czy lokalna równoważność Clifforda ma bezpośrednią reprezentację graficzną stanów graficznych qudit o wymiarze innym niż pierwotny?


9

To pytanie jest kontynuacją poprzedniego pytania QCSE: „ Czy stany wykresów qudit są dobrze zdefiniowane dla wymiaru innego niż podstawowy? ”. Z odpowiedzi na pytanie wydaje się, że nie ma nic złego w definiowaniu stanów wykresu za pomocąd-wymiarowe qudity, jednak wydaje się, że inne aspekty definiujące stany grafowe nie rozciągają się podobnie na wymiar inny niż podstawowy.

W szczególności w przypadku stanów wykresu kubitowego jednym kluczowym aspektem ich rozpowszechnienia i zastosowania jest fakt, że: dowolne dwa stany wykresu są lokalnym odpowiednikiem Clifforda wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje pewna sekwencja lokalnych uzupełnień, które przenoszą jeden wykres na drugi (w uproszczeniu niekierowane wykresy). Nie trzeba dodawać, że jest to niezwykle przydatne narzędzie w analizach kwantowej korekcji błędów, splątania i architektury sieci.

Rozważając n-qudit stany wykresu, wykres równoważny jest teraz ważony za pomocą macierzy przylegania AZdn×n, gdzie Aij to waga krawędzi (i,j) (z Aij=0wskazując brak krawędzi). W przypadku qudit wykazano, że równoważność LC można podobnie rozszerzyć przez uogólnienie lokalnej komplementacji (av) i włączenie operacji zwielokrotniania krawędzi (bv), gdzie:

av:AijAij+aAviAvji,jNG(v),ijbv:AvibAviiNG(v),
gdzie a,b=1,,d1 i cała arytmetyka jest wykonywana modulo p.

Graficznie jest to reprezentowane przez następujące operacje (odtworzone z Ref. 2 ):

Jeśli jednak stan wykresu jest zdefiniowany dla qudits o wymiarach niepierwotnych, możemy zobaczyć, że te operacje (wydają się) nie reprezentują równoważności LC.

Na przykład weź stan qudit |G przedstawił wykres G na ryc. 1, zdefiniowany dla wymiaru qudit d=4, i pozwól x=y=z=2, takie że A12=A13=A14=2. W takim przypadku występ21 następnie A1i2×2=40mod4i, a zatem qudit 1jest oddzielony od wszystkich innych qudit przy użyciu tylko operacji lokalnych. Oczywiście jest to błędne i występuje z powodu problemu dzielnik zera, jak wspomniano w poprzednim pytań odpowiedź .

Moje pytanie brzmi: jest tam jakikolwiek zestaw operacji wykres, który właściwie reprezentować lokalne równoważność Clifford dla państw wykresu qudit z drugorzędnych wymiaru?

Uwaga: Interesują mnie przede wszystkim operacje, które dotyczą bezpośrednio reprezentacji stanu jako pojedynczego wykresu ważonego, a nie możliwych rozkładów na wiele stanów wykresu pierwotnego, jak sugerowano w rozdz. 4.3 „ Absolutnie maksymalnie uwikłanych stanów graficznych Qudit ”.


Skoro stworzyłeś nowe stany wykres- tag , czy mógłbyś napisać dla niego tag wiki? Przejdź tutaj . Dziękuję Ci.
Sanchayan Dutta

Odpowiedzi:


2

Niepoprawne jest stosowanie arytmetyki modulo w tym kontekście. Zamiast tego należy zastosować arytmetykę pola skończonego. WGF(4)={0,1,x,x2} gdzie x2=x+1 i koniugacja a jest zdefiniowany jako a¯=a2.

Tabele dodawania, mnożenia i koniugacji są następujące:

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Na tym zdjęciu mamy 00, 11, 2x, i 3x2 takie, że 2×2=3 i dlatego widoczna niespójność nie występuje.


Jakiej definicji „2” używasz tutaj? Brak innych konwencji dotyczącychF=GF(4), Przypuszczam 2:=1F+1F=0F=:0, w którym to przypadku 2×2=0.
Niel de Beaudrap,

Dodałem edycję wyjaśniającą :)
SLesslyTall
Korzystając z naszej strony potwierdzasz, że przeczytałeś(-aś) i rozumiesz nasze zasady używania plików cookie i zasady ochrony prywatności.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.