Jak zaimplementować wykładniczą macierz w obwodzie kwantowym?

Być może jest to naiwne pytanie, ale nie mogę wymyślić, jak faktycznie potęgować macierz w obwodzie kwantowym. Zakładając, że mam ogólną macierz kwadratową A , jeśli chcę uzyskać jej wykładniczy, $e^{A}$ , mogę użyć tej serii

{mi}^{ZA} ≃ ja + ZA + \frac{{ZA}^{2)}}{2)!} + \frac{{ZA}^{3)}}{3)!} + . . .

$e^{A} \simeq I+ A+\frac{A^2}{2!}+\frac{A^3}{3!}+...$

Aby mieć przybliżenie. Nie rozumiem, jak to zrobić za pomocą bramek kwantowych, a następnie zastosować to na przykład do przeprowadzenia symulacji Hamiltona. Trochę pomocy?

— FSic
źródło

Nie jest jasne, czy mówisz o obwodzie kwantowym, który bierze

A

$A$ jako dane wejściowe i wyjściowe

e^{A}

$e^A$ lub symulacja Hamiltona (tj. zbuduj obwód, którego jednolita macierz pasuje

e^{i A}

$e^{iA}$ ).

— Nelimee

Mój błąd; miałem na myśli, wziąwszy macierz A, chcę mieć w swoim obwodzie jej wykładniczy,

e^{i A}

$e^{iA}$ .

— FSic

Przeformułowanie pytania:

Jak przeprowadzić symulację Hamiltoniana dla ogólnej macierzy kwadratowej $A$ ?

Szybka odpowiedź : nie jest to możliwe.

Celem Hamiltonian Simulation (HS) jest znalezienie obwodu kwantowego (tj. Szeregu bramek), który działa jak $U(t) = e^{-iAt}$ w stanie kwantowym. Tutaj $U(t)$ musi być jednolity (ze względu na właściwości bram kwantowych) i tak dalej $e^{-iAt}$ musi również być jednolity.

Dlatego algorytm HS ma zastosowanie tylko do macierzy $A$ takie, że $e^{-iAt}$ jest jednolity. Każda macierz pustelnicza spełnia tę właściwość, ale nie każda ją generic square matrixspełnia. W zależności od problemu to ograniczenie może, ale nie musi stanowić problemu, ale nie możesz użyć HS, jeśli $e^{-iAt}$ nie jest jednolity.

Na przykład dla algorytmu HHL (wykorzystującego HS z $A$ jako podprogram) z systemem $Ax=b$ , gdyby $e^{-iAt}$ nie jest jednolity, możesz zamiast tego rozważyć problem

do y = (\begin{matrix} 0 & ZA \\ {ZA}^{†} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 \\ x \end{matrix}) = (\begin{matrix} b \\ 0 \end{matrix}),

$Cy = \begin{pmatrix} 0 & A \\ A^\dagger & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ x\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}b \\ 0\end{pmatrix},$ rozwiąż go za pomocą HHL (co jest teraz możliwe, ponieważ nowa matryca

C

$C$ jest pustelnikiem) i wyzdrowieć

x

$x$ .

Ciekawe pytanie brzmi teraz:

Jak wykonać Symulację Hamiltona dla danej macierzy pustelnikowej $A$ ?

Odpowiedź będzie zależeć od właściwości $A$ .

To ogromny temat badawczy i jest wiele do powiedzenia na jego temat. Nie przedstawię tutaj wszystkich metod, ponieważ są one dość skomplikowane i nie zrozumiałem ich wszystkich. Oto lista artykułów / prezentacji związanych z HS, które mogą być interesujące na początek w HS:

Symulowanie dynamiki hamiltonowskiej na małym komputerze kwantowym : slajdy o HS. Nawet jeśli jest to prezentacja, jest to najbardziej kompletne źródło, jakie znalazłem w Hamiltonian Simulation. Przedstawia szybko 3 różne metody i przytacza ciekawe artykuły dla każdej metody.
Wykład na temat algorytmów kwantowych (Andrew M. Childs, 2017) : najnowszy i raczej kompletny. HS omówiono w rozdziale 25 (strona 123).
Wykładnicza poprawa precyzji w symulacji rzadkich hamiltonianów : szczegółowo przedstawia jedną z 3 metod przedstawionych w 1.
Wydajne algorytmy kwantowe do symulacji rzadkich hamiltonianów : szczegółowo przedstawia inną z 3 metod przedstawionych w 1.

— Nelimee
źródło

Dziękuję, szczególnie za referencje, przyjrzę się im!

— FSic

Polecam zacząć od pierwszego odniesienia. Jest najbardziej kompletny i zawiera link do innych artykułów. Dla mnie (osobisty punkt widzenia) pierwsza technika wykorzystująca formułę Trotter-Suzuki jest najbardziej zrozumiała. Ale może nie być tak samo dla ciebie!

— Nelimee

Każda matryca pustelnicza spełnia tę właściwość : a dokładniej wszystkie macierze hermitowskie mają tę właściwość

— glS