Są wszyscy

Twierdzenie 2 z [1] stwierdza:

Załóżmy, jest dodatek siebie prostopadłe pod-kod , zawierający wektory, takie, że nie ma wektory masy w . Zatem dowolna przestrzeń własna jest addytywnym kodem korygującym błędy kwantowe o parametrach .$C$$\textrm{GF}(4)^n$$2^{n-k}$$<d$$C^\perp/C$$\phi^{-1}(C)$$[[n, k, d]]$

gdzie tutaj jest mapą między binarną reprezentacją krotnych operatorów Pauli a powiązanym z nimi słowem kodowym, a jest self- prostopadłe jeśli gdzie jest podwójny z .$\phi: \mathbb{Z}_2^{2n} \rightarrow \textrm{GF}(4)^n$$n$$C$$C \subseteq C^\perp$$C^\perp$$C$

Mówi nam to, że każdy addytywny ortogonalny klasyczny kod reprezentuje kod kwantowy.$\textrm{GF}(4)^n$$[[n, k, d]]$

Moje pytanie brzmi, czy prawda jest odwrotna, to znaczy: czy każdy kod kwantowy jest reprezentowany przez addytywny samoorganiczny klasyczny kod?$[[n, k, d]]$$\textrm{GF}(4)^n$

Lub równoważnie: Czy istnieją kody kwantowe, które nie są reprezentowane przez addytywny samoorganiczny klasyczny kod?$[[n, k, d]]$$\textrm{GF}(4)^n$

[1]: Calderbank, A. Robert i in. „Kwantowa korekcja błędów za pomocą kodów nad GF (4).” Transakcje IEEE dotyczące teorii informacji 44.4 (1998): 1369-1387.

Konieczne jest addytywne ograniczenie samo-ortogonalne klasycznych kodów w celu utworzenia kodów kwantowych stabilizatora, ponieważ generatory stabilizatorów muszą dojeżdżać między nimi, aby utworzyć prawidłową przestrzeń kodu. Podczas tworzenia kodów kwantowych z kodów klasycznych relacja komutacji dla stabilizatorów jest równoważna z posiadaniem samo-ortogonalnego kodu klasycznego.

Jednak kody kwantowe można konstruować na podstawie klasycznych kodów nieortogonalnych $GF(4)^n$za pomocą pomocy w splątaniu. W tych konstrukcjach wybiera się dowolny klasyczny kod, a dodając niektóre pary Bell w układzie kubitowym, uzyskuje się komutację między stabilizatorami.

Ten paradygmat wspomagany przez splątanie do konstruowania QECC z dowolnego klasycznego kodu jest przedstawiony w arXiv: 1610.04013 , który jest oparty na artykule „Correcting Quantum Errors with Entanglement” opublikowanym w Science przez Bruna, Devetaka i Hsieha.

Twoje pytanie może być częściowo postrzegane jako problem notacyjny.

Notacja $[[n,k,d]]_D$jest często (ale nie zawsze) zarezerwowany dla kodów typu stabilizatora. Jak pokazuje praca Calderbank i wsp., Kody stabilizatora kubit są równoważne addytywnym kodom klasycznym GF (4) ^ addytywnej. Ta konstrukcja uogólnia, patrz Ref. Ketkar i in. oraz Ashikhmin i Knill . Tutaj wymiar kodu to$D^k$ dla quDits.

Niektórzy autorzy używają $((n,K,d))_D$ oznaczać (stabilizator i niestabilizator) kody, które mają wymiary $K$. Zauważ, że$K$ to niekoniecznie jest siłą $D$.

Rains i in. byli pierwszymi, którzy zbudowali$((5,6,2))$ kod typu niestabilizującego, który jest znacznie lepszy niż jakikolwiek kod stabilizatora na pięciu kubitach: dla porównania najlepszy ma parametry $[[5,2,2]]$i dlatego ma wymiar $2^2 = 4 < 6$. Więcej przykładów nieaddytywnych kodów kwantowych znajdziesz w Yu i in. , Smolin i in. oraz Grassl i Beth .