Algorytm Grovera: przykład z prawdziwego życia?

13

Jestem dość zdezorientowany, w jaki sposób algorytm Grovera może być wykorzystywany w praktyce i chciałbym prosić o pomoc w wyjaśnieniu na przykładzie.

Załóżmy, że baza danych elementów zawiera kolory: czerwony, pomarańczowy, żółty, zielony, cyjan, niebieski, indygo i fioletowy i niekoniecznie w tej kolejności. Moim celem jest znalezienie Reda w bazie danych. $N=8$

Dane wejściowe dla algorytmu Grovera to kubity, przy czym 3 kubity kodują wskaźniki zestawu danych. Moje zamieszanie przychodzi tutaj (może być mylone co do przesłanek, więc powiedzmy, że dochodzi tu do zamieszania), że, jak rozumiem, wyrocznia faktycznie szuka jednego z wskaźników zbioru danych (reprezentowanego przez superpozycję 3 kubitów), a ponadto wyrocznia jest „zakodowana na stałe”, dla którego indeksu powinna szukać. $n = \log_2(N=8) = 3$

Moje pytania to:

Co się tutaj mylę?
Jeśli wyrocznia naprawdę szuka jednego z indeksów bazy danych, oznaczałoby to, że już wiemy, którego indeksu szukamy, więc po co szukać?
Biorąc pod uwagę powyższe warunki związane z kolorami, czy ktoś mógłby wskazać, czy Grover może poszukać Czerwonego w nieustrukturyzowanym zbiorze danych?

Istnieją implementacje algorytmu Grovera z wyrocznią dla szukającą | 111>, np. (Lub zobacz implementację R tej samej wyroczni poniżej): /quantum//a/2205 $n=3$

Ponownie moje zamieszanie polega na tym, że biorąc pod uwagę, że nie znam pozycji elementów w zbiorze danych, algorytm wymaga ode mnie wyszukania ciągu, który koduje pozycję elementów. Skąd mam wiedzieć, której pozycji powinienem szukać, gdy zbiór danych jest nieustrukturyzowany? $N$ $N$

Kod R:

 #START
 a = TensorProd(TensorProd(Hadamard(I2),Hadamard(I2)),Hadamard(I2))
 # 1st CNOT
 a1= CNOT3_12(a)
 # 2nd composite
 # I x I x T1Gate
 b = TensorProd(TensorProd(I2,I2),T1Gate(I2)) 
 b1 = DotProduct(b,a1)
 c = CNOT3_02(b1)
 # 3rd composite
 # I x I x TGate
 d = TensorProd(TensorProd(I2,I2),TGate(I2))
 d1 = DotProduct(d,c)
 e = CNOT3_12(d1)
 # 4th composite
 # I x I x T1Gate
 f = TensorProd(TensorProd(I2,I2),T1Gate(I2))
 f1 = DotProduct(f,e)
 g = CNOT3_02(f1)
 #5th composite
 # I x T x T
 h = TensorProd(TensorProd(I2,TGate(I2)),TGate(I2))
 h1 = DotProduct(h,g)
 i = CNOT3_01(h1)
 #6th composite
 j = TensorProd(TensorProd(I2,T1Gate(I2)),I2)
 j1 = DotProduct(j,i)
 k = CNOT3_01(j1)
 #7th composite
 l = TensorProd(TensorProd(TGate(I2),I2),I2)
 l1 = DotProduct(l,k)
 #8th composite
 n = TensorProd(TensorProd(Hadamard(I2),Hadamard(I2)),Hadamard(I2))
 n1 = DotProduct(n,l1)
 n2 = TensorProd(TensorProd(PauliX(I2),PauliX(I2)),PauliX(I2))
 a = DotProduct(n2,n1)
 #repeat the same from 2st not gate
 a1= CNOT3_12(a)
 # 2nd composite
 # I x I x T1Gate
 b = TensorProd(TensorProd(I2,I2),T1Gate(I2))
 b1 = DotProduct(b,a1)
 c = CNOT3_02(b1)
 # 3rd composite
 # I x I x TGate
 d = TensorProd(TensorProd(I2,I2),TGate(I2))
 d1 = DotProduct(d,c)
 e = CNOT3_12(d1)
 # 4th composite
 # I x I x T1Gate
 f = TensorProd(TensorProd(I2,I2),T1Gate(I2))
 f1 = DotProduct(f,e)
 g = CNOT3_02(f1)
 #5th composite
 # I x T x T
 h = TensorProd(TensorProd(I2,TGate(I2)),TGate(I2))
 h1 = DotProduct(h,g)
 i = CNOT3_01(h1)
 #6th composite
 j = TensorProd(TensorProd(I2,T1Gate(I2)),I2)
 j1 = DotProduct(j,i)
 k = CNOT3_01(j1)
 #7th composite
 l = TensorProd(TensorProd(TGate(I2),I2),I2)
 l1 = DotProduct(l,k)
 #8th composite
 n = TensorProd(TensorProd(PauliX(I2),PauliX(I2)),PauliX(I2))
 n1 = DotProduct(n,l1)
 n2 = TensorProd(TensorProd(Hadamard(I2),Hadamard(I2)),Hadamard(I2))
 n3 = DotProduct(n2,n1)
 result=measurement(n3)
 plotMeasurement(result)

grovers-algorithm

— 01000001
źródło

3

Możliwy duplikat algorytmu Grovera: gdzie jest lista?

— DaftWullie

powiązane również z: quantumcomputing.stackexchange.com/q/175/55

— glS

5

| x ⟩_{address} | 0 ⟩_{value} \to | x ⟩_{address} | load (x) \oplus 0 ⟩_{value} = | x ⟩_{address} | load (x) ⟩_{value} .

$|x\rangle_{\text{address}}|0\rangle_{\text{value}} \rightarrow |x\rangle_{\text{address}}|\textrm{load}(x)\oplus 0\rangle_{\text{value}} = |x\rangle_{\text{address}}|\textrm{load}(x)\rangle_{\text{value}}.$

H_{address}^{\otimes n} | 0 ⟩_{address} | 0 ⟩_{value} = \frac{1}{2^{n / 2}} \sum_{x = 0}^{2^{n} - 1} | x ⟩_{address} | 0 ⟩_{value}

$H^{\otimes n}_{\text{address}} |0\rangle_{\text{address}}|\textrm0\rangle_{\text{value}}=\frac1{2^{n/2}}\sum_{x=0}^{2^n-1} |x\rangle_{\text{address}}|\textrm0\rangle_{\text{value}}$

apply load \to \frac{1}{2^{n / 2}} \sum_{x = 0}^{2^{n} - 1} | x ⟩_{address} | load (x) ⟩_{value}

$\text{apply load}\rightarrow \frac1{2^{n/2}}\sum_{x=0}^{2^n-1} |x\rangle_{\text{address}}|\textrm{load}(x)\rangle_{\text{value}}$

O (\sqrt{N})

$O(\sqrt{N})$

x^{*}

$x^*$

| x^{*} ⟩_{address} | load (x^{*}) ⟩_{value} .

$|x^*\rangle_{\text{address}}|\textrm{load}(x^*)\rangle_{\text{value}}.$

Być może głównym problemem jest zrozumienie bazy danych, a nie algorytmu Grovera. Bardziej szczegółowe wyjaśnienie można znaleźć w rozdziale 6.5 Nielsen i Chuang.

Myślę też, że najbardziej użyteczną aplikacją algorytmu Grovera nie jest aplikacja bazy danych, ale jej uogólnienie jako wzmocnienie amplitudy (patrz https://arxiv.org/abs/quant-ph/0005055 ) na dowolnym algorytmie kwantowym.

$\neq$

— Alex Go
źródło

\neq

$\neq$

\sum_{k} | k ⟩ \otimes | s_{k} ⟩

$\sum_k |k\rangle\otimes|s_k\rangle$

k

$k$

s_{k} = + 1

$s_k=+1$

s_{k}

$s_k$ .

— glS

\neq

$\neq$

4

Jest to już częściowo omówione w tym powiązanym pytaniu , ale postaram się tutaj rozwiązać bardziej szczegółowo niektóre z poruszanych przez ciebie problemów.

| i ⟩ \mapsto (- 1)^{f (x_{i})} | i ⟩,

$|i\rangle\mapsto(-1)^{f(x_i)}|i\rangle,$

i

$i$

x_{i}

$x_i$

i

$i$

$f(x_i)$ $x_i$ $x_i$ $x_i$ $P$ $P$

$f$ $x_i$ $i$ $x_i$

$x_i=i$ $x_i$

W takim przypadku algorytm rzeczywiście nie jest szczególnie przydatny, ponieważ odpowiedź musi być zakodowana w wyroczni, ale nie musi tak być w ogóle.

— glS
źródło

Dziękuję za odpowiedź! Być może byłoby możliwe podanie prawdziwego przykładu, w którym Grover jest „przydatny” w odniesieniu do niektórych rzeczywistych danych, biorąc pod uwagę prezentowaną wyrocznię? Np. Jak miałby działać z 8-elementową bazą danych z liczbami pierwszymi i niepierwszymi?

— 01000001

1

f

$f$

f

$f$

x

$x$