Jaka jest motywacja za matrycami gęstości? Jaka jest różnica między macierzami gęstości stanów czystych a macierzami gęstości stanów mieszanych?

^{To jest odpowiedź na pytanie, jaka jest różnica między czystym a mieszanym stanem kwantowym? & Jak znaleźć macierz gęstości kubita? Możesz pisać alternatywne odpowiedzi.}

quantum-state density-matrix

— Sanchayan Dutta
źródło

Motywacja

Motywacją macierzy gęstości jest reprezentowanie braku wiedzy na temat stanu danego układu kwantowego, obejmującego w jednym opisie tego układu wszystkie możliwe wyniki wyników pomiarów, biorąc pod uwagę to, co wiemy o układzie. Reprezentacja macierzy gęstości ma tę dodatkową zaletę, że pozbywa się wszelkich problemów związanych z fazami globalnymi, ponieważ Brak wiedzy może powstać na różne sposoby:

| ϕ ⟩ ⟨ ϕ | = (e^{i φ} | ϕ ⟩) (e^{- i φ} ⟨ ϕ |) .

$|\phi\rangle\langle\phi|=(e^{i\varphi}|\phi\rangle)(e^{-i\varphi}\langle\phi|).$

Subiektywny brak wiedzy - sędzia przygotowuje dla ciebie jeden z zestawów stanów z prawdopodobieństwem , ale nie wiesz który. Nawet jeśli wiedzą, który przygotowali, ponieważ nie, musisz to opisać na podstawie tego, co wiesz o możliwym zestawie stanów i odpowiadających im prawdopodobieństwach,. $\{|\phi_i\rangle\}$ $p_i$ $|\phi_j\rangle$ $\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$
Obiektywny brak wiedzy - jeśli układ kwantowy jest częścią większego stanu splątanego, nie można opisać układu jako stanu czystego, ale wszystkie możliwe wyniki pomiarów są opisane przez macierz gęstości uzyskaną przez . $\rho=\text{Tr}_B(\rho_{AB})$

Interesujące jest jednak to, że obiektywny brak wiedzy może stać się subiektywny - druga strona może wykonywać operacje na pozostałej części splątanego stanu. Mogą znać wyniki pomiarów itp., Ale jeśli nie przekażą tych wyników, osoba posiadająca oryginalny układ kwantowy nie ma nowej wiedzy i dlatego opisuje swój system za pomocą tej samej macierzy gęstości jak poprzednio, ale jest to teraz subiektywny opis .

Należy również zauważyć, że wybranie określonego sposobu reprezentacji macierzy gęstości, na przykładjest bardzo subiektywnym wyborem. Może być motywowany określoną procedurą przygotowawczą, ale matematycznie każdy opis, który daje tę samą matrycę, jest równoważny. Na przykład na jednym kubicie jest znany jako stan maksymalnie mieszany. Ze względu na relację kompletności podstawy można to przedstawić jako mieszaninę 50:50 lub dwa stany ortogonalne z wykorzystaniem dowolnej podstawy 1-kubitowej. $\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$ $\rho=\frac12\mathbb{I}$

\frac{1}{2} I = \frac{1}{2} | 0 ⟩ ⟨ 0 | + \frac{1}{2} | 1 ⟩ ⟨ 1 | = \frac{1}{2} | + ⟩ ⟨ + | + \frac{1}{2} | - ⟩ ⟨ - | .

$\frac12\mathbb{I}=\frac12|0\rangle\langle 0|+\frac12|1\rangle\langle 1|=\frac12|+\rangle\langle +|+\frac12|-\rangle\langle -|.$

Stany czyste i mieszane

Różnica między macierzą gęstości stanu czystego a stanem mieszanym jest prosta - stan czysty to szczególny przypadek, który można zapisać w postaci, podczas gdy w tym formularzu nie można zapisać stanu mieszanego. Matematycznie oznacza to, że macierz gęstości stanu czystego ma rangę 1, a stan mieszany ma rangę wyższą niż 1. Najlepszym sposobem obliczenia tego jest : oznacza stan czysty, w przeciwnym razie jest mieszany. Aby to zobaczyć, pamiętaj, że , co oznacza, że wszystkie wartości własne sumują się do 1. Ponadto, jest dodatnim półokreślonym, więc wszystkie wartości własne są rzeczywiste i nieujemne. Więc jeśli $\rho=|\psi\rangle\langle\psi |$ $\text{Tr}(\rho^2)$ $\text{Tr}(\rho^2)=1$ $\text{Tr}(\rho)=1$ $\rho$ $\rho$ ma rangę 1, wartości własne wynoszą , a ich kwadrat kwadratowy wynosi wyraźnie 1. Kwadrat kwadratowy dowolnego innego zestawu liczb nieujemnych, które sumują się do 1, musi być mniejszy niż 1. $(1,0,0,\ldots ,0)$

Stan czysty odpowiada doskonałej znajomości układu, choć zabawne w mechanice kwantowej jest to, że nie oznacza to pełnej wiedzy o możliwych wynikach pomiarów. Stany mieszane reprezentują pewną niedoskonałą wiedzę, niezależnie od tego, czy jest to wiedza o przygotowaniu, czy wiedza o większej przestrzeni Hilberta.

O tym, że opis stanu mieszanego jest znacznie bogatszy, można zobaczyć na obrazie kuli Blocha na jednym kubicie: wszystkie stany czyste to wszystkie te na powierzchni kuli, podczas gdy stany mieszane są wszystkie zawarte w objętości. Jeśli chodzi o liczenie parametrów, zamiast dwóch parametrów potrzebujesz trzech, dodatkowych odpowiadających długości wektora Blocha. gdzie jest 3-elementowym wektorem jednostkowym, jest wektorem macierzy Pauliego, a dla stanu czystego, a dla stanu mieszanego.

ρ = \frac{I + r \underline{n} \cdot \underline{σ}}{2},

$\rho=\frac{\mathbb{I}+r\underline{n}\cdot\underline{\sigma}}{2},$

\underline{n}

$\underline{n}$

\underline{σ}

$\underline{\sigma}$

r = 1

$r=1$

0 \leq r < 1

$0\leq r<1$

— DaftWullie
źródło

(+1) Dziękuję, zgodnie z moim zrozumieniem, mamy stan i chcemy wiedzieć o , i nie ma wcześniejszego sposobu na jego znalezienie, dlatego definiujemy gęstość macierz, czy mam rację? Czy mamy różne definicje macierzy gęstości do różnych celów? Jak wspomniałeś dlaz powodu subiektywnego braku wiedzy i obiektywnego , po pierwsze, nie jest dla mnie jasne, co rozumiesz przez brak wiedzy?

| Ψ_{A B} ⟩

$|\Psi_{AB}\rangle$

| Ψ_{A} ⟩

$|\Psi_A\rangle$

ρ = \sum_{i} p_{i} | ϕ_{i} ⟩ ⟨ ϕ_{i} |

$\rho=\sum_ip_i|\phi_i\rangle\langle \phi_i|$

ρ = {Tr}_{B} (ρ_{A B})

$\rho=\text{Tr}_B(\rho_{AB})$

— tarit goswami,

(ciąg dalszy) Po drugie, czy możesz wyjaśnić na przykładzie, co rozumiesz przez subiektywne i obiektywne ?

— tarit goswami

Cel @taritgoswami oznacza, że wszyscy się zgadzają. Tak więc, jeśli stworzę czysty stan i przekażę go światu, każdy wie, co to jest. To obiektywny fakt. Ale jeśli różni ludzie wiedzą różne rzeczy na temat stanu, np. Wiedzą, że to jest | 0> lub | 1>, ale ja to zmierzyłem i wiem, że to | 1>, ale nikomu nie powiedziałem, to wszyscy opisuje stan na podstawie tego, co o nim wiedzą, więc każdy temat ma inny, osobisty opis stanu.

— DaftWullie,

@taritgoswami Jeśli splątany jest , nie ma pojęcia . To nie tak, że nie możemy go znaleźć; To nie istnieje. Macierz gęstości jest najlepszym opisem samej A, która może istnieć, ponieważ A nie istnieje sama w sobie, jest scalona z macierzą B. Nie mamy różnych definicji macierzy gęstości. Obowiązują te same podstawowe właściwości, cokolwiek robisz, po prostu istnieją różne filozofie, dzięki którym możesz zrozumieć znaczenie i znaczenie macierzy gęstości.

| Ψ_{A B} ⟩

$|\Psi_{AB}\rangle$

| Ψ_{A} ⟩

$|\Psi_A\rangle$

— DaftWullie,

Motywacja za matrycami gęstości ^[1] :

W mechanice kwantowej stan układu kwantowego jest reprezentowany przez wektor stanu, oznaczony (i wyraźny ket ). Układ kwantowy z wektorem stanu nazywa się stanem czystym . Jednak możliwe jest również, że system będzie w zbiorze statystycznym różnych wektorów stanu. Na przykład może istnieć prawdopodobieństwo, że wektorem stanu jest a prawdopodobieństwo, że wektorem stanu jest . Ten system byłby w stanie mieszanym $|\psi\rangle$ $|\psi\rangle$ $50\%$ $|\psi_1\rangle$ $50\%$ $|\psi_2\rangle$ . Macierz gęstości jest szczególnie przydatna w stanach mieszanych, ponieważ każdy stan, czysty lub mieszany, może charakteryzować się macierzą o pojedynczej gęstości. Stan mieszany różni się od superpozycji kwantowej. Prawdopodobieństwa w stanie mieszanym są prawdopodobieństwami klasycznymi (tak jak prawdopodobieństwa uczy się w klasycznej teorii / statystyce prawdopodobieństwa), w przeciwieństwie do prawdopodobieństw kwantowych w superpozycji kwantowej. W rzeczywistości kwantowa superpozycja stanów czystych jest kolejnym stanem czystym, na przykład . W tym przypadku współczynniki nie są prawdopodobieństwami, ale raczej amplitudami prawdopodobieństwa. $\frac{|0\rangle + |1\rangle}{\sqrt{2}}$ $\frac{1}{\sqrt {2}}$

Przykład: polaryzacja światła

Przykładem stanów czystych i mieszanych jest polaryzacja światła. Fotony mogą mieć dwie helisy , odpowiadające dwóm ortogonalnym stanom kwantowym, (prawa polaryzacja kołowa ) i (lewa polaryzacja kołowa ). Foton może także znajdować się w stanie superpozycji, na przykład (polaryzacja pionowa) lub (polaryzacja pozioma). Mówiąc bardziej ogólnie, może być w dowolnym stanie (z ) odpowiadającym liniowemu , okrągłemu lub $|R\rangle$ $|L\rangle$ $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt{2}}$ $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt{2}}$ $\alpha|R\rangle + \beta |L\rangle$ $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$ polaryzacja eliptyczna . Jeśli miniemy światło spolaryzowane przez okrągły polaryzator, który pozwala albo tylko na światło spolaryzowane , albo tylko na światło spolaryzowane , w obu przypadkach intensywność zostanie zmniejszona o połowę. Może to sprawiać wrażenie, że połowa fotonów jest w stanie a druga w stanie . Ale to nie jest poprawne: Zarówno i są częściowo pochłaniane przez pionowy polaryzator liniowy , ale $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt{2}}$ $|R\rangle$ $|L\rangle$ $|R\rangle$ $|L\rangle$ $|R\rangle$ $|L\rangle$ $\frac{|R\rangle+|L\rangle}{\sqrt 2}$ światło przejdzie przez ten polaryzator bez żadnej absorpcji.

Jednak światło niespolaryzowane, takie jak światło żarówki, różni się od dowolnego stanu, takiego jak (polaryzacja liniowa, okrągła lub eliptyczna). W przeciwieństwie do światła spolaryzowanego liniowo lub eliptycznie, przechodzi on przez polaryzator ze stratą intensywności wynoszącą niezależnie od orientacji polaryzatora; i w przeciwieństwie do światła spolaryzowanego kołowo, nie można go spolaryzować liniowo za pomocą dowolnej płyty falowej, ponieważ polaryzacja losowo wyłoniona z płyty falowej o losowej orientacji. Rzeczywiście, niespolaryzowane światło nie może być opisane jako jakikolwiek stan formy $\alpha|R\rangle + \beta|L\rangle$ $50\%$ $\alpha |R\rangle + \beta |L\rangle$ w pewnym sensie. Jednak światło niespolaryzowane można opisać za pomocą średnich zespolonych, np. Że każdy foton ma albo z prawdopodobieństwem lub z prawdopodobieństwem . Takie samo zachowanie wystąpiłoby, gdyby każdy foton był spolaryzowany pionowo z prawdopodobieństwem lub polaryzacją poziomą z prawdopodobieństwem . $|R\rangle$ $50\%$ $|L\rangle$ $50\%$ $50\%$ $50\%$

Dlatego światła niespolaryzowanego nie można opisać żadnym stanem czystym, ale można go opisać jako zespół statystyczny stanów czystych na co najmniej dwa sposoby (zespół polaryzowany kołowo w połowie lewej i połowy prawej lub zespół spolaryzowany kołowo w połowie w połowie iw połowie w poziomie ). Te dwa zespoły są całkowicie nie do odróżnienia eksperymentalnie i dlatego są uważane za ten sam stan mieszany. Jedną z zalet macierzy gęstości jest to, że istnieje tylko jedna macierz gęstości dla każdego stanu mieszanego, podczas gdy istnieje wiele zestawów statystycznych stanów czystych dla każdego stanu mieszanego. Niemniej jednak macierz gęstości zawiera wszystkie informacje niezbędne do obliczenia wszelkich mierzalnych właściwości stanu mieszanego.

Skąd pochodzą stany mieszane? Aby odpowiedzieć na to pytanie, zastanów się, jak wygenerować niespolaryzowane światło. Jednym ze sposobów jest zastosowanie układu w równowadze termicznej , statystycznej mieszanki ogromnej liczby mikrostatów , z których każda z pewnym prawdopodobieństwem ( współczynnik Boltzmanna ), szybko przełącza się z jednego do drugiego z powodu wahań termicznych . Termiczna losowość wyjaśnia, dlaczego na przykład żarówka emituje niespolaryzowane światło. Drugim sposobem generowania niespolaryzowanego światła jest wprowadzenie niepewności w przygotowaniu układu, na przykład przepuszczenie go przez dwójłomny kryształo chropowatej powierzchni, dzięki czemu nieznacznie różne części wiązki uzyskują różne polaryzacje. Trzeci sposób generowania niespolaryzowanego światła wykorzystuje konfigurację EPR: rozpad radioaktywny może emitować dwa fotony podróżujące w przeciwnych kierunkach, w stanie kwantowym . Dwa fotony razem są w stanie czystym, ale jeśli spojrzysz tylko na jeden z fotonów i zignorujesz drugi, foton zachowuje się jak światło niespolaryzowane. $\frac{|R,L\rangle + |L,R\rangle}{\sqrt{2}}$

Mówiąc bardziej ogólnie, stany mieszane zwykle powstają ze statystycznej mieszanki stanu początkowego (np. W równowadze termicznej), z niepewności w procedurze przygotowywania (takiej jak nieco inne ścieżki, którymi może podróżować foton) lub z patrzenia na podsystem uwikłany w coś innego.

Uzyskiwanie macierzy gęstości ^[2] :

Jak wspomniano wcześniej, system może znajdować się w zbiorze statystycznym różnych wektorów stanu. Załóżmy, że istnieje prawdopodobieństwo że wektorem stanu jest a prawdopodobieństwo że wektorem stanu jest odpowiada klasycznym prawdopodobieństwom każdego przygotowywanego stanu. $p_1$ $|\psi_1\rangle$ $p_2$ $|\psi_2\rangle$

Powiedzmy, że teraz chcemy znaleźć wartość oczekiwaną operatora . Podawany jest jako: $\hat{O}$

⟨ \hat{O} ⟩ = p_{1} ⟨ ψ_{1} | \hat{O} | ψ_{1} ⟩ + p_{2} ⟨ ψ_{2} | \hat{O} | ψ_{2} ⟩

$\langle \hat{O} \rangle = p_1\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle + p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle$

Zauważ, że i są skalarami, a ślad skalarów również skalarami. Zatem możemy napisać powyższe wyrażenie jako: $\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle$ $p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle$

⟨ \hat{O} ⟩ = T r (p_{1} ⟨ ψ_{1} | \hat{O} | ψ_{1} ⟩) + T r (p_{2} ⟨ ψ_{2} | \hat{O} | ψ_{2} ⟩)

$\langle \hat{O} \rangle = Tr(p_1\langle \psi_1 \lvert \hat{O} \lvert \psi_1 \rangle) + Tr(p_2\langle \psi_2 \lvert \hat{O} \lvert \psi_2 \rangle)$

Teraz, korzystając z cyklicznej niezmienności i właściwości liniowości śladu :

⟨ \hat{O} ⟩ = p_{1} T r (\hat{O} | ψ_{1} ⟩ ⟨ ψ_{1} |) + p_{2} T r (\hat{O} | ψ_{2} ⟩ ⟨ ψ_{2} |)

$\langle \hat{O} \rangle = p_1Tr(\hat{O} \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert) + p_2Tr(\hat{O} \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert)$

= T r (\hat{O} (p_{1} | ψ_{1} ⟩ ⟨ ψ_{1} |) + p_{2} | ψ_{2} ⟩ ⟨ ψ_{2} |)) = T r (\hat{O} ρ)

$= Tr(\hat{O} (p_1 \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert) + p_2 \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert)) = Tr(\hat{O} \rho)$

gdzie jest tym, co nazywamy macierzą gęstości. Operator gęstości zawiera wszystkie informacje potrzebne do obliczenia wartości oczekiwanej dla eksperymentu. $\rho$

W ten sposób, w zasadzie gęstości matrycy znaczy $\rho$

p_{1} | ψ_{1} ⟩ ⟨ ψ_{1} | + p_{2} | ψ_{2} ⟩ ⟨ ψ_{2} |

$p_1 \lvert \psi_1 \rangle \langle \psi_1 \lvert + p_2 \lvert \psi_2 \rangle \langle \psi_2 \lvert$ w tym przypadku.

Możesz oczywiście ekstrapolować tę logikę, gdy możliwe są więcej niż dwa wektory stanu dla systemu, z różnymi prawdopodobieństwami.

Obliczanie macierzy gęstości:

Weźmy następujący przykład.

Na powyższym zdjęciu żarówka emituje całkowicie przypadkowe spolaryzowane fotony z macierzą gęstości stanu mieszanego. $1$ $2$

Jak wspomniano wcześniej, niespolaryzowane światło można wyjaśnić za pomocą średniej zespolonej, tzn. Powiedzieć, że każdy foton jest albo albo z prawdopodobieństwem dla każdego. Inna możliwa średnia zespolona: każdy foton to lub z prawdopodobieństwo dla każdego. Istnieje również wiele innych możliwości. Spróbuj sam coś wymyślić. Należy zauważyć, że macierz gęstości dla wszystkich tych możliwych zespołów będzie dokładnie taka sama. I właśnie z tego powodu rozkład macierzy gęstości do stanów czystych nie jest wyjątkowy. Sprawdźmy: $|R\rangle$ $|L\rangle$ $50%$ $\frac{|R\rangle+|L\rangle}{\sqrt 2}$ $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$ $50\%$

Przypadek 1 : i $50\%$ $|R\rangle$ $50\%$ $|L\rangle$

ρ_{mixed} = 0.5 | R ⟩ ⟨ R | + 0.5 | L ⟩ ⟨ L |

$\rho_{\text{mixed}} = 0.5 |R\rangle \langle R| + 0.5 |L\rangle \langle L|$

Teraz w podstawie , można oznaczyć jako a można oznaczyć jako $\{|R\rangle, |L\rangle\}$ $|R\rangle$ $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ $|L\rangle$ $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

∴ 0.5 ([\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]) + 0.5 ([\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}])

$\therefore 0.5 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0.5 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$

= 0.5 [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] + 0.5 [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$= 0.5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0.5\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

= [\begin{matrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$

Przypadek 2 : i $50\%$ $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}$ $50\%$ $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$

ρ_{mixed} = 0.5 (\frac{| R ⟩ + | L ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ R | + ⟨ L |}{\sqrt{2}}) + 0.5 (\frac{| R ⟩ - | L ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ R | - ⟨ L |}{\sqrt{2}})

$\rho_{\text{mixed}} = 0.5 \left(\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| + \langle L|}{\sqrt 2}\right) + 0.5 \left(\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| - \langle L|}{\sqrt 2}\right)$

W podstawie , można określić jako i może być oznaczony jako $\{\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}, \frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\}$ $\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}$ $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ $\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}$ $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

∴ 0.5 ([\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]) + 0.5 ([\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}])

= 0.5 [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] + 0.5 [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$= 0.5 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0.5\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

= [\begin{matrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$ W ten sposób możemy wyraźnie zobaczyć, że otrzymujemy te same macierze gęstości zarówno w przypadku 1, jak i 2.

Jednak po przejściu przez polaryzator płaszczyzny pionowej (3) wszystkie pozostałe fotony są spolaryzowane pionowo (4) i mają macierz gęstości stanu czystego:

ρ_{pure} = 1 (\frac{| R ⟩ + | L ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ R | + ⟨ L |}{\sqrt{2}}) + 0 (\frac{| R ⟩ - | L ⟩}{\sqrt{2}}) \otimes (\frac{⟨ R | - ⟨ L |}{\sqrt{2}})

$\rho_{\text{pure}} = 1 \left(\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| + \langle L|}{\sqrt 2}\right) + 0 \left(\frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\right)\otimes \left(\frac{\langle R| - \langle L|}{\sqrt 2}\right)$

W podstawie , może być oznaczony jako a może być oznaczony jako $\{\frac{|R\rangle + |L\rangle}{\sqrt 2}, \frac{|R\rangle - |L\rangle}{\sqrt 2}\}$ $|R\rangle$ $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ $|L\rangle$ $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$

∴ 1 ([\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 1 & 0 \end{matrix}]) + 0 ([\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}])

$\therefore 1 \left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}\right) + 0 \left(\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} 0 & 1 \end{bmatrix}\right)$

= 1 [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}] + 0 [\begin{matrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

$= 1 \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} + 0\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

= [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

Pojedynczy przypadek kubitowy:

W takim przypadku macierz gęstości będzie po prostu:

ρ_{pure} = 1 | ψ ⟩ ⟨ ψ |

$\rho_{\text{pure}} = 1|\psi\rangle \langle \psi|$

Jeśli używasz podstawy ortonormalnej , $\{\alpha|0\rangle + \beta|1\rangle,\beta^*|0\rangle - \alpha^*|1\rangle\}$

macierz gęstości będzie po prostu:

[\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

Jest to bardzo podobne do powyższego „przypadku 2”, więc nie pokazałem obliczeń. Możesz zadawać pytania w komentarzach, jeśli ta część wydaje się niejasna.

Jednakże, można również użyć Podstawa jako @DaftWullie zrobił w swojej odpowiedzi . $\{|0\rangle,|1\rangle\}$

W ogólnym przypadku dla stanu 1-kubitowego macierz gęstości w podstawie będzie wyglądać następująco: $\{|0\rangle,|1\rangle\}$

ρ = 1 (α | 0 ⟩ + β | 1 ⟩) \otimes (α^{*} ⟨ 0 | + β^{*} ⟨ 1 |)

$\rho = 1(\alpha |0\rangle + \beta |1\rangle) \otimes (\alpha^* \langle 0| + \beta^* \langle 1|)$

= [\begin{matrix} α \\ β \end{matrix}] \otimes [\begin{matrix} α^{*} & β^{*} \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix} \alpha^* & \beta^* \end{bmatrix}$

= [\begin{matrix} α α^{*} & α β^{*} \\ β α^{*} & β β^{*} \end{matrix}]

$= \begin{bmatrix} \alpha\alpha^* & \alpha\beta^* \\ \beta\alpha^* & \beta\beta^* \end{bmatrix}$

Zauważ, że ta macierz jest idempotentna, tj. . Jest to ważna właściwość macierzy gęstości stanu czystego i pomaga nam odróżnić je od macierzy gęstości stanów mieszanych. $\rho$ $\rho = \rho^2$

Obowiązkowe ćwiczenia:

1. Pokaż, że macierze gęstości stanów czystych można diagonalizować do postaci . 2. Wykazać, że macierze gęstości stanów czystych są idempotentne. $\text{diag}(1,0,0,...)$

Źródła i referencje :

[1] : https://en.wikipedia.org/wiki/Density_matrix

[2] : https://physics.stackexchange.com/a/158290

Kredyty obrazkowe :

Użytkownik Kaidor na Wikimedia

— Sanchayan Dutta
źródło

Na początku jest to trochę mylące, co uważasz za swoją początkową sytuację. Może rozważyć zmianę | L> i | R> na | H> i | V> (z polaryzatorem ustawionym na D)? Chociaż technicznie jest to w pewnym sensie to samo, myślę, że bardziej naturalne jest myślenie o polaryzatorach w oparciu o H, V.

— Steven Sagona,

Myślę, że to pytanie pomija najbardziej podstawowy aspekt różnicy między czystym a mieszanym, a mianowicie, że stany mieszane nie zachowują się kwantowo mechanicznie. Mówicie, że stany są klasycznymi mieszankami, ale nie zwracacie uwagi na to, jak stany superpozycji zachowują się kwantowo mechanicznie (co nie jest łatwe). Na przykład, jeśli masz coś w superpozycji 1qubit, istnieje również szansa 50/50 dla każdej opcji. Czym zatem różni się ten stan od klasycznego? Myślę, że pokazanie, jak możemy zobaczyć „interferencję kwantową” stanu superpozycji, to jak właściwie zilustrować różnicę.

— Steven Sagona,

^ Pomysł omawiamy nieco tutaj: physics.stackexchange.com/questions/409205/…

— Steven Sagona

@StevenSagona Dzięki za zwrócenie na to uwagi. Zaktualizuję swoją odpowiedź.

— Sanchayan Dutta

Macierze gęstości dla stanów czystych i mieszanych