Jak zaimplementować „Pierwiastek kwadratowy bramki wymiany” w IBM Q (kompozytor)?

Chciałbym zasymulować algorytm kwantowy, w którym jednym z kroków jest „Pierwiastek kwadratowy bramki wymiany” między 2 kubitami.

Jak mogę zaimplementować ten krok za pomocą kompozytora IBM ?

quantum-gate gate-synthesis ibm-q-experience

— JanVdA
źródło

Być może przydatne może być użycie prostej bramki wymiany jako „cegły” do skonstruowania pierwiastka kwadratowego bramki wymiany. Można symulować na IBM Q w ten sposób: cx q [1], q [0]; hq [0]; hq [1]; cx q [1], q [0]; hq [0]; hq [1]; cx q [1], q [0];

— Lying Dancer

@JanVdA Pierwiastek kwadratowy nie jest unikalny. W rzeczywistości powinno być 2 ^ 4 = 16 możliwych korzeni. Który masz na myśli?

— Norbert Schuch,

Każdy by mi zrobił. Brak preferencji dla konkretnego.

— JanVdA

Odpowiedzi:

Oto konstrukcja SQRT (SWAP), która wymaga tylko CNOT w jednym kierunku, Hadamards, S bram ( ), bram sztyletowych S ( ), T bramy ( ) i T bramy sztylet ( ): $Z^{\frac{1}{2}}$ $Z^{-\frac{1}{2}}$ $Z^{\frac{1}{4}}$ $Z^{-\frac{1}{4}}$

Powinieneś być w stanie zakodować go bezpośrednio w kompozytorze.

— Craig Gidney
źródło

Jak uzyskać to na podstawie pierwszych zasad?

— user1271772,

@ user1271772 Jakie są „pierwsze zasady”?

— Norbert Schuch,

Nie wiem, jak zaimplementować i za pomocą kompozytora IBM.

Z^{1 / 2}

$Z^{1/2}$

Z^{- 1 / 2}

$Z^{-1/2}$

— JanVdA

@ user1271772 Zacząłem od obwodu SWOT CNOT-NOTC-CNOT, zamieniłem środkowy CNOT na C-sqrt (nie), aby zrobić całość z sqrt (SWAP), rozłożyłem C-srt (nie) na bramki S + CNOT , przesunąłem niektóre bramy, aż udało mi się anulować jedną z CNOT, a następnie użyłem Hadamardsa, aby odwrócić kierunek dowolnego CNOT skierowanego w niewłaściwy sposób.

— Craig Gidney

@JanVdA to , a to (spójrz na niebieskie bramy kompozytora).

Z^{1 / 2}

$Z^{1/2}$

S

$S$

Z^{- 1 / 2}

$Z^{-1/2}$

S^{†}

$S^\dagger$

— Craig Gidney

To, co chcesz zrobić, to obrót w podprzestrzeni o zakresie i który obraca go o . W tym celu możesz najpierw wykonać CNOT, który mapuje tę podprzestrzeń na . Teraz musisz wykonać obrót na pierwszym kubicie, pod warunkiem, że drugi kubit będzie jednym. Wdrażanie kontrolowanych bramek za pomocą CNOT jest standardową konstrukcją, którą można znaleźć w wielu miejscach, patrz np . Https://arxiv.org/abs/quant-ph/9503016 . W zależności od tego, jak wykonasz ten krok, być może będziesz musiał naprawić fazę „globalną” pierwszego kubita (biorąc pod uwagę, że drugi to ). Na koniec musisz cofnąć CNOT. $|01\rangle$ $|10\rangle$ $\sqrt{X}$ $\{|01\rangle,|11\rangle\}$ $\sqrt{X}$ $U$ $|1\rangle$

— Norbert Schuch
źródło

Nie jest dla mnie jasne 1) w jaki sposób wykonujesz w kompozytorze. 2) jak cofnąć CNOT w kompozytorze 3) wspominasz bramki U-kontrolowane, ale nie jest jasne, gdzie powinny być użyte w algorytmie. Myślę, że krok po kroku opis algorytmu byłby pomocny przy implementacji tego na kompozytorze IBM.

\sqrt{X}

$\sqrt{X}$

— JanVdA

@JanVdA Obawiam się, że będziesz musiał sam popracować, aby zapoznać się z obwodami kwantowymi i ich manipulacjami. W przeciwnym razie, co będziesz robić, gdy poznasz obwód dla sqrt-SWAP?

— Norbert Schuch,

FYI: Użyłem powyższego opisu sqrt-SWAP do przetestowania rozwiązania zaproponowanego dla quantumcomputing.stackexchange.com/questions/2209/... na kompozytorze IBM.

— JanVdA

@JanVdA Który? Akceptowany? Ten mówi tylko o kontrolowanym SWAP. (W tym celu: journals.aps.org/pra/abstract/10.1103/PhysRevA.53.2855 )

— Norbert Schuch

Przepraszam, odnoszę się do przyjętego rozwiązania pytania: mathoverflow.net/questions/301733/…

— JanVdA

-1

Każda 2-kubitowa bramka ma „rozkład Paulinomialny”, co oznacza, że można ją zapisać jako wielomian macierzy Pauliego.

W przypadku bramy, którą chcesz:

$\sqrt{ \mbox{SWAP} } = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{{2}} (1+i) & \frac{1}{{2}} (1-i) & 0 \\ 0 & \frac{1}{{2}} (1-i) & \frac{1}{{2}} (1+i) & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} = \frac{1-i}{4}\left(X_1X_2+Y_1Y_2+Z_1Z_2\right) +\frac{3+i}{2}I,$

gdzie jest bramą zastosowaną do qubit . $X_i$ $X$ $i^\textrm{th}$

— użytkownik1271772
źródło

OK, dziękuję za odpowiedź - muszę się trochę nauczyć, aby dowiedzieć się, jak mogę to przetłumaczyć na IBM Composer.

— JanVdA

@JanVdA Co się stało? Nie możesz przeciągać i upuszczać bramek X, Y i Z do obwodu? Możesz zadać osobne pytanie, jak pomnożyć bramę przez stałą.

— user1271772,

Mogę przeciągać i upuszczać bramki X, Y, Z, ale nie wiem, jak wykonać multiplikacje (np

X_{1} X_{2}

$X_1X_2$ ), dodatki (np

X_{1} X_{2} + Y_{1} Y_{2}

$X_1X_2+Y_1Y_2$ ), pomnożenie przez stałą, nawet nie wiem, co masz na myśli

I

$I$ . Chyba muszę brzmieć jak kompletny idiota.

— JanVdA

X_{1} X_{2}

$X_1X_2$ oznacza, że aplikujesz

X

$X$ do qubit 1 i

X

$X$ qubit 2. Jednak, jak wspomniałem w poprzednim komentarzu, myślę, że powinieneś zadać osobne pytanie, jak pomnożyć przez stałą.

— user1271772

Zobacz także Eq. 8 tego artykułu: arxiv.org/pdf/1805.10478.pdf oraz schematy połączeń w materiale uzupełniającym. Równ. 8 artykułów jest dokładnie takich, jakie ci dałem, z wyjątkiem tylko

Z

$Z$ bramy To wciąż „Paulinomial”, ale tylko z

Z

$Z$ gates, i jest zaimplementowany w kompozytorze IBM w tym dokumencie.

— user1271772,