Co to jest „Kod powierzchni”? (Kwantowa korekcja błędów)

Studiuję informatykę i informacje kwantowe. Skreśliłem wyrażenie „Kod powierzchni”, ale nie mogę znaleźć krótkiego wyjaśnienia, co to jest i jak działa. Mam nadzieję, że możecie mi w tym pomóc.

Uwaga: jeśli chcesz, możesz użyć skomplikowanej matematyki, do pewnego stopnia znam mechanikę kwantową.

error-correction terminology

— Iwanowicz
źródło

Witamy! Aby wyjaśnić: czy odpowiedzi powinny zakładać, że sprawdziłeś już kody toric i stabilizatory na poziomie wikipedii ?

— agaitaarino

Nie wiem o kodach torycznych lub kodach stabilizatora: | Ale przeczytam o tym

— Iwanowicz

Ładny! To chyba dobry początek. Sugeruję, aby rzucić na to okiem i podać kilka szczegółów w pytaniu: rzeczy, które już myślisz, że rozumiesz, i inne, które nie mają jeszcze większego sensu. Po udzieleniu odpowiedzi może to być bardzo pomocne pytania i odpowiedzi dla osób, które przyjdą po ciebie: są to ważne pojęcia, a terminologia jest rzeczywiście trochę myląca.

— agaitaarino

Powiązane: „Kwantowa korekcja błędów: kod powierzchni a kod koloru” z SE.Physics.

— Nat

Nie wiem o skrócie, ale od arxiv.org/abs/1208.0928 zacząłem uczyć się o kodzie powierzchniowym.

— Craig Gidney

Odpowiedzi:

Kody powierzchniowe to rodzina kodów korekcji błędów kwantowych zdefiniowanych na siatce 2D kubitów. Każdy kod w tej rodzinie ma stabilizatory, które są zdefiniowane równorzędnie, ale różnią się między sobą warunkami brzegowymi.

Członkowie rodziny kodów powierzchni są czasem także opisywani bardziej szczegółowymi nazwami: kod toryczny jest kodem powierzchni z okresowymi warunkami brzegowymi, kodem płaskim jest kod zdefiniowany na płaszczyźnie itp. Czasami używa się również terminu „kod powierzchni” zamiennie z „kodem planarnym”, ponieważ jest to najbardziej realistyczny przykład rodziny kodów powierzchni.

Kody powierzchni są obecnie dużym obszarem badawczym, więc po prostu wskażę ci kilka dobrych punktów wejścia (oprócz artykułu w Wikipedii, do którego powyższe linki).

Kody powierzchniowe można również uogólniać na qudity. Więcej informacji na ten temat można znaleźć tutaj .

— James Wootton
źródło

Czy kody powierzchni działają tylko dla topologicznych komputerów kwantowych?

— Iwanowicz

Kody powierzchniowe będą działać dla dowolnych kubitów. W pewnym sensie za pomocą kodów powierzchniowych tworzysz topologiczny komputer kwantowy za pomocą kubitów nie topologicznych.

— James Wootton

Terminologia „kodu powierzchni” jest nieco zmienna. Może odnosić się do całej klasy rzeczy, wariantów kodu Toric na różnych sieciach lub może odnosić się do kodu Planar, konkretnego wariantu na kwadratowej sieci z warunkami otwartych granic.

Kod toryczny

Podsumuję niektóre podstawowe właściwości kodu Toric. Wyobraź sobie kwadratową sieć z okresowymi warunkami brzegowymi, tj. Górna krawędź jest połączona z dolną krawędzią, a lewa krawędź jest połączona z prawą krawędzią. Jeśli spróbujesz tego z kartką papieru, przekonasz się, że masz kształt pączka lub torusa. Na tej siatce kładziemy kubit na każdej krawędzi kwadratu.

Stabilizatory

Następnie definiujemy całą grupę operatorów. Dla każdego kwadratu sieci (zawierającej 4 kubity w środku każdej krawędzi), piszemy działając rotacją Pauli- na każdym z 4 kubitów. Etykieta odnosi się do „plakietki” i jest tylko indeksem, dzięki czemu możemy później policzyć cały zestaw plakietek. Na każdym wierzchołku kratownicy (otoczony 4 qubitach) zdefiniować odnosi się do kształtu gwiazdy i ponownie pozwoli nam zsumować wszystkie takie warunki.

B_{p} = X X X X,

$B_p=XXXX,$

X

$X$

p

$p$

A_{s} = Z Z Z Z .

$A_s=ZZZZ.$

s

$s$

Zauważamy, że wszystkie te warunki dojeżdżają razem. Jest to trywialne dla ponieważ operatorzy Pauli dojeżdżają ze sobą i . Większą uwagę jest potrzebne , Bot zauważyć, że te dwa terminy albo mają wartość 0 lub 2 miejsca wspólnego, a pary różnych operatorów Pauli dojazdy, $[A_s,A_{s'}]=[B_p,B_{p'}]=0$ $\mathbb{I}$ $[A_s,B_p]=0$ $[XX,ZZ]=0$ .

Codespace

$|\psi\rangle$

\forall s : A_{s} | ψ ⟩ = | ψ ⟩ \forall p : B_{p} | ψ ⟩ = | ψ ⟩ .

$\forall s:A_s|\psi\rangle=|\psi\rangle\qquad\forall p:B_p|\psi\rangle=|\psi\rangle.$

$N\times N$ $N^2$ $2^{N^2}$ $N^2$ $A_s$ $B_p$ $\pm 1$ $A_s^2=B_p^2=\mathbb{I}$

$\prod_sA_s=\prod_pB_p=\mathbb{I}$ $A_s$ $B_p$

Operatory logiczne

$X_{1,L}$ $Z_{1,L}$ $X_{2,L}$ $Z_{2,L}$

[X_{1, L}, X_{2, L}] = 0 [X_{1, L}, Z_{2, L}] = 0 [Z_{1, L}, Z_{2, L}] = 0 [Z_{1, L}, X_{2, L}] = 0

$[X_{1,L},X_{2,L}]=0\quad [X_{1,L},Z_{2,L}]=0 \quad [Z_{1,L},Z_{2,L}]=0\quad [Z_{1,L},X_{2,L}]=0$

{X_{1, L}, Z_{1, L}} = 0 {X_{2, L}, Z_{2, L}} = 0

$\{X_{1,L},Z_{1,L}\}=0\qquad\{X_{2,L},Z_{2,L}\}=0$

Istnieje kilka różnych konwencji oznaczania różnych operatorów. Pójdę z moim ulubionym (który jest prawdopodobnie mniej popularny):

$Z$ $Z_{1,L}$
$Z$ $X_{2,L}$ $Z_{2,L}$
$X$ $Z_{2,L}$
$X$ $X_{1,L}$

$X$ $Z$

| ψ_{x, y} ⟩ : Z_{1, L} | ψ_{x, y} ⟩ = (- 1)^{x} | ψ_{x, y} ⟩, Z_{2, L} | ψ_{x, y} ⟩ = (- 1)^{y} | ψ_{x, y} ⟩

$|\psi_{x,y}\rangle: Z_{1,L}|\psi_{x,y}\rangle=(-1)^x|\psi_{x,y}\rangle,\qquad Z_{2,L}|\psi_{x,y}\rangle=(-1)^y|\psi_{x,y}\rangle$

$N$ $N$

Wykrywanie i korekcja błędów

$A_s$ $B_p$ $\pm 1$

$X$ $-1$ $+1$ $X$ $X$ $X$

Błąd korygowania progu

$N$ $N$ $N$ $X$ $Z$ $p$ $p=0.11$ $11\%$ . Ma również skończony próg tolerancji na błędy (w przypadku dopuszczenia błędnych pomiarów i korekt z pewnym poziomem błędu na kwartał)

Kod Planarny

Szczegóły są w większym stopniu identyczne z kodem Toric, z tym wyjątkiem, że warunki brzegowe sieci są otwarte zamiast okresowych. To męskie, które na krawędziach stabilizatory są definiowane nieco inaczej. W tym przypadku w kodzie jest tylko jeden logiczny kubit zamiast dwóch.

— DaftWullie
źródło