Dlaczego bramki kwantowe są jednolite, a nie specjalne?

Biorąc pod uwagę, że nie można fizycznie rozróżnić globalnych faz stanów, dlaczego obwody kwantowe są wyrażone w jednostkach, a nie w jednostkach specjalnych? Jedną z odpowiedzi, jakie otrzymałem, było to, że to tylko dla wygody, ale nadal nie jestem pewien.

Powiązane pytanie brzmi: czy są jakieś różnice w fizycznej implementacji jednostkowego (macierzy matematycznej) i , powiedzmy w kategoriach niektórych elementarnych bram? Załóżmy, że nie ma (co rozumiem). Wtedy fizyczna implementacja i powinna być taka sama (wystarczy dodać elementy sterujące do bramek elementarnych). Ale potem dochodzę do sprzeczności, że i tych dwóch jednostek mogą nie być równoważne aż do fazy (jako macierze matematyczne), więc wydaje się prawdopodobne, że odpowiadają one różnym implementacjom fizycznym .$U$$V: =e^{i\alpha}U$$c\text{-}U$$c\text{-}V$$c\text{-}U$$c\text{-}V$

Co zrobiłem źle w moim rozumowaniu, ponieważ sugeruje teraz, że i muszą być zaimplementowane inaczej, mimo że są one równoważne do fazy?$U$$V$

Kolejne powiązane pytanie (w rzeczywistości źródło mojego pomieszania, byłbym bardzo wdzięczny za odpowiedź na to pytanie): wydaje się, że można użyć obwodu kwantowego do oszacowania zarówno modułu, jak i fazy kompleksu pokrywającego się (patrz https://arxiv.org/abs/quant-ph/0203016 ). Ale czy to nie oznacza ponownie, że i są mierzalnie różne?$\langle\psi|U|\psi\rangle$$U$$e^{i\alpha}U$

Nawet jeśli ograniczysz się tylko do operacji jednostkowo-specjalnych, stany nadal będą gromadzić fazę globalną. Na przykład jest jednostkowo-specjalny, ale . Z ⋅ | 0 ⟩ = I | 0 ⟩ ≠ | 0 $Z = \begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}$$Z \cdot |0\rangle = i |0\rangle \neq |0\rangle$

Jeśli państwa będą gromadzić niezauważalny fazę globalnego anyways , jakie korzyści możemy uzyskać z ograniczając się do specjalnych operacji jednostkowych?

czy są jakieś różnice w fizycznej realizacji jednostkowego (macierzy matematycznej) i , powiedzmy w odniesieniu do niektórych elementarnych bram?V : = e i α$U$$V :=e^{i\alpha}U$

Tak długo, jak nie robisz nic, co mogłoby sprawić, że globalne fazy będą odpowiednie, mogą mieć tę samą implementację. Ale jeśli masz zamiar zrobić coś takiego ...

dodaj elementy sterujące do bram elementarnych

Tak, tak. Jeśli robisz takie rzeczy, nie możesz ignorować globalnych faz. Sterowanie zamienia fazy globalne w fazy względne. Jeśli chcesz całkowicie zignorować fazę globalną, nie możesz mieć modyfikatora operacji „dodaj kontrolę”.

Fakt, że bramki kwantowe są jednolite, wynika z faktu, że ewolucja (zamkniętych) układów kwantowych odbywa się na podstawie równania Schrödinera. Dla przedziału czasu, w którym próbujemy zrealizować określoną transformację jednostkową ze stałą szybkością, używamy niezależnego od czasu równania Schrödingera:

$$\tfrac{\mathrm d}{\mathrm dt} \lvert \psi(t) \rangle = \tfrac {1}{i\hbar}H \lvert \psi(t) \rangle,$$

gdzie jest hamiltonianem układu: macierz hermitowska, której wartości własne opisują wartości własne energii. W szczególności wartości własne H są prawdziwe. Rozwiązaniem tego równania jest$H$$H$

gdzie U = exp ( - I H T / ℏ ) jest matryca, można uzyskać poprzez wektorów własnych o H i zastąpienie ich wartości własnych e z e i e t /

$$\lvert \psi(t) \rangle = \exp\bigl(-i H t/\hbar\bigr) \lvert \psi(0) \rangle$$ $U = \exp(-iHt/\hbar)$$H$$E$$\mathrm{e}^{iEt/\hbar}$. Zatem z macierzy z rzeczywistymi wartościami własnymi otrzymujemy macierz, której wartości własne są liczbami zespolonymi z normą jednostkową.

Czego potrzeba, aby ta ewolucja stała się specjalną jednolitą macierzą? Specjalna macierz jednostkowa to taka, której wyznacznikiem jest dokładnie ; to znaczy, których wszystkie wartości własne mnożą się do 1 . Odpowiada to ograniczeniu, że wszystkie wartości własne H sumują się do zera. Ponadto, ponieważ wartościami własnymi H są poziomy energii, czy$1$$1$$H$$H$suma jego wartości własnych jest równa zero, zależy od tego, jak zdecydowałeś się ustalić swój zerowy punkt energetyczny - co w efekcie jest subiektywnym wyborem układu odniesienia. (W szczególności, jeśli zdecydujesz się przyjąć konwencję, że wszystkie poziomy energii są nieujemne, oznacza to, że żaden interesujący system nigdy nie będzie miał właściwości wartości własnych energii zsumowanych do zera).

Krótko mówiąc, bramy są jednolite, a nie jednolite, ponieważ wyznacznik bramy nie odpowiada właściwościom znaczącym fizycznie - w wyraźnym sensie, że brama powstaje z fizyki, a warunki, które odpowiadają wyznacznikowi bramki wynoszą 1 jest warunkiem własnej ramy odniesienia, a nie fizycznej dynamiki.

Pisząc do bramy, na przykład, schemat obwodu kwantowa, to mógłby zawsze zapisać je stosując konwencję mającą decydujący jeden (z Grupa Su), ale to tylko konwencja. Nie ma to żadnej fizycznej różnicy w stosunku do wdrażanego obwodu. Jak powiedziano gdzie indziej , to, czy to, co naturalnie wytwarzacie, odpowiada bezpośrednio specjalnemu unitarnemu, jest tak naprawdę wyborem konwencji i gdzie definiuje się swoją zerową energię.

$U$$V=e^{i\alpha}$$V$$U$$U$$\left(\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\alpha} \end{array}\right)$$U$$\left(\begin{array}{cc} e^{-i\alpha/2} & 0 \\ 0 & e^{i\alpha/2}\end{array}\right)$

$|\psi(t)\rangle = e^{-iHt}|\psi(0)\rangle$$H$