Dlaczego tak ważne jest, aby początkowy hamiltonian nie dojeżdżał do końcowego hamiltonianu w adiabatycznym obliczeniu kwantowym?

Czytałem w wielu źródłach i książek na adiabatycznego obliczeń kwantowych (AQC), który jest kluczowy dla wstępnego Hamiltona H í nie dojeżdżać z końcowym Hamiltonian H f , czyli [ H I , H f ] ≠ 0 . Ale nigdy nie widziałem argumentu, dlaczego to takie ważne.$\hat{H}_i$ $\hat{H}_f$$\left[\hat{H}_i,\hat{H}_f\right]\neq 0$

Jeśli założymy, liniową zależność razem, gdy Hamiltona z AQC jest H ( t ) = ( 1 - t gdzie τ jest adiabatyczną skalą czasu.

Moje pytanie brzmi zatem : dlaczego tak ważne jest, aby początkowy hamiltonian nie dojeżdżał do ostatecznego hamiltonianu?

W adiabatycznej kontroli jakości kodujesz swój problem w hamiltonianie, tak aby wynik mógł zostać wyodrębniony ze stanu podstawowego. Przygotowanie tego stanu podstawowego jest trudne do wykonania bezpośrednio, dlatego zamiast tego przygotowujesz stan podstawowy „łatwego” hamiltonianu, a następnie powoli interpolujesz między nimi. Jeśli przejdziesz wystarczająco wolno, stan twojego systemu pozostanie w stanie podstawowym. Pod koniec procesu będziesz mieć rozwiązanie.

Działa to zgodnie z twierdzeniem adiabatycznym . Aby twierdzenie się utrzymało, musi istnieć przerwa energetyczna między stanem podstawowym a pierwszym stanem wzbudzonym. Im mniejsza staje się przerwa, tym wolniej trzeba interpolować, aby zapobiec pomieszaniu stanu podstawowego z pierwszymi stanami wzbudzonymi. Jeśli luka się zmniejszy, nie można zapobiec takiemu mieszaniu i nie można iść wystarczająco wolno. W tym momencie procedura kończy się niepowodzeniem.

Jeśli początkowa i końcowa hamiltonian dojeżdża do pracy, oznacza to, że mają te same stany własne energii. Więc zgadzają się co do tego, którym stanom przypisuje się energię, i nie zgadzają się tylko co do energii, którą otrzymują. Interpolacja między dwoma Hamiltonianami po prostu zmienia energie. Ostateczny stan podstawowy byłby zatem stanem wzbudzonym na początku, a pierwotny stan podstawowy stał się podekscytowany na końcu. W pewnym momencie, przechodząc obok siebie, energie tych stanów będą równe, a więc szczelina między nimi się zmniejsza. To wystarczy, aby zobaczyć, że luka energetyczna musi się w pewnym momencie zamknąć.

Posiadanie hamiltonianów, którzy nie dojeżdżają do pracy, jest zatem niezbędnym warunkiem utrzymania luki otwartej, a zatem dla AQC.

Jeśli dwie macierze (w tym przypadku Hamiltonianowie) dojeżdżają, mają te same wektory własne. Tak więc, jeśli przygotujesz stan podstawowy pierwszego hamiltonianu, to (z grubsza rzecz biorąc) pozostanie stanem własnym podczas całej ewolucji adiabatycznej, a więc wydostaniesz to, co wkładasz. Nie ma to żadnej wartości.

Jeśli chcesz być nieco bardziej rygorystyczny, być może początkowy hamiltonian ma degenerację, która jest podnoszona przez drugi hamiltonian, i możesz mieć nadzieję, że system rozwinie się w unikalny stan podstawowy. Zauważ jednak, że degeneracja zostaje zniesiona w momencie, gdy druga niezerowa ilość drugiego hamiltonianu. Jakikolwiek efekt może mieć natychmiastowy. Uważam, że nie uzyskuje się odpowiedniej ewolucji adiabatycznej. Zamiast tego musisz zapisać swój stan początkowy jako superpozycję nowych stanów własnych, które zaczynają ewoluować z czasem, ale nigdy nie zwiększasz nakładania się swojego stanu ze stanem docelowym (stanem podstawowym).

$\sigma^Z$$t$

Co więcej, nawet wykraczanie poza ścisłe granice AQC (np. Wyżarzanie kwantowe w otwartym układzie, QAOA itp.), Jeśli kierujący hamiltonian dojeżdża do pracy, nie może indukować przejść między stanami własnymi problemu hamiltonianu, ale jedynie zmienia fazę amplitud w funkcji falowej ; i potrzebujesz sterownika, który może wywoływać spięcia w celu zbadania przestrzeni wyszukiwania.

$H_i$$H_f$

$H_i= \begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$

$H_p= \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -0.1 \end{pmatrix}$

$H_i$$|1\rangle$$H_f$$|0\rangle$

$\epsilon$
$\tau\ge \max_t\left(\frac{||H_i - H_f||^2}{\epsilon E_{\rm{gap}}(t)^3}\right)$

Jest to podane i wyjaśnione w równaniu. 2 Tanburn i in. (2015) .

• $\epsilon = 0.1$
• $||H_i - H_f||^2 = 0.1$
• $\frac{||H_i - H_f||^2}{\epsilon}=1$$\epsilon$
• $\tau \ge \max_t\left(\frac{1}{E_{\rm{gap}}(t)^3}\right)$

$\max_t$
$t=20\tau/29$

$H=\frac{9}{29}H_i + \frac{20}{29}H_p$

$H=\frac{9}{29}\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} + \frac{20}{29}\begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & -0.1 \end{pmatrix}$

$H=\begin{pmatrix}\frac{9}{29} & 0\\ 0 & -\frac{9}{29} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix}-\frac{20}{29} & 0\\ 0 & -\frac{2}{29} \end{pmatrix}$

$H=\begin{pmatrix}\frac{-11}{29} & 0\\ 0 & -\frac{11}{29} \end{pmatrix}$

$t=\frac{20}{29}\tau$$E_{\rm{gap}}=0$$\tau$$\infty$

Twierdzenie adiabatyczne nadal ma zastosowanie, ale gdy stwierdza, że ​​hamiltonian musi zmienić „wystarczająco powoli”, okazuje się, że musi zmienić „nieskończenie powoli”, co oznacza, że ​​prawdopodobnie nigdy nie uzyskasz odpowiedzi za pomocą AQC.