Jaka jest różnica między „przestrzenią kodową”, „słowem kodowym” i „kodem stabilizatora”?

Ciągle czytam (np. Nielsen i Chuang, 2010; str. 456 i 465) następujące trzy fazy; „przestrzeń kodowa”, „słowo kodowe” i „kod stabilizatora” - ale mam trudności ze znalezieniem ich definicji i, co ważniejsze, różnic między nimi.

Moje pytanie brzmi zatem; jak są zdefiniowane te trzy terminy i jak są ze sobą powiązane?

— Spaghetti kwantowe
źródło

Przestrzenie kodowe i słowa kodowe

Kod korygujący błąd kwantowy jest często identyfikowany z przestrzenią kodową (Nielsen i Chuang z pewnością to robią). Kod miejsca z np -qubit kod korekcji błędu kwantowa jest wektorem podprzestrzeń . $\mathcal C$ $n$ $\mathcal C \subseteq \mathcal H_2^{\otimes n}$

Słowo kodowe (terminologia, która została zapożyczona z klasycznej teorii korekcji błędów) jest stanem dla niektórych kodu przestrzeni: to znaczy, że jest to stan, który koduje pewne dane. $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$

Kwantowe kody korekcji błędów

W praktyce wymagamy pewnych nietrywialnych właściwości do przechowywania kodu korekcji błędów kwantowych, takich jak:

$\mathop{\mathrm{dim}} \mathcal C \geqslant 2$
Że istnieje zestaw co najmniej dwóch operatorów, w tym operatora , tak że - jeśli jest rzutnikiem ortogonalnym na - mamy dla niektórych skalarów (znane jako warunki Knilla – Laflamme'a ). $\mathcal E = \{ E_1, E_2, \ldots \}$ $E_1 = \mathbb 1$ $P$ $\mathcal C$ $P E_{j} E_{k} P = α_{j, k} P$ $P E_j E_k P = \alpha_{j,k} P$ $\alpha_{j,k}$

Określa to pewien zestaw operatorów błędów, przed którymi można w zasadzie zabezpieczyć stan , w tym przypadku, gdy warunki Knilla – Laflamme'a obejmują zbiór operatorów , a niektóre operatora działa na twój stan, w zasadzie można wykryć fakt, że wystąpił (w przeciwieństwie do niektórych innych operatorów w ) i cofnąć błąd, nie zakłócając danych przechowywanych w oryginalnym stanie . $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$ $\mathcal E$ $E \in \mathcal E$ $E$ $\mathcal E$ $\lvert \psi \rangle$

Kod korekcji błędów kwantowa jest kod przestrzeń , wraz z zestawem operatorów błędach , które spełniają warunki Knill-Laflamme - to jest błąd kwantowa kod musi określić, które błędy należy rozumieć w celu ochrony przed korygowania . $\mathcal C$ $\mathcal E$

Dlaczego często identyfikuje się kody korygujące błędy kwantowe za pomocą ich przestrzeni kodowych

Nie można określić unikalny zestaw podmiotów, które spełniają warunki Knill-Laflamme z kodem przestrzeni sam. Jednak najczęściej rozważa się, które operatory o niskiej wadze (te, które działają tylko na niewielką liczbę kubitów) mogą być jednocześnie poprawione za pomocą kodu, i do tego stopnia, że można je uzyskać z samej przestrzeni kodu. Odległość kod z przestrzeni kodu jest najmniejsza liczba qubitach że trzeba działać, aby przekształcić jedno „słowo kodowe” w odrębną kodowym . Jeśli następnie opisamy przestrzeń kodu jako $\mathcal E$ $\mathcal C$ $\mathcal C$ $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$ $\lvert \psi' \rangle \in \mathcal C$ $[\![n,k,d]\!]$ Kod , to mówi wtedy, że ma wymiar , a zestaw , który rozważamy, jest zbiór wszystkich operatorów Pauli o wadze co najwyżej . $\mathcal C \subseteq \mathcal H_2^{\otimes n}$ $2^k$ $\mathcal E$ $\lfloor (d{-}1)/2 \rfloor$

W niektórych przypadkach wystarczy opisać kod jako kod . Na przykład kod 5-kubitowy to kod , I można wykazać, że pięć kubitów nie może zakodować pojedynczego kubita w taki sposób, aby można było naprawić wszelkie inne błędy oprócz wszystkich błędów pojedynczego kubita. Jednak to samo nie dotyczy kodu Steane , Który może zabezpieczyć się przed każdym błędem Pauli z pojedynczym kubitem, a także niektórymi (ale nie wszystkimi) błędami Pauli z dwoma kubitami. Które błędy Pauli z dwoma qubitami powinieneś $[\![n,k,d]\!]$ $[\![5,1,3]\!]$ $[\![7,1,3]\!]$ ochrona przed zależy od tego, jaki jest twój model błędu; a jeśli twój szum jest symetryczny i niezależnie rozłożony, nie będzie miało większego znaczenia, co wybierzesz (tak, że prawdopodobnie dokonasz konwencjonalnego wyboru dowolnego pojedynczego błędu wraz z dowolnym pojedynczym błędem ). Jest to jednak wybór , który pokieruje sposobem ochrony danych przed hałasem. $X$ $Z$

Kody stabilizatora

Kod stabilizator jest błąd kwantowa kod korekcji zależy od zestawu z generatorów stabilizujących , które operatorzy Pauli, który dojeżdża do siebie, i które wyznaczają z kodem przestrzeń przez przecięcie ich + 1-eigenspaces. (Często przydatne jest rozważenie grupy stabilizatorów utworzonej przez produkty ) $\mathscr S$ $\mathcal C$ $\mathcal G$ $P \in \mathscr S$

Prawie wszystkie kwantowe kody korekcji błędów, które ludzie w praktyce uważają za kody stabilizujące. Jest to jeden z powodów, dla których możesz mieć problemy z rozróżnieniem tych dwóch terminów. Nie wymagamy jednak, aby kwantowy kod korekcji błędów był kodem stabilizatora - tak jak w zasadzie nie wymagamy klasycznego kodu korekcji błędów jako kodu liniowego. Kody stabilizatora są po prostu wyjątkowo udanym sposobem opisywania kodów korekcji błędów kwantowych, podobnie jak kody korekcji błędów liniowych są niezwykle skutecznym sposobem opisywania klasycznych kodów korekcji błędów. I rzeczywiście, kody stabilizatora można uznać za naturalne uogólnienie teorii klasycznych kodów liniowych do kwantowej korekcji błędów.

Ponieważ ludzie często interesują się tylko operatorami o małej masie, które są mniejsze niż połowa odległości kodu, zestaw stabilizatorów często wszyscy mówią o kodzie korekcji stabilizatora. Aby jednak określić zestaw błędów przed którymi kod może chronić, konieczne jest również określenie relacji między operatorami produktu Pauli i podzbiorami , tak aby $\mathcal E$ $\sigma$ $E$ $S \subseteq \mathscr S$

$E$ antommommutes with wtedy i tylko wtedy, gdy dla ; $P \in \mathscr S$ $P \in S$ $\sigma(E,S)$
Jeśli oba spełniają i , to . $E, E'$ $\sigma(E,S)$ $\sigma(E',S)$ $E E' \in \mathcal G = \langle \mathscr S \rangle$

Definiuje to zestaw błędów, przed którymi kod może chronić. Podzbiory nazywane są syndromami błędów , a relacja, którą tu nazwałem (której zwykle nie widzi się z wyraźną nazwą), kojarzy syndromy z jednym lub większą liczbą błędów, które „powodują” ten syndrom i których wpływ na kod jest równoważny.

E = {E | \exists S \subseteq S : σ (E, S)}

$\mathcal E = \bigl\{ E \mathbin{\big\vert} \exists S \subseteq \mathscr S: \sigma(E,S) \bigr\}$

S \subseteq S

$S \subseteq \mathscr S$

σ

$\sigma$

„Syndromy” reprezentują informacje, które można faktycznie uzyskać o błędzie przez „spójny pomiar” - to znaczy przez pomiar operatorów jako obserwowalnych (proces, który jest zwykle symulowany przez oszacowanie wartości własnej). Błąd „powoduje” syndrom jeśli dla dowolnego słowa stan znajduje się w przestrzeni własnej wszystkich operatorzy , i w -eigenspace wszystkich pozostałych operatorów w . (Ta właściwość jest bezpośrednio związana ze zwolnieniem ze wszystkimi elementami $P \in \mathscr S$ $E$ $S \subseteq \mathscr S$ $\lvert \psi \rangle \in \mathcal C$ $E \lvert \psi \rangle$ $-1$ $P \in S$ $+1$ $\mathscr S$ $E$ $S \subseteq \mathscr S$ i tylko te elementy.)

— Niel de Beaudrap
źródło

W drugim akapicie mówisz, że słowo kodowe to stan w tj. Stan, który koduje niektóre dane. Czy mówisz to, co mówią inne odpowiedzi - tzn. kodowe to te stany, które kojarzą nam się np. Logiczny i . Czy bardziej ogólnie, jakikolwiek stan w nazywa się słowami kodowymi?

C

$\mathcal{C}$

| 0 ⟩

$\lvert 0 \rangle$

| 1 ⟩

$\lvert 1 \rangle$

C

$\mathcal{C}$

— Kwalifikacja kwantowa

Terminologia może się nieco różnić. Na przykład czytasz tezę Gottesmana, a on mówi o słowie kodowym będącym dowolnym poprawnym stanem w przestrzeni kodowej i rozróżnia „podstawowe słowa kodowe” jako logiczne 0 i 1.

— DaftWullie

@QuantumSpaghettification: jak sugeruje DaftWullie, mam na myśli żadnego stanu, w . Bardzo często błędem jest zbyt zajęcie się standardowymi podstawami. Historycznie najłatwiej było opisać QECC w odniesieniu do rozpiętości dwóch określonych stanów i opisać właściwości korygujące w odniesieniu do tych dwóch stanów. Teoria kodów stabilizatora sprawia, że ten rodzaj opisu jest niepotrzebny i pozwala być elastycznym w stosunku do logicznej ramy odniesienia, dlatego lepiej jest teraz unikać definiowania rzeczy w sposób, który podkreśla standardową podstawę.

C

$\mathcal C$

— Niel de Beaudrap,

@NieldeBeaudrap Przepraszam, że wróciłem do tego postu ponad miesiąc później. Czy mam rację mówiąc, że mapowanie może być jeden do wielu, jeśli wpływ błędu na „podstawowe słowa kodowe” jest zdegenerowany. Myślę, że faza zmienia kod Shora.

μ

$\mu$

— Kwalifikacja kwantowa

@QuantumSpaghettification: Tak jak to tutaj opisałem, tak naprawdę konieczne byłoby wzięcie za wiele wartości dla zestawu aby wykonać zadanie, które dla niego opisałem, dla zdegenerowanego kodu --- który jest niezupełnie co zamierzałem. Niedługo poprawię moją odpowiedź.

μ

$\mu$

E

$\mathcal E$

— Niel de Beaudrap

Słowo kodowe (w przypadku kodu kwantowego) jest stanem kwantowym, który zwykle jest logicznie związany ze stanem. Będziesz więc miał stan który odpowiada stanowi 0 kubita do zakodowania (nie musisz używać kubitów, ale prawdopodobnie tak jest), i będziesz mieć inny, który który odpowiada 1 stanowi kubita do zakodowania. $|\psi_0\rangle$ $|\psi_1\rangle$

Przestrzeń kodowa to przestrzeń łączona przez słowa kodowe, tj. Cała spacja dla wszystkich możliwych i (znormalizowanych). $\alpha|\psi_0\rangle+\beta|\psi_1\rangle$ $\alpha$ $\beta$

Kod stabilizujący to jeden z możliwych formalizmów mówiących, jak wypracować słowa kodowe, a tym samym przestrzeń kodową. W przypadku kodu [[n, k, d]] otrzymujesz nk operatorów stabilizatora ( ), które dojeżdżają do siebie i działają na n kubitach. Dowolny stan w przestrzeni kodowej spełnia wymagania . Będziesz ponadto mieć operatorów i dla które wszystkie dojeżdżają do pracy ze stabilizatorami ale w parach , w celu dopasowania dolnych. Definiują one logiczne operatory Pauli dla kodu, a zatem słowa kodowe są stanami, które spełniają $S$ $S^2=\mathbb{I}$ $|\psi\rangle$ $S|\psi\rangle=|\psi\rangle$ $Z_m$ $X_m$ $m=1,\ldots k$ $S$ $\{Z_m,X_m\}=0$ $Z_m|\psi\rangle=\pm|\psi\rangle$ .

— DaftWullie
źródło

W kodzie korygującym błędy kwantowe przechowujesz pewną liczbę kubitów logicznych , , w stanie wielu kubitów fizycznych, . $k$ $n$

Słowo kodowe to stan fizycznych kubitów związanych z określonym stanem logicznym. Tak więc na przykład przechowujesz stan dla jednego z twoich logicznych kubitów jest słowem kodowym. $|0\rangle$

Przestrzeń kodowa to przestrzeń Hilberta obejmująca wszystkie możliwe słowa kodowe. W przypadku kodu stabilizatora termin ten jest synonimem przestrzeni stabilizatora. Każdy stan w tej przestrzeni kodowej jest słowem kodowym

Kod stabilizatora to kod korygujący błąd kwantowy opisany przez formalizm stabilizatora. Przestrzeń stabilizatora jest zdefiniowana jako wzajemna przestrzeń własna dla wzajemnie dojeżdżających i niezależnych produktów tensorowych operatorów Pauli. $+1$ $n-k$

— James Wootton
źródło