Wyraźne ograniczenia prędkości Lieba-Robinsona

Granice Lieba-Robinsona opisują, w jaki sposób efekty są propagowane przez system dzięki lokalnemu Hamiltonianowi. Często są one opisane w formie

| [A, B (t)] | \leq C e^{v t - l},

$\left|[A,B(t)]\right|\leq Ce^{vt-l},$ gdzie i

są podmioty, które są oddzielone od siebie na odległość

od kraty, gdzie Hamiltona ma lokalnego (na przykład najbliższego sąsiada) oddziaływania na tej siatki, ograniczony za pośrednictwem siły

. Te dowody z Lieb Robinson bound zazwyczaj wykazują istnienie prędkości

A

$A$

B

$B$

l

$l$

J

$J$

v

$v$ (to zależy od

J

$J$ ). Jest to często bardzo przydatne do ograniczania właściwości w tych systemach. Na przykład były tutaj bardzo dobre wyniki dotyczące tego, ile czasu zajmuje wygenerowanie stanu GHZ przy użyciu najbliższego sąsiada hamiltonianu.

Problem, że miałem to, że dowody są wystarczająco rodzajowy, że trudno jest uzyskać szczelne wartość na prędkość co faktycznie jest dla danego systemu.

Aby być konkretnym, wyobraź sobie jednowymiarowy łańcuch kubitów sprzężony z Hamiltonianem

\begin{matrix} (1) & H = \sum_{n = 1}^{N} \frac{B_{n}}{2} Z_{n} + \sum_{n = 1}^{N - 1} \frac{J_{n}}{2} (X_{n} X_{n + 1} + Y_{n} Y_{n + 1}), \end{matrix}

$H=\sum_{n=1}^N\frac{B_n}{2}Z_n+\sum_{n=1}^{N-1}\frac{J_n}{2}(X_nX_{n+1}+Y_nY_{n+1}), \tag{1}$ gdzie

J_{n} \leq J

$J_n\leq J$ dla wszystkich

n

$n$ . Tutaj

X_{n}

$X_n$ ,

Y_{n}

$Y_n$ i

Z_{n}

$Z_n$ oznaczają operatora Pauli stosowane do danej qubitu

n

$n$ i

I

$\mathbb{I}$ wszędzie indziej. Czy możesz podać dobrą (tj. Jak najściślejszą) górną granicę prędkości Lieba-Robinsona $v$ dla układu w równaniu. (1)?

To pytanie można zadać przy dwóch różnych założeniach:

$J_n$ i $B_n$ są stałe w czasie
$J_n$ i $B_n$ mogą zmieniać się w czasie.

To pierwsze jest silniejszym założeniem, które może ułatwić dowody, podczas gdy drugie jest zwykle zawarte w oświadczeniu granic Lieba-Robinsona.

Motywacja

Obliczenia kwantowe, a bardziej ogólnie informacje kwantowe, sprowadzają się do tworzenia interesujących stanów kwantowych. Poprzez takie dzieła jak to widzimy, że informacja zajmuje pewną ilość czasu, aby rozprzestrzeniać się z jednego miejsca do drugiego w układzie kwantowym podlegającej ewolucji ze względu na Hamiltona, takich jak w równaniu. (1) oraz że stany kwantowe, takie jak stany GHZ lub stany o porządku topologicznym, zajmują pewien czas. Wynik pokazuje obecnie relację skalowania, np. Wymagany czas to $\Omega(N)$ .

Więc powiedzmy, że mam wymyślić system, który powoduje przeniesienia informacji lub wytwarza GHZ państwowej itp w taki sposób, że skala liniowo $N$ . Jak dobry jest ten schemat? Jeśli mam wyraźną prędkość, mogę zobaczyć, jak ściśle dopasowany jest współczynnik skalowania w moim schemacie do dolnej granicy.

Jeśli myślę, że pewnego dnia chcę zobaczyć protokół zaimplementowany w laboratorium, to bardzo zależy mi na optymalizacji tych współczynników skalowania, a nie tylko na szerokiej funkcjonalności skalowania, ponieważ im szybciej mogę wdrożyć protokół, tym mniejsza jest tam szansa jest nadejście hałasu i zepsucie wszystkiego.

Dalsza informacja

$\newcommand{\bra}[1]{\left<#1\right|}\newcommand{\ket}[1]{\left|#1\right>}\newcommand{\bk}[2]{\left<#1\middle|#2\right>}\newcommand{\bke}[3]{\left<#1\middle|#2\middle|#3\right>}\newcommand{\proj}[1]{\left|#1\right>\left<#1\right|}$ Jest kilka fajnych cech tego hamiltonianu, które, jak zakładam, ułatwiają obliczenia. W szczególności hamiltonian ma strukturę podprzestrzeni opartą na liczbie 1s w standardzie (mówi się, że zachowuje wzbudzenie), a jeszcze lepiej, transformacja Jordana-Wignera pokazuje, że można wyprowadzić wszystkie właściwości podprzestrzeni o wyższym wzbudzeniu z podprzestrzeni 1 wzbudzenia. Zasadniczo oznacza to, że musimy wykonać matematykę na macierzy $N\times N$ $h$ zamiast pełnej macierzy $2^N\times 2^N$ $H$ , gdzie

h = \sum_{n = 1}^{N} B_{n} | n ⟩ ⟨ n | + \sum_{n = 1}^{N - 1} J_{n} (| n ⟩ ⟨ n + 1 | + | n + 1 ⟩ ⟨ n |) .

$h=\sum_{n=1}^NB_n\proj{n}+\sum_{n=1}^{N-1}J_n(\ket{n}\bra{n+1}+\ket{n+1}\bra{n}).$ Istnieją pewne dowody na to, że prędkość Lieba-Robinsona wynosi

v = 2 J

$v=2J$ , tak jaktuitutaj, ale wszystkie one wykorzystują łańcuch blisko do jednorodnie sprzężonego łańcucha, który ma prędkość grupową

2 J

$2J$ (i zakładam, że prędkość grupy jest ściśle związana z prędkością Lieba-Robinsona). Nie dowodzi to, że wszystkie możliwe wybory siły sprzęgania mają tak ograniczoną prędkość.

Mogę dodać nieco więcej motywacji. Rozważmy ewolucję czasową pojedynczego pobudzenia zaczynając od jednego końca łańcucha $\ket{1}$ , a co jego amplituda jest dla przybywających na drugim końcu łańcucha $\ket{N}$ , krótki czas $\delta t$ później. Do pierwszego rzędu w $\delta t$ , to

⟨ N | e^{- i h δ t} | 1 ⟩ = \frac{δ t^{N - 1}}{(N - 1)!} \prod_{n = 1}^{N - 1} J_{n} + O (δ t^{N}) .

$\bra{N}e^{-ih\delta t}\ket{1}=\frac{\delta t^{N-1}}{(N-1)!}\prod_{n=1}^{N-1}J_n+O(\delta t^{N}).$ Można zobaczyć wykładniczej funkcji, które można oczekiwać będąc poza „” stożek światła określonej przez system Lieb-Robinson, ale co ważniejsze, jeśli chcesz, aby zmaksymalizować tej amplitudy, można ustawić wszystkie

J_{n} = J

$J_n=J$ . Tak więc w krótkim czasie jednolicie sprzężony system prowadzi do najszybszego transferu. Próbuje pchnąć to dalej, można zapytać, jak kawałka krówki, kiedy można

\frac{t^{N - 1}}{(N - 1)!} \prod_{n = 1}^{N - 1} J_{n} \sim 1

$\frac{t^{N-1}}{(N-1)!}\prod_{n=1}^{N-1}J_n\sim 1$ Biorąc dużylimit

N

$N$ i stosując wzór Stirlinga na silnie prowadzi do

\frac{e t J}{N - 1} \sim 1,

$\frac{etJ}{N-1}\sim 1,$ co sugeruje, maksymalna prędkość około

e J

$eJ$ . Blisko, ale mało rygorystycznie (ponieważ warunki wyższego rzędu są nie bez znaczenia)!

simulation performance many-body-systems

— DaftWullie
źródło

Have you computed the best LR-bound from the proofs for that model? How does it compare to the velocity you quote?

— Norbert Schuch

Ok, I concede it is a quantum computing question, at least the way I interpret it now: "What is the choice of

J_{n}

$J_n$ and

B_{n}

$B_n$ (subject to some constraints) which yields the maximum velocity for information/state/... transfer." --- Is this the right interpretation?

— Norbert Schuch

@NorbertSchuch Not quite. I want to be able to say "I've come up with a set of couplings that achieves a protocol with a certain scaling. That protocol is known to be constrained by Lieb-Robinson bounds. How close am I to saturating that constraint?" as a measure of how fast my protocol is.

— DaftWullie

@DaftWullie So - is you question: "How close am I to being optimal", or "How close am I to some kind of bound (taking the tightest possible one)"?

— Norbert Schuch

@ user1271772 To prawda.

B (t) = e^{- i H t} B (0) e^{i H t}

$B(t)=e^{-iHt}B(0)e^{iHt}$

— DaftWullie

Pozwól mi najpierw odpowiedzieć na ogólne pytanie, jak uzyskać względnie wąską prędkość Lieba-Robinsona (LR), gdy stoisz w obliczu ogólnego, lokalnie oddziałującego modelu sieci, a następnie wrócę do modelu 1D XY w twoim pytaniu, które jest bardzo specjalne, aby były dokładnie rozwiązane.

General Method

The method to obtain the tightest bound to date (for a generic short-range interacting model) is introduced in Ref1=arXiv:1908.03997. The basic idea is that the norm of the unequal time commutator $\|[A_X(t),B_Y(0)]\|$ between arbitrary local operators can be upper bounded by the solution to a set of first order linear differential equations living on the commutativity graph of the model. The commutativity graph, as introduced in Sec.II A of Ref1, can be easily drawn from the model Hamiltonian $\hat{H}$ $\hat{H}$ $\omega_{\max}(i\vec{\kappa})$ $|B_n|=B>0$ , $|J_n|=J>0$ (the resulting bound doesn't depend on signs of $B_n,J_n$ ). For the translation non-invariant, time-dependent case, you can either solve the differential equation numerically (which is an easy computational task for systems of thousands of sites), or you can use an overall upper bound $|J_n(t)|\leq J,~|B_n(t)|\leq B$ and proceed to use the method below (but this slightly compromises tightness compared to the numerical method).

First we draw the commutativity graph, as below. Each operator in the Hamiltonian~( $X_{n}X_{n+1}$ , $Y_nY_{n+1}$ , $Z_n$ ) is represented by a vertex, and we link two vertices if and only if the corresponding operators don't commute (or, in the current case, anti-commute).
Then write down the differential equations Eq.(10) of Ref1:
$\begin{array}{rcl} {\dot{\bar{γ}}}_{α, n} & = & J [{\bar{γ}}_{α, n - 1} (t) + {\bar{γ}}_{α, n + 1} (t)] + B [{\bar{γ}}_{3, n} (t) + {\bar{γ}}_{3, n + 1} (t)], α = 1, 2, \\ {\dot{\bar{γ}}}_{3, n} & = & J \sum_{α = 1, 2} [{\bar{γ}}_{α, n - 1} (t) + {\bar{γ}}_{α, n} (t)] . \end{array}$ $\begin{eqnarray} \dot{\bar{\gamma}}_{\alpha,n}&=&J[\bar{\gamma}_{\alpha,n-1}(t)+\bar{\gamma}_{\alpha,n+1}(t)]+B[\bar{\gamma}_{3,n}(t)+\bar{\gamma}_{3,n+1}(t)],~~\alpha=1,2,\nonumber\\ \dot{\bar{\gamma}}_{3,n}&=&J\sum_{\alpha=1,2}[\bar{\gamma}_{\alpha,n-1}(t)+\bar{\gamma}_{\alpha,n}(t)]. \end{eqnarray}$
Fourier transforming the above equation, we have
$\frac{d}{d t} (\begin{matrix} {\bar{γ}}_{1, k} \\ {\bar{γ}}_{2, k} \\ {\bar{γ}}_{3, k} \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 J \cos k & 0 & B (1 + e^{i k}) \\ 0 & 2 J \cos k & B (1 + e^{i k}) \\ J (1 + e^{- i k}) & J (1 + e^{- i k}) & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} {\bar{γ}}_{1, k} \\ {\bar{γ}}_{2, k} \\ {\bar{γ}}_{3, k} \end{matrix}) .$ $\begin{equation} \frac{d}{dt}\begin{pmatrix} \bar{\gamma}_{1,k}\\ \bar{\gamma}_{2,k}\\ \bar{\gamma}_{3,k} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2J\cos k & 0 & B(1+e^{ik})\\ 0 & 2J\cos k & B(1+e^{ik})\\ J(1+e^{-ik}) & J(1+e^{-ik}) & 0\\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \bar{\gamma}_{1,k}\\ \bar{\gamma}_{2,k}\\ \bar{\gamma}_{3,k} \end{pmatrix}. \end{equation}$ The eigenfrequencies are $2J\cos k,J\cos k\pm \sqrt{(J\cos k)^2+2BJ(1+\cos k)}$ . The LR speed is given by Eq.(31) of Ref1: $v_{LR} \leq min_{κ > 0} \frac{ω_{max} (i κ)}{κ} = Z_{\frac{B}{2 J}} J,$ $v_{\text{LR}}\leq \min_{\kappa>0}\frac{\omega_{\max}(i\kappa)}{\kappa} =\mathcal{Z}_{\frac{B}{2J}}J,$ where $Z_{y} \equiv min_{κ > 0} \frac{\cosh κ + \sqrt{\cosh^{2} κ + 4 y (1 + \cosh κ)}}{κ} .$ $\begin{equation}\label{eq:vLRFHWy} \mathcal{Z}_y\equiv \min_{\kappa>0}\frac{\cosh\kappa+\sqrt{\cosh^2\kappa+4y(1+\cosh\kappa)}}{\kappa}. \end{equation}$

Note: This bound diverges when $B/J\to \infty$ , while the physical information propagation speed stays finite. We can get rid of this problem by using the method in Sec. VI of Ref1. The result is $v_{\text{LR}}\leq 4\mathcal{X}_0 J$ in this limit, where $\mathcal{X}_y$ is defined as the solution to the equation $x\mathrm{arcsinh}(x)=\sqrt{x^2+1}+y$ .

Velocity bounds for some classic models

The above method is completely general. In case you are interested in more, I listed the velocity bounds for some classic models in the following table, obtained in a similar way. Notice that the LR velocity $v_{\text{LR}}$ is upper bounded by the smallest of the all the expressions listed (so in different parameter regions different expressions should be used). The function $F(J_x,J_y,J_z)$ is defined as the largest root of $x^3-(J_xJ_y+J_xJ_z+J_yJ_z)x-2J_xJ_yJ_z=0.$ All parameters are assumed positive (just take absolute value for the negative cases).

\begin{array}{cl} Model & v_{LR} \\ d -dimensional TFIM & 2 X_{0} \sqrt{d J h} = 3.02 \sqrt{d J h} \\ \hat{H} = J \sum_{⟨ m n ⟩} X_{m} X_{n} + h \sum_{n} Z_{n} & 4 X_{\frac{d - 1}{d}} d J \leq 8.93 d J \\ 4 X_{0} d h = 6.04 d h \\ d -dimensional Fermi-Hubbard & 2 X_{\frac{3 U}{4 d J}} d J \\ \hat{H} = J \sum_{⟨ m n ⟩, s =↑, ↓} (a_{m, s}^{†} a_{n, s} + H . c .) & 8 X_{\frac{d - 1}{d}} d J \leq 17.9 d J \\ + U \sum_{n} a_{n ↑}^{†} a_{n ↑} a_{n ↓}^{†} a_{n ↓} & Z_{U / J} J (d = 1) \\ 1D Heisenberg XYZ & 4 X_{0} F (J_{x}, J_{y}, J_{z}) \\ \hat{H} = \sum_{n} (J_{x} X_{n} X_{n + 1} + J_{y} Y_{n} Y_{n + 1} + J_{z} Z_{n} Z_{n + 1}) & 34.6 max {J_{x}, J_{y}} \end{array}

$\begin{array}{|c|l|} \hline \text{Model} & v_{\text{LR}} \\ \hline d\text{-dimensional TFIM} & 2\mathcal{X}_0\sqrt{dJh}= 3.02\sqrt{dJh} \\ \hat{H}= J\sum_{\langle mn\rangle} X_m X_{n}+h\sum_n Z_n & 4\mathcal{X}_{\frac{d-1}{d}}dJ \leq 8.93 d J \\ & 4\mathcal{X}_0dh = 6.04 d h \\ \hline d\text{-dimensional Fermi-Hubbard} & 2 \mathcal{X}_{\frac{3U}{4dJ}}dJ \\ \hat{H}=J\sum_{\langle mn\rangle, s=\uparrow,\downarrow} (a^\dagger_{m,s}a_{n,s}+\mathrm{H.c.}) & 8\mathcal{X}_{\frac{d-1}{d}}dJ\leq 17.9 d J \\ ~~+U \sum_n a^\dagger_{n\uparrow}a_{n\uparrow}a^\dagger_{n\downarrow}a_{n\downarrow} & \mathcal{Z}_{U/J}J~(d=1) \\ \hline \text{1D Heisenberg XYZ} & 4\mathcal{X}_0 F(J_x,J_y,J_z) \\ \hat{H}=\sum_n (J_x X_n X_{n+1}+J_y Y_n Y_{n+1}+J_z Z_n Z_{n+1}) & 34.6 \max\{J_x,J_y\}\\ \hline \end{array}$

As for how good these bounds are, I haven't investigated in general, but for the 1D TFIM at critical point $J=h$ , exact solution gives $v_{\text{LR}}=2J$ , while the above bound gives $2\mathcal{X}_0J\approx 3.02 J$ . Similarly, at the $U=0$ point of FH and the $J_x=J_y,J_z=0$ point of Heisenberg XYZ, the above bound are all larger than exact solution by a factor of $\mathcal{X}_0\approx 1.50888$ . [Actually at these special points the latter two are equivalent to decoupled chains of TFIM, as can be directly judged from their commutativity graph.]

Tighter bound for 1D XY by mapping to free fermions

Now let's talk more about the 1D XY model. As you noticed, it's exactly solvable by mapping to free fermions:

\hat{H} = \sum_{n} B_{n} (a_{n}^{†} a_{n} - 1 / 2) + \sum_{n} J_{n} (a_{n}^{†} a_{n + 1} + H . c .) .

$\hat{H}=\sum_nB_n(a_n^\dagger a_n-1/2)+\sum_n J_n(a_n^\dagger a_{n+1}+\mathrm{H.c.}).$ For general

B_{n} (t), J_{n} (t)

$B_n(t),J_n(t)$ you need to solve the free-fermion problem numerically, but let me mention two special cases that are analytically tractable.

$B_n(t)=B,J_n(t)=J$ are fixed and translation invariant. Then the exact solution is
$\begin{array}{rcl} a_{n} (t) & = & \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- π}^{π} {\tilde{a}}_{k} e^{- i 2 J t \cos k} e^{i k x} d k \\ = & \sum_{m} J_{| n - m |} (2 J t) a_{m} (0), \end{array}$ $\begin{eqnarray}\label{eq:aisigmat} a_{n}(t)&=&\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\pi}^\pi \tilde{a}_{k}e^{-i2Jt\cos k }e^{ikx}d k\nonumber\\ &=&\sum_{m}\mathcal{J}_{|n-m|}(2Jt) a_{m}(0), \end{eqnarray}$ where $\mathcal{J}_{|n-m|}(2Jt)$ is the Bessel function of order $|n-m|$ . So the LR speed is $\color{red}{v^{\text{XY}}_{\text{LR}}=2J}$ .
$B_n,J_n$ are fixed in time but are completely random (quenched disorder). Then due to many-body localization (or Anderson localization in the fermion picture), information don't propagate in this system, so $v_{\text{LR}}=0$ . More rigorously, in arXiv:quant-ph/0703209, the following bound is proved for disordered case:
$[A_{X} (t), B_{Y} (0)] \leq c o n s t . t e^{- d_{X Y} / ξ},$ $[A_X(t),B_Y(0)]\leq \mathrm{const.}~ t ~e^{-d_{XY}/\xi},$ with a decelerating, logarithmic light cone $d_{XY}=\xi \ln t$ .

— Lagrenge
źródło

Should I infer from what you say that for every

X Y

$XY$ model (including those without translation invariance) with

| J_{n} | \leq J

$|J_n|\leq J$ , that the velocity is

v_{L R}^{X Y} \leq 2 J

$v_{LR}^{XY}\leq 2J$ ?

— DaftWullie

@DaftWullie No, you can only use an overall upper bound for the parameters in the general method, since the general method always gives a bound that is strictly non-decreasing in the absolute value of any coefficient. The bound

2 J

$2J$ is obtained from the free-fermion exact solution, in which you cannot use an overall upper bound for parameters, and have to solve case by case. If the

B_{n} (t)

$B_n(t)$ is translation invariant, then you can set

B = 0

$B=0$ in the general method since the

B

$B$ term commute with

\hat{H}

$\hat{H}$ , and get

v_{LR} \leq 2 X_{0} J = 3.02 J

$v_{\text{LR}}\leq 2\mathcal{X}_0 J=3.02 J$ .

— Lagrenge

@DaftWullie Dear DaftWullie, if you think anything is still missing in my answer, or any point is still unclear, please let me know.

— Lagrenge

the answer looks potentially useful. I haven't had time to look at your paper yet (it may be a couple of weeks). Assuming I understand everything OK, that's the point I'll accept your answer.

— DaftWullie