Co to jest splątanie kwantowe i jaką rolę odgrywa w kwantowej korekcji błędów?

11

Chcę zrozumieć, czym jest splątanie kwantowe i jaką rolę odgrywa w kwantowej korekcji błędów.

UWAGA : Zgodnie z sugestiami @JamesWootton i @NielDeBeaudrap poprosiłem oddzielny pytanie do klasycznego analogii tutaj .

entanglement error-correction

— Chinni
źródło

3

Twierdziłbym, że jest to nieco zbyt ogólne, jak pytano. Być może coś w rodzaju „dlaczego splątanie jest potrzebne do kwantowej korekcji błędów” i mieć osobne pytanie dotyczące klasycznej analogii.

— James Wootton,

1

Redukowałem do jednego pytania, a potem zdałem sobie sprawę, że będzie to tendencyjne dla mojej odpowiedzi nad odpowiedzią piramid. Ale @Chinni, zgadzam się z Jamesem, że powinieneś skupić się na jednym z dwóch pytań.

— Niel de Beaudrap,

@JamesWootton i Niel, dziękuję za radę. Odtąd będę o tym pamiętać. Ale skoro są już trzy odpowiedzi na to pytanie, czy będzie w porządku, jeśli podzielę je na dwa osobne pytania?

— Chinni

@Chinni Myślę, że jest w porządku. Być może powinieneś powiadomić respondentów w komentarzach pod ich odpowiedzią, że mogą również „podzielić” swoją odpowiedź (jeśli dotyczy).

— Dyskretna jaszczurka

6

Klasyczne korelacje między zmiennymi występują, gdy zmienne wydają się losowe, ale których wartości okazują się w jakiś sposób systematycznie zgadzać się (lub nie zgadzać). Zawsze jednak będzie ktoś (lub coś), kto „dokładnie” dokładnie wie, co robią zmienne w danym przypadku.

Splątanie między zmiennymi jest takie samo, z wyjątkiem ostatniej części. Losowość jest naprawdę losowa. Losowe wyniki są całkowicie niezdecydowane do czasu pomiaru. Ale w jakiś sposób zmienne, choć mogą być oddzielone galaktykami, nadal wiedzą, że się zgadzają.

Co to oznacza dla korekcji błędów? Zacznijmy od myślenia o korekcji błędów za pomocą prostego bitu .

Podczas przechowywania klasycznego bitu, rodzajami błędów, o które musisz się martwić, są takie rzeczy, jak odwracanie i wymazywanie bitu. Więc coś może sprawić, że 0staniesz się 1lub odwrotnie. Albo twój kawałek może gdzieś odejść.

Aby chronić informacje, możemy zapewnić, że nasze logiczne bity (rzeczywiste informacje, które chcemy przechowywać) nie są skoncentrowane tylko na pojedynczych fizycznych bitach . Zamiast tego rozprowadzamy to. Możemy więc użyć prostego kodowania powtórzeń, na przykład, gdy kopiujemy nasze informacje na wiele fizycznych bitów. To pozwala nam nadal wyciągać nasze informacje, nawet jeśli niektóre fizyczne bity zawiodły.

To jest podstawowa funkcja korekcji błędów: rozprowadzamy nasze informacje, aby utrudnić błędom błędy.

W kubitach jest więcej rodzajów błędów, o które należy się martwić. Na przykład możesz wiedzieć, że kubity mogą znajdować się w stanach superpozycji i że pomiary to zmieniają. Niepożądane pomiary są zatem kolejnym źródłem hałasu, powodowanym przez środowisko oddziałujące (i w pewnym sensie „patrzą” na nasze kubity). Ten rodzaj hałasu jest znany jako decoherence.

Jak to wpływa na rzeczy? Załóżmy, że używamy kodowania powtórzeń z kubitami. Więc zastępujemy w naszej pożądanego stanu logicznego qubit z , powtarzane w wielu fizycznych kubitach i zastępują z . To znowu chroni przed przewróceniem i wymazaniem bitów, ale jeszcze bardziej ułatwia pomyłki. Teraz środowisko mierzy, czy mamy lub patrząc na dowolny z wielu qubitach. To sprawi, że efekt dekoherencji będzie znacznie silniejszy, czego wcale nie chcieliśmy! $|0\rangle$ $|000...000\rangle$ $|1\rangle$ $|111...111\rangle$ $|0\rangle$ $|1\rangle$

Aby to naprawić, musimy utrudnić dekoherencji zaburzenie naszych logicznych informacji o kubitach, podobnie jak utrudniamy odwracanie i usuwanie bitów. W tym celu musimy utrudnić zmierzenie naszego logicznego kubita. Nie za trudne, że nie możemy tego zrobić, kiedy tylko chcemy, ale zbyt trudne, aby środowisko mogło to łatwo zrobić. Oznacza to, że pomiar jednego fizycznego kubita nie powinien nam nic powiedzieć o logicznym kubicie. W rzeczywistości musimy to zrobić, aby zmierzyć całą grupę kubitów i porównać ich wyniki w celu uzyskania jakichkolwiek informacji o kubicie. W pewnym sensie jest to forma szyfrowania. Potrzebujesz wystarczającej ilości elementów układanki, aby mieć pojęcie, co to jest obraz.

Możemy spróbować zrobić to klasycznie. Informacje mogą być rozłożone w złożonych korelacjach na wiele bitów. Patrząc na wystarczającą liczbę bitów i analizując korelacje, możemy wydobyć trochę informacji o bicie logicznym.

Ale nie byłby to jedyny sposób na uzyskanie tych informacji. Jak wspomniałem wcześniej, klasycznie zawsze jest ktoś lub coś, co już wszystko wie. Nie ma znaczenia, czy jest to osoba, czy tylko wzorce w powietrzu powstałe podczas szyfrowania. Tak czy inaczej, informacje istnieją poza naszym kodowaniem i jest to w zasadzie środowisko, które wie wszystko. Jego istnienie oznacza, że dekoherencja wystąpiła w nieodwracalnym stopniu.

Dlatego potrzebujemy uwikłania. Dzięki niemu możemy ukryć informacje za pomocą korelacji w prawdziwych i nieznanych losowych wynikach zmiennych kwantowych.

— James Wootton
źródło

5

Splątanie jest naturalną częścią informacji kwantowej i obliczeń kwantowych. Jeśli nie jest obecny - jeśli spróbujesz zrobić coś w taki sposób, aby nie doszło do splątania - wtedy nie odniesiesz żadnej korzyści z obliczeń kwantowych. A jeśli komputer kwantowy robi coś interesującego, spowoduje dużo splątania, przynajmniej jako efekt uboczny.

Nie oznacza to jednak, że uwikłanie „napędza komputery kwantowe”. Zaplątanie jest jak obracanie się koła zębatego maszyny: nic się nie dzieje, jeśli się nie obracają, ale to nie znaczy, że szybkie obracanie się kół zębatych wystarczy, aby maszyna zrobiła to, co chcesz. (Splątanie jest w ten sposób prymitywnym zasobem do komunikacji , ale nie do obliczeń, o ile ktokolwiek widział.)

Dotyczy to zarówno kwantowej korekcji błędów, jak i obliczeń. Podobnie jak wszystkie formy korekcji błędów, kwantowa korekcja błędów działa poprzez dystrybucję informacji wokół większego systemu, w szczególności w korelacjach niektórych mierzalnych informacji. Splątanie jest zwyczajnym sposobem korelacji układów kwantowych, dlatego nie powinno dziwić, że dobry kod korekcji błędu kwantowego wiąże się wtedy z dużym splątaniem. Ale to nie znaczy, że próba „pompowania twojego systemu pełnego splątania”, jak jakiś balon helowy, jest czymś, co jest użyteczne lub znaczące w celu ochrony informacji kwantowej.

Chociaż kwantowa korekcja błędów jest czasami opisywana niejasno w kategoriach splątania, ważniejsze jest to, w jaki sposób obejmuje ona kontrolę parzystości przy użyciu różnych „obserwowalnych”. Najważniejszym narzędziem do opisania tego jest formalizm stabilizatora. Formalizm stabilizatora może być użyty do opisania niektórych stanów o dużej ilości splątania, ale co ważniejsze, pozwala dość łatwo wnioskować o właściwościach wielu kubitów („obserwowalnych”). Z tej perspektywy można zrozumieć, że kwantowa korekcja błędów jest znacznie ściślej związana z niskoenergetyczną fizyką wielu ciał spin-hamiltonianów, niż po prostu splątaniem w ogóle.

— Niel de Beaudrap
źródło

4

Nie ma klasycznego odpowiednika splątania. Splątanie najlepiej chyba zrozumieć za pomocą notacji Dirac (bra-ket).

Rozważmy teraz superpozycję rodzaju . Oznacza to, że pierwszy kubit jest w stanie z prawdopodobieństwem iw stanie inaczej, podczas gdy drugi qubit jest zawsze w stanie przeciwnym do pierwszego z nich jest w: Obie cząsteczki są splątane. $\alpha \left|01\right> + \beta \left|10\right>$ $\left|0\right>$ $|\alpha|^2$ $\left|1\right>$

Nie jest ważne, aby w tym przykładzie splątane kubity znajdowały się w przeciwnych stanach: równie dobrze mogą być w tym samym stanie i nadal być uwikłane. Liczy się to, że ich państwa nie są od siebie niezależne. Spowodowało to poważne bóle głowy dla fizyków, ponieważ oznacza to, że kubity (lub cząstki je przenoszące) nie mogą jednocześnie mieć ściśle lokalnych właściwości i podlegać koncepcji zwanej realizmem (odzwierciedlają ich stany jako własność wewnętrzną). Słynny Einstein nazwał powstały paradoks (jeśli nadal zakładamy lokalność i realizm) „upiorną akcją na odległość”.

Splątanie nie odgrywa specjalnej roli w kwantowej korekcji błędów: korekcja błędów musi działać dla każdego stanu obliczeniowego (który nie ma splątania). Następnie automatycznie działa również w przypadku superpozycji tych stanów (które mogą być stanami splątanymi).

— piramidy
źródło

Chcę to lepiej zrozumieć, jeśli występuje splątanie, to czy wydajność tych algorytmów korekcji błędów poprawi się, czy pogorszy? Czy możliwe jest także posiadanie układu kwantowego bez splątania?

— Chinni

Posiadanie lub brak splątania nie wpływa na korekcję błędu kwantowego. Tak, istnieją systemy kwantowe bez uwikłania; stan, w którym znajduje się ten system, nazywany jest stanem produktu, ponieważ można go zapisać jako (stan pierwszego kubita)

(stan drugiego kubita) itp.

\otimes

$\otimes$

— piramid

@pyramids: Myślę, że stwierdzenie „nie ma klasycznego odpowiednika splątania” jest (choć często mówi się) nieco silnym stwierdzeniem. Istnieje klasyczny analog , choć nie jest w żaden sposób głęboko tajemniczy. Przywołujemy go za każdym razem, gdy wyjaśnij czym jest splątanie --- a następnie śmiało twierdzić, że „splątanie nie ma klasycznego analogu”, aby ludzie nie mylili splątania z tym samym klasycznym analogiem. Ale w kontekście korekcji błędów rola tego klasycznego analogu jest dokładnie tym, co jest sporne, ponieważ to właśnie sprawia, że klasyczna korekcja błędów działa

— Niel de Beaudrap

@NieldeBeaudrap Sposób, w jaki rozumiem uwikłanie (stan nieprodukcyjny), to stwierdzenie jest raczej precyzyjne niż nadmiernie silne.

— piramidy

Para skorelowanych klasycznych zmiennych losowych jest również stanem nieprodukcyjnym i właśnie w ten sposób jest klasycznym analogiem splątania. To, co czyni twoje stwierdzenie „silnym”, polega na tym, że istnieje swoboda wyboru w miejscu, w którym wyznacza się granicę między zjawiskami „analogicznymi”, a nie „analogicznymi”, a zdarza się, że wyznaczasz granicę na wysokim poziomie (ponieważ konwencjonalne z uwikłaniem, z przyczyn historycznych).

— Niel de Beaudrap,

4

Dla pewnej klasy kodów zwanych czysty The obecność splątania jest konieczny i wystarczający warunek do korekcji błędów kwantowy, czyli poprawić wszystkie błędy wpływające do pewnej liczby podsystemów.

Przywołaj warunki Knilla-Laflamme dla kodu kwantowego korygującego błędy, aby móc wykryć pewien zestaw błędów $\{E_\alpha\}$ : wybierz dowolną podstawę ortonormalną $|i_\mathcal{Q}\rangle$ który obejmuje kod przestrzeni. Wtedy błąd $E_\alpha$ można wykryć wtedy i tylko wtedy

⟨ i_{Q} | E_{α} | j_{Q} ⟩ = δ_{i j} C (E_{α}) . (1)

$\begin{equation} \langle i_\mathcal{Q} | E_\alpha | j_\mathcal{Q} \rangle = \delta_{ij} C(E_\alpha). \quad\quad\quad (1) \end{equation}$

Zauważ, że $C(E_\alpha)$ jest stałą, która zależy tylko od określonego błędu $E_\alpha$ , ale nie od $i$ i $j$ . (Oznacza to, że błąd $E_\alpha$ wpływa w ten sam sposób na wszystkie stany w podprzestrzeni kodu). W przypadku $C(E_\alpha) \propto \operatorname{tr}(E_\alpha)$ kod jest nazywany czystym . Wiele rozpatrywanych kodów stabilizatora ma tę postać, jednak nie kod toryczny Kitaeva.

Załóżmy model błędu, w którym interesuje nas tylko to, ile podsystemów działają nasze błędy. Jeśli nasz kod może wykryć wszystkie błędy $E_\alpha$ które działają nieludzko na co najwyżej $(d-1)$ podsystemów, mówi się, że kod ma odległość $d$ . W konsekwencji każdą kombinację błędów, które wpływają na $\lfloor(d-1)/2\rfloor$ do można poprawić .

Co za tym idzie, dla czystych kodów odległości $d$ każdy wektor leżący w podprzestrzeni kodu musi być maksymalnie uwikłany w dowolną dwuczęściową konstrukcję, której mniejszy podsystem ma co najwyżej rozmiar $(d-1)$ : aby to zobaczyć, zwróć uwagę, że dla każdego błędu $E_\alpha \neq \mathbb{1}$ i wektor $|v_\mathcal{Q} \rangle$ w podprzestrzeni (nasz ONB wybrano arbitralne), jedna zawiera

⟨ E ⟩ = tr (E | v_{Q} ⟩ ⟨ v_{Q} |) = ⟨ v_{Q} | E_{α} | v_{Q} ⟩ = tr (E) = 0.

$\begin{equation} \langle E \rangle = \operatorname{tr}(E |v_\mathcal{Q} \rangle\langle v_\mathcal{Q}|) = \langle v_\mathcal{Q} |E_\alpha|v_\mathcal{Q} \rangle = \operatorname{tr}(E) = 0. \end{equation}$

Zatem wszystkie obserwowalne wartości na co najwyżej $(d-1)$ stronach znikają, a wszystkie macierze o zmniejszonej gęstości na $(d-1)$ stronach muszą być maksymalnie wymieszane. Oznacza to, że $|v_\mathcal{Q}\rangle$ jest maksymalnie splątane dla dowolnego wyboru $(d-1)$ stronom kontra reszta.

Dodatek (w zakresie wystarczalności): Jako definicja równoważna z równaniem. (1): Wszystkie błędy $E_\alpha$ działające na mniej niż $d$ miejsca mogą zostać wykryte , jeśli i tylko jeśli dla wszystkich $|v\rangle, |w\rangle$ w podprzestrzeni kodu obowiązuje następujący warunek,

⟨ v | E_{α} | v ⟩ = ⟨ w | E_{α} | w ⟩ .

$\begin{equation} \langle v| E_\alpha | v\rangle = \langle w | E_\alpha| w\rangle. \end{equation}$

W przypadku czystych kodów powyższe wyrażenie znika. Wynika z tego, że jeśli ktoś ma podprzestrzeń, w której każdy stan jest maksymalnie splątany dla wszystkich dwuczęściowych partii (d-1) w porównaniu z resztą, to jest to czysty kod odległości $d$ .

tl; dr: Dla dużej odległości $d$ czysty kod składa się z wysoce splątanych stanów. Jest to niezbędny i wystarczający wymóg istnienia kodu.

Dodatek: przyjrzeliśmy się temu pytaniu dalej, szczegóły można znaleźć w artykule Kody kwantowe maksymalnej odległości i wysoce splątanych podprzestrzeni . Istnieje kompromis: im więcej błędów kod kwantowy może poprawić, tym bardziej uwikłany musi być każdy wektor w przestrzeni kodu. Ma to sens, ponieważ jeśli informacja nie jest rozpowszechniana wśród wielu cząstek, środowisko - czytając kilka kubitów - może odzyskać komunikat w przestrzeni kodu. To z konieczności zniszczyłoby zakodowaną wiadomość z powodu twierdzenia o braku klonowania. Zatem duża odległość wymaga dużego splątania.

— Felix Huber
źródło

3

Oto sposób na zastanowienie się nad rolą splątania w kodach kwantowych, które moim zdaniem uzupełniają odpowiedź Felixa Hubersa.

$|\Psi\rangle_{RQ}$ $Q$ $Q$ $S_1,S_2,S_3$

Następnie istnieje entropijny sposób myślenia o warunkach korekcji błędów (w porównaniu do bardziej algebraicznych warunków Knilla-Laflamme'a). W szczególności jeśli

I (R : S_{3}) = 0

$I(R:S_3) = 0$

$Q$ $S_1S_2$

Dzięki temu entropijnemu podejściu do korekcji błędów istnieją dość bezpośrednie drogi do zrozumienia splątania w kodach. Na przykład możemy udowodnić, że

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) \geq 2 \log d_{R}

$I(S_1S_2:S_3) \geq 2\log d_R$

następująco. Najpierw piszemy te wzajemne informacje w zakresie ich definicji,

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) = S (S_{1} S_{2}) + S (S_{3}) - S (S_{1} S_{2} S_{3})

$I(S_1S_2:S_3) = S(S_1S_2) + S(S_3) - S(S_1S_2S_3)$

$X$ $RS_1S_2S_3X$

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) = S (S_{3} X R) + S (S_{3}) - S (X R)

$I(S_1S_2:S_3) = S(S_3XR) + S(S_3) - S(XR)$

$Q$ $S_1S_2$ $I(R:S_3X)=I(R:X)=0$

I (S_{1} S_{2} : S_{3}) = S (S_{3} | X) + S (S_{3})

$I(S_1S_2:S_3) = S(S_3|X) + S(S_3)$

$2 \log d_R$ $S_3$ $S_1$ $Q$ $S_3$ $Q$ $S_3$ $2\log d_R$ $2\log d_R$ $I(R:S_1S_3) - I(R:S_1)$

I (R : S_{1} S_{3}) - I (R : S_{1}) = S (S_{3} | S_{1}) + S (S_{3} | X S_{2}) \leq S (S_{3}) + S (S_{3} | X)

$I(R:S_1S_3) - I(R:S_1) = S(S_3|S_1) + S(S_3|XS_2) \leq S(S_3) + S(S_3|X)$

$I(R:S_1S_3) \geq 2\log d_R$ $S_1S_3$ $Q$ $I(R:S_1)=0$ $S(S_3) + S(S_3|X)$ $I(S_1S_2:S_3)$

— Alex May
źródło