Biorąc pod uwagę rozkład dla jednolitego

13

Załóżmy, że mamy rozkład obwodu jednostkowego za pomocą jakiegoś uniwersalnego zestawu bramek (na przykład bramek CNOT i pojedynczych kubitów jednolitych). Czy istnieje bezpośredni sposób na zapisanie obwodu odpowiedniego kontrolowanego jednolitego przy użyciu tego samego uniwersalnego zestawu bram? $U$ $C_U$

Na przykład weźmy , jako obwód: $U=i Y = H X H X$

Możemy zastąpić bramki bramkami (CNOT), aby uzyskać : $X$ $C_X$ $C_U$

Działa to, ponieważ qubit kontroli jest w stanie akcja na celu to , natomiast dla dotyczy obwód . Dla różnych , w szczególności jeśli działa na kilka kubitów, wymyślenie takiego obwodu może być kłopotliwe. Czy istnieje przepis na uzyskanie obwodu biorąc pod uwagę, że wiesz, jak zbudować ? $|0\rangle$ $H^2=\mathbb{I}$ $|1\rangle$ $U$ $U$ $C_U$ $U$

— M. Sterna
źródło

pytasz, jak zbudować CU z arbitralnego U-qubitu? Metodę na to można znaleźć w rozdziale 4 N&C (patrz np. Rysunek 4.6 w ostatnim wydaniu), która jest w zasadzie uogólnieniem

— pokazanego

@glS och wow, nie byłem tego świadomy. Wygląda dokładnie jak mój przykład. Dobrze jest zobaczyć, jak realizuje fazę

. Ale wydaje się, że nie dyskutują o uogólnieniu na więcej docelowych kubitów?

α

$\alpha$

— M. Stern

15

Pytanie może nie być do końca dobrze zdefiniowane, w tym sensie, że aby poprosić o sposób obliczenia z rozkładu , musisz określić zestaw bramek, z których chcesz skorzystać. Rzeczywiście, jest to znany wynik, że każdą bramkę kubitową można dokładnie rozłożyć za pomocą operacji i pojedynczego kubita, tak że naiwna odpowiedź na pytanie brzmiałaby: po prostu rozłóż za pomocą pojedynczego kubita i . $C(U)$ $U$ $n$ $\text{CNOT}$ $C(U)$ $\text{CNOT}$

Inna interpretacja mowa jest następujący: podany , i może obliczyć przy użyciu zestawu operacji pojedynczej qubitu i a nie na qubitu sterowania i s dla sterowania jest pierwszym qubit? Można to zrobić uogólniając wynik znaleziony w rozdziale czwartym Nielsen i Chuang . $U$ $C(U)$ $\text{CNOT}$ $\text{CNOT}$

Niech będzie bramą jednububitową. Można następnie udowodnić, że można zawsze zapisać jako , gdzie jest bramą Pauli X, a i są operacjami pojedynczego kubita, tak że ( dowód na N&C). Wynika z tego, że $U$ $U$ $U = e^{i\alpha} AXBXC$ $X$ $A, B$ $C$ $ABC=I$ gdzie jest faza bramki doprowadzanego do pierwszego qubitu i są zastosowane do drugiego kubita. Jest to natychmiastowe, gdy zdasz sobie sprawę, że jeśli ten pierwszy kubit jest , a

C (U) = Φ_{1} (α) A_{2} C (X) B_{2} C (X) C_{2},

$C(U)=\Phi_1(\alpha)A_2C(X)B_2C(X) C_2,$

Φ_{1} (α) \equiv (\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i α} \end{matrix}) \otimes I

$\Phi_1(\alpha)\equiv\begin{pmatrix}1&0\\0&e^{i\alpha}\end{pmatrix}\otimes I$

A_{2}, B_{2}, C_{2}

$A_2, B_2, C_2$

A, B, C

$A, B, C$

| 0 ⟩

$|0\rangle$

C (X)

$C(X)$ staje się tożsamością, a na drugim kubicie masz operacje

, które dają tożsamość. Z drugiej strony, jeśli pierwszym kubitem jest

, a następnie na drugiej szynie trzeba

, która (razem z fazą) jest równa

definicji.

A B C

$ABC$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

A X B X C

$AXBXC$

U

$U$

Powyższy rozkład można wykorzystać do znalezienia naiwnego sposobu obliczania dla ogólnej jednolitej bramki kubit. Nasuwa się, że jeżeli dla każdego zestawu zastawek , a następnie $C(U)$ $n$ $U=A_1 A_2\cdots A_m$ $\{A_1,..,A_m\}$ Ale wiemy również, że każdy kubit może zostać rozłożony pod względem CNOT i operacji na pojedynczy kubit. Wynika z tego, że jest sekwencją operacji CCNOT i , gdzie CCNOT jest tutajbramą stosowaną do niektórych kubitów uwarunkowanych dwoma kubitami będącymi i to działanie pojedynczego qubit w niektórych qubitu. Ale znowu, każda operacja CCNOT (zwana takżeToffoli), może zostać rozłożona, jak pokazano na Rycinie 4.9 w N&C i

C (U) = C (A_{1}) C (A_{2}) \dots C (A_{m}) .

$C(U)=C(A_1)C(A_2)\cdots C(A_m).$

n

$n$

U

$U$

C (U)

$C(U)$

C (V)

$C(V)$

X

$X$

| 1 ⟩

$|1\rangle$

V

$V$

C (V)

$C(V)$ są rozkładane, jak pokazano w pierwszej części odpowiedzi.

$n$ $U$ $\text{CNOT}$

— glS
źródło

U = A_{1} A_{2} \dots A_{m}

$U=A_1 A_2 \dots A_m$

C (X)

$C(X)$

A_{i}

$A_i$

C (A_{i})

$C(A_i)$

C (X)

$C(X)$

U

$U$

C (X)

$C(X)$

C (X)_{i j}

$C(X)_{ij}$

i

$i$

j

$j$

i, j > 1

$i, j>1$

C (U)

$C(U)$

i

$i$

j

$j$

5

Chociaż może to nie odpowiedzieć całkowicie na twoje pytanie, myślę, że może to dać pewien kierunek myślenia. Oto dwa ważne fakty:

$2^{n}\times 2^{n}$ $M$ $n$
$U$ $2\times 2$ $\text{tr } U \neq 0$ $\text{tr} (UX) \neq 0$ $\text{det } U \neq 1$ $U$

$n\times n$

1 Bramki elementarne do obliczeń kwantowych-A. Barenco (Oxford), CH Bennett (IBM), R. Cleve (Calgary), DP DiVincenzo (IBM), N. Margolus (MIT), P. Shor (AT&T), T. Sleator (NYU), J. Smolin (UCLA ), H. Weinfurter (Innsbruck)

2 optymalne realizacje kontrolowanych bram jednostronnych - Guang Song, Andreas Klappenecker (Texas A&M University)

— Sanchayan Dutta
źródło