Biorąc pod uwagę rozkład dla jednolitego


13

Załóżmy, że mamy rozkład obwodu jednostkowego za pomocą jakiegoś uniwersalnego zestawu bramek (na przykład bramek CNOT i pojedynczych kubitów jednolitych). Czy istnieje bezpośredni sposób na zapisanie obwodu odpowiedniego kontrolowanego jednolitego C U przy użyciu tego samego uniwersalnego zestawu bram?UCU

Na przykład weźmy , jako obwód:U=iY=HXHX
obwód dla U

Możemy zastąpić bramki bramkami C X (CNOT), aby uzyskać C U :XCXCU
obwód dla CU

Działa to, ponieważ qubit kontroli jest w stanie akcja na celu to H 2 = I , natomiast dla | 1 dotyczy obwód U . Dla różnych U , w szczególności jeśli działa na kilka kubitów, wymyślenie takiego obwodu może być kłopotliwe. Czy istnieje przepis na uzyskanie obwodu C U, biorąc pod uwagę, że wiesz, jak zbudować U ?|0H2=I|1UUCUU


pytasz, jak zbudować CU z arbitralnego U-qubitu? Metodę na to można znaleźć w rozdziale 4 N&C (patrz np. Rysunek 4.6 w ostatnim wydaniu), która jest w zasadzie uogólnieniem
pokazanego

@glS och wow, nie byłem tego świadomy. Wygląda dokładnie jak mój przykład. Dobrze jest zobaczyć, jak realizuje fazę . Ale wydaje się, że nie dyskutują o uogólnieniu na więcej docelowych kubitów? α
M. Stern

Odpowiedzi:


15

Pytanie może nie być do końca dobrze zdefiniowane, w tym sensie, że aby poprosić o sposób obliczenia z rozkładu U , musisz określić zestaw bramek, z których chcesz skorzystać. Rzeczywiście, jest to znany wynik, że każdą bramkę n- kubitową można dokładnie rozłożyć za pomocą operacji CNOT i pojedynczego kubita, tak że naiwna odpowiedź na pytanie brzmiałaby: po prostu rozłóż C ( U ) za pomocą pojedynczego kubita i CNOT .C(U)UnCNOTC(U)CNOT

Inna interpretacja mowa jest następujący: podany , i może obliczyć C ( U ), przy użyciu zestawu operacji pojedynczej qubitu i CNOT a nie na qubitu sterowania i CNOT s dla sterowania jest pierwszym qubit? Można to zrobić uogólniając wynik znaleziony w rozdziale czwartym Nielsen i Chuang .UC(U)CNOTCNOT

Niech będzie bramą jednububitową. Można następnie udowodnić, że U można zawsze zapisać jako U = e i α A X B X C , gdzie X jest bramą Pauli X, a A , B i C są operacjami pojedynczego kubita, tak że A B C = I ( dowód na N&C). Wynika z tego, że C ( U ) = Φ 1 ( α ) A 2 C ( X ) BUUU=eiαAXBXCXA,BCABC=I gdzie Φ 1 ( α ) ( 1 0 0 e i α )że jest faza bramki doprowadzanego do pierwszego qubitu i 2 , B 2 , C 2 , B , C, zastosowane do drugiego kubita. Jest to natychmiastowe, gdy zdasz sobie sprawę, że jeśli ten pierwszy kubit jest | 0 , a C ( X )

C(U)=Φ1(α)A2C(X)B2C(X)C2,
Φ1(α)(100eiα)IA2,B2,C2A,B,C|0C(X)staje się tożsamością, a na drugim kubicie masz operacje , które dają tożsamość. Z drugiej strony, jeśli pierwszym kubitem jest | 1 , a następnie na drugiej szynie trzeba x B x C , która (razem z fazą) jest równa U definicji.ABC|1AXBXCU

Powyższy rozkład można wykorzystać do znalezienia naiwnego sposobu obliczania dla ogólnej jednolitej bramki n- kubit. Nasuwa się, że jeżeli U = 1 2m dla każdego zestawu zastawek { A 1 , . . , A m } , a następnie C ( U ) = C ( A 1 ) C ( A 2 ) C ( A m )C(U)nU=A1A2Am{A1,..,Am} Ale wiemy również, że każdy n- kubit U może zostać rozłożony pod względem CNOT i operacji na pojedynczy kubit. Wynika z tego, że C ( U ) jest sekwencją operacji CCNOT i C ( V ) , gdzie CCNOT jest tutajbramą X stosowaną do niektórych kubitów uwarunkowanych dwoma kubitami będącymi | 1 i V to działanie pojedynczego qubit w niektórych qubitu. Ale znowu, każda operacja CCNOT (zwana takżeToffoli), może zostać rozłożona, jak pokazano na Rycinie 4.9 w N&C i C ( V )

C(U)=C(A1)C(A2)C(Am).
nUC(U)C(V)X|1VC(V) są rozkładane, jak pokazano w pierwszej części odpowiedzi.

nUCNOT


U=A1A2AmC(X)AiC(Ai)C(X)

UC(X)C(X)ijiji,j>1C(U)ij

5

Chociaż może to nie odpowiedzieć całkowicie na twoje pytanie, myślę, że może to dać pewien kierunek myślenia. Oto dwa ważne fakty:

  • 2n×2nMn

  • U2×2tr U0tr(UX)0det U1U

n×n


1 Bramki elementarne do obliczeń kwantowych-A. Barenco (Oxford), CH Bennett (IBM), R. Cleve (Calgary), DP DiVincenzo (IBM), N. Margolus (MIT), P. Shor (AT&T), T. Sleator (NYU), J. Smolin (UCLA ), H. Weinfurter (Innsbruck)

2 optymalne realizacje kontrolowanych bram jednostronnych - Guang Song, Andreas Klappenecker (Texas A&M University)

Korzystając z naszej strony potwierdzasz, że przeczytałeś(-aś) i rozumiesz nasze zasady używania plików cookie i zasady ochrony prywatności.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.