( Uczciwość i integralność matematyczna - biorąc pod uwagę liczbę głosów na tę „odpowiedź” - skłoniły mnie do zredagowania tej odpowiedzi. Wstrzymałem się tak długo, jak to możliwe, ponieważ miała ona służyć jako krótki żart, a nie jakkolwiek „głęboka” wszelkie wyjaśnienia wydawały się sprzeczne z celem. Jednak komentarze wyjaśniają, że powinienem być jasny, aby uniknąć nieporozumień ).
Moja oryginalna odpowiedź:
Treść tej części specyfikacji:
Jeśli wynosi 0, chcę ustawić go na 1, w przeciwnym razie ustaw go na 0.
oznacza, że najdokładniejszym rozwiązaniem jest:
v = dirac_delta(0,v)
Po pierwsze, wyznanie: I nie dostać moje funkcje delta mylić. Delta Kroneckera byłaby nieco bardziej odpowiednia, ale nie tak bardzo, jak chciałem czegoś niezależnego od domeny (delta Kroneckera jest używana głównie dla liczb całkowitych). Ale tak naprawdę nie powinienem był w ogóle używać funkcji delta, powinienem powiedzieć:
v = characteristic_function({0},v)
Pozwól mi wyjaśnić. Przypomnijmy, że funkcja jest potrójne, (X, Y, F) , gdzie X i Y są zestawy (zwanej domeną i codomain r) i f jest to regułą, że wyznacza pewien element Y każdego elementu X . Często napisać potrójne (X, Y, F) jako f: X → Y . Biorąc pod uwagę podzbiór X , powiedzmy A , istnieje funkcja charakterystyczna, która jest funkcją χ A : X → {0,1}(można to również traktować jako funkcję większej kodomainy, takiej jak ℕ lub ℝ). Ta funkcja jest zdefiniowana przez regułę:
χ (x) = 1 jeśli x ∈ A i χ (x) = 0 , jeżeli x ∉ .
Jeśli podoba Ci się tablica prawdy, to tabela prawda na pytanie „Czy element x od X elementem podzbioru A ?”.
Zatem z tej definicji jasno wynika, że potrzebna jest tutaj funkcja charakterystyczna, z X jakimś dużym zestawem zawierającym 0 i A = {0} . Tak powinienem był napisać.
I tak do funkcji delta. W tym celu musimy wiedzieć o integracji. Albo już to wiesz, albo nie. Jeśli nie, nic, co mogę tu powiedzieć, nie mówi o zawiłościach teorii, ale mogę streścić jedno zdanie. Środek na zbiorze X jest w istocie „to, co jest potrzebne, aby oglądalność pracę”. To znaczy, że jeśli mamy zbiór X i miarę μ na tym zbiorze, to istnieje klasa funkcji X → ℝ , zwanych funkcjami mierzalnymi, dla których wyrażenie ∫ X f dμ ma sens i jest, w pewnym sensie niejasnym, „średni” z f nad X .
Biorąc pod uwagę miarę na zestawie, można zdefiniować „miarę” dla podzbiorów tego zestawu. Odbywa się to poprzez przypisanie do podzbioru całki jego funkcji charakterystycznej (przy założeniu, że jest to funkcja mierzalna). Może to być nieskończone lub niezdefiniowane (oba są subtelnie różne).
Wokół jest wiele środków, ale tutaj są dwa ważne. Jednym z nich jest standardowa miara na linii rzeczywistej ℝ. W tym przypadku ∫ ℝ f dμ jest właściwie tym, czego uczysz się w szkole (czy rachunek wciąż jest nauczany w szkołach?): Zsumuj małe prostokąty i przyjmuj coraz mniejsze szerokości. W tej mierze miarą przedziału jest jego szerokość. Miara punktu wynosi 0.
Inną ważną miarą, która działa na dowolnym zestawie, jest tak zwana miara punktowa . Jest on zdefiniowany w taki sposób, że całka funkcji jest sumą jej wartości:
∫ X f dμ = ∑ x ∈X f (x)
Ta miara przypisuje do każdego zestawu singletonów miarę 1. Oznacza to, że podzbiór ma miarę skończoną wtedy i tylko wtedy, gdy sam jest skończony. I bardzo niewiele funkcji ma całkę skończoną. Jeśli funkcja ma całkę skończoną, musi być niezerowa tylko na policzalnej liczbie punktów. Tak więc ogromna większość funkcji, które prawdopodobnie znasz, nie ma skończonej całki w ramach tej miary.
A teraz funkcje delta. Weźmy bardzo szeroką definicję. Mamy wymierną przestrzeń (X, μ) (tak, to zestaw z miarą na nim) i element a ∈ X . „Definiujemy” funkcję delta (w zależności od a ), aby była „funkcją” δ a : X → ℝ z właściwością, że δ a (x) = 0, jeśli x ≠ a i ∫ X δ a dμ = 1 .
Najważniejszym faktem, który należy wziąć pod uwagę, jest to: funkcja delta nie musi być funkcją . To jest nie poprawnie zdefiniowane: Nie powiedziałem co Æ (a) jest.
To, co robisz w tym momencie, zależy od tego, kim jesteś. Świat tutaj dzieli się na dwie kategorie. Jeśli jesteś matematykiem, mówisz:
Okej, więc funkcja delta może nie zostać zdefiniowana. Spójrzmy na jego hipotetyczne właściwości i zobaczmy, czy możemy znaleźć dla niego odpowiedni dom, w którym jest zdefiniowany. Możemy to zrobić i skończymy z dystrybucjami . Nie są to (koniecznie) funkcje, ale rzeczy, które zachowują się trochę jak funkcje i często możemy z nimi pracować tak, jakby były funkcjami; ale są pewne rzeczy, których nie mają (takie jak „wartości”), dlatego musimy być ostrożni.
Jeśli nie jesteś matematykiem, powiedz:
Okej, więc funkcja delta może nie być poprawnie zdefiniowana. Kto tak mówi? Grono matematyków? Ignoruj ich! Co oni wiedzą
Obrażając teraz moją publiczność, będę kontynuować.
Diraca delta zazwyczaj przyjmuje się, że funkcja delta punktu (często 0) w prostej ze standardowego środka. Więc ci, którzy narzekają w komentarzach na mój temat, nie znając moich delt, robią to, ponieważ używają tej definicji. Przepraszam: chociaż mogę się z tego wywinąć, korzystając z obrony Matematyka (spopularyzowanej przez Humpty'ego Dumpty'ego : po prostu przedefiniuj wszystko, aby było poprawne), ale złym sposobem jest użycie standardowego terminu na oznaczenie czegoś innego.
Ale jest funkcja delta, która robi to, co chcę, i jest to, czego potrzebuję tutaj. Jeśli biorę środka punkt w zbiorze X to nie jest prawdziwym funkcja δ a : X → ℝ , która spełnia kryteria dla funkcji delta. Wynika to z faktu, że szukamy funkcji X → ℝ, która jest równa zero, z wyjątkiem a i takiej, że suma wszystkich jej wartości wynosi 1. Taka funkcja jest prosta: jedyną brakującą informacją jest jej wartość przy a , i aby otrzymać sumę równą 1, po prostu przypisujemy jej wartość 1. Jest to nic innego jak funkcja charakterystyczna na {a} . Następnie:
∫ X δ a dμ = ∑ x ∈ X δ a (x) = δ a (a) = 1.
Tak więc w tym przypadku dla zestawu singletonowego funkcja charakterystyczna i funkcja delta są zgodne.
Podsumowując, istnieją tutaj trzy rodziny „funkcji”:
- Charakterystyczne funkcje zbiorów singletonów,
- Funkcje delta,
- Funkcje delty Kroneckera.
Drugi z nich jest najbardziej ogólnym, jak każdy z pozostałych jest przykładem nim przy użyciu środka punktową. Ale pierwsza i trzecia mają tę zaletę, że są to zawsze oryginalne funkcje. Trzeci jest w rzeczywistości szczególnym przypadkiem pierwszego, dla konkretnej rodziny domen (liczb całkowitych lub niektórych ich podzbiorów).
Wreszcie, kiedy pierwotnie napisałem odpowiedź, nie myślałem poprawnie (nie posunąłem się nawet do stwierdzenia, że byłem zdezorientowany , ponieważ mam nadzieję, że właśnie pokazałem, że wiem o czym mówię, kiedy Właściwie to najpierw myślę, po prostu niewiele myślałem). Zwykłe znaczenie delty diraca nie jest tutaj potrzebne, ale jednym z punktów mojej odpowiedzi było to, że domena wejściowa nie została zdefiniowana, więc delta Kroneckera również nie miałaby racji. Zatem najlepszą odpowiedzią matematyczną (do której dążyłem) byłaby funkcja charakterystyczna .
Mam nadzieję, że to wszystko jasne; i mam również nadzieję, że już nigdy nie będę musiał pisać matematyki używając encji HTML zamiast makr TeX!