Pod względem mechanicznym przyjęta odpowiedź jest oczywiście poprawna, ale uważam, że można udzielić głębszej odpowiedzi.
Po pierwsze, warto wyjaśnić pytanie, tak jak robi to @PeterCordes w komentarzu: „Czy istnieje tożsamość multiplikatywna dla liczb zespolonych, która działa na inf + 0j?” lub innymi słowy, jest tym, co OP widzi słabość w implementacji komputerowej złożonego mnożenia lub czy jest coś koncepcyjnie niewłaściwego zinf+0j
Krótka odpowiedź:
Używając współrzędnych biegunowych, możemy zobaczyć złożone mnożenie jako skalowanie i obrót. Obracając nieskończone „ramię” nawet o 0 stopni, jak w przypadku pomnożenia przez jeden, nie możemy oczekiwać, że umieścimy jego końcówkę ze skończoną precyzją. Tak więc, rzeczywiście, jest coś zasadniczo nie w porządku inf+0j, a mianowicie, że gdy tylko osiągniemy nieskończoność, skończone przesunięcie staje się bez znaczenia.
Długa odpowiedź:
Tło: „Wielką rzeczą”, wokół której obraca się to pytanie, jest kwestia rozszerzenia systemu liczb (myśl o liczbach rzeczywistych lub zespolonych). Jednym z powodów, dla których ktoś mógłby chcieć to zrobić, jest dodanie jakiejś koncepcji nieskończoności lub „ujednolicenie”, jeśli ktoś jest matematykiem. Są też inne powody ( https://en.wikipedia.org/wiki/Galois_theory , https://en.wikipedia.org/wiki/Non-standard_analysis ), ale nie jesteśmy nimi zainteresowani.
Zagęszczanie w jednym punkcie
Problem z takim rozszerzeniem polega oczywiście na tym, że chcemy, aby te nowe liczby pasowały do istniejącej arytmetyki. Najprostszym sposobem jest dodanie pojedynczego elementu w nieskończoności ( https://en.wikipedia.org/wiki/Alexandroff_extension ) i uczynienie go równym wszystkim innym niż zero podzielone przez zero. Działa to w przypadku liczb rzeczywistych ( https://en.wikipedia.org/wiki/Projectively_extended_real_line ) i liczb zespolonych ( https://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_sphere ).
Inne rozszerzenia ...
Chociaż jednopunktowe zagęszczenie jest proste i matematycznie poprawne, poszukiwano „bogatszych” rozszerzeń obejmujących wiele infintiesów. Standard IEEE 754 dla rzeczywistych liczb zmiennoprzecinkowych ma + inf i -inf ( https://en.wikipedia.org/wiki/Extended_real_number_line ). Wygląda naturalnie i prosto, ale już zmusza nas do skakania przez obręcze i wymyślania rzeczy takich jak -0 https://en.wikipedia.org/wiki/Signed_zero
... złożonej płaszczyzny
A co z więcej niż jednym rozszerzeniem inf płaszczyzny złożonej?
W komputerach liczby zespolone są zwykle implementowane przez sklejenie dwóch liczb rzeczywistych fp, jednej dla części rzeczywistej i jednej dla części urojonej. To jest w porządku, o ile wszystko jest skończone. Jednak gdy tylko uważa się, że nieskończoności sprawy stają się trudne.
Płaszczyzna zespolona ma naturalną symetrię obrotową, która dobrze łączy się ze złożoną arytmetyką, ponieważ pomnożenie całej płaszczyzny przez e ^ phij jest tym samym, co obrót fi radianu wokół 0.
Ta rzecz z załącznika G.
Teraz, aby wszystko było proste, złożone fp po prostu używa rozszerzeń (+/- inf, nan itd.) Podstawowej implementacji liczb rzeczywistych. Ten wybór może wydawać się tak naturalny, że nie jest nawet postrzegany jako wybór, ale przyjrzyjmy się bliżej, co on oznacza. Prosta wizualizacja tego przedłużenia płaszczyzny zespolonej wygląda następująco (I = nieskończony, f = skończony, 0 = 0)
I IIIIIIIII I
I fffffffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I ffff0ffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I fffffffff I
I IIIIIIIII I
Ale ponieważ prawdziwa złożona płaszczyzna to taka, która uwzględnia złożone mnożenie, projekcja byłaby bardziej pouczająca
III
I I
fffff
fffffff
fffffffff
I fffffffff I
I ffff0ffff I
I fffffffff I
fffffffff
fffffff
fffff
I I
III
W tej projekcji widzimy „nierównomierny rozkład” nieskończoności, który jest nie tylko brzydki, ale także źródłem problemów tego rodzaju, na jakie cierpiał OP: większość nieskończoności (tych z form (+/- inf, skończona) i (skończona, + / -inf) są skupione razem w czterech głównych kierunkach, wszystkie inne kierunki są reprezentowane przez tylko cztery nieskończoności (+/- inf, + -inf). Nie powinno dziwić, że rozszerzenie złożonego mnożenia na tę geometrię jest koszmarem .
Załącznik G specyfikacji C99 dokłada wszelkich starań, aby działał, w tym naginając zasady dotyczące sposobu infi naninterakcji (zasadniczo infatuty nan). Problem OP jest omijany przez nie promowanie rzeczywistych i proponowany typ czysto urojony na złożony, ale fakt, że prawdziwe 1 zachowuje się inaczej niż złożone 1, nie wydaje mi się rozwiązaniem. Co znamienne, w załączniku G brakuje pełnego określenia, jaki powinien być iloczyn dwóch nieskończoności.
Czy możemy zrobić lepiej?
Kusi, aby spróbować rozwiązać te problemy, wybierając lepszą geometrię nieskończoności. Analogicznie do wydłużonej linii rzeczywistej moglibyśmy dodać jedną nieskończoność dla każdego kierunku. Ta konstrukcja jest podobna do płaszczyzny rzutowej, ale nie skupia się w przeciwnych kierunkach. Nieskończoności byłyby reprezentowane we współrzędnych biegunowych inf xe ^ {2 omega pi i}, definiowanie iloczynów byłoby proste. W szczególności problem OP zostałby rozwiązany w sposób dość naturalny.
Ale na tym kończy się dobra wiadomość. W pewnym sensie możemy cofnąć się do punktu wyjścia jeden przez - nie bez powodu - wymaganie, aby nasze nieskończoności nowego stylu obsługiwały funkcje, które wydobywają ich rzeczywiste lub urojone części. Dodawanie to kolejny problem; dodając dwie nieantypodalne nieskończoności, musielibyśmy ustawić kąt na niezdefiniowany, tj. nan(można argumentować, że kąt musi leżeć między dwoma kątami wejściowymi, ale nie ma prostego sposobu na przedstawienie tej „częściowej nan-ności”)
Riemann na ratunek
W świetle tego wszystkiego być może stare dobre jednopunktowe zagęszczanie jest najbezpieczniejszą rzeczą do zrobienia. Być może autorzy Aneksu G czuli to samo, przypisując funkcję, cprojktóra łączy w sobie wszystkie nieskończoności.
Oto pokrewne pytanie, na które odpowiedziały osoby bardziej kompetentne w tej dziedzinie niż ja.
