Pojęcie notacji interwałowej pojawia się zarówno w matematyce, jak i informatyce. Oznaczenie matematyczne [, ], (, )oznacza domenę (lub zakresu ) w odstępie.
Nawiasy [i ]oznaczają:
- Numer jest wliczony w cenę ,
- Ta strona przedziału jest zamknięta ,
Nawias (i )oznacza:
- Liczba jest wykluczona ,
- Ta strona przedziału jest otwarta .
Przedział ze stanami mieszanymi nazywany jest „półotwartym” .
Na przykład zakres kolejnych liczb całkowitych od 1 do 10 (włącznie) byłby zapisany jako taki:
Zwróć uwagę, jak inclusivezostało użyte to słowo . Jeśli chcemy wykluczyć punkt końcowy, ale „zakryć” ten sam zakres, musimy przesunąć punkt końcowy:
Zarówno dla lewej, jak i prawej krawędzi przedziału są w rzeczywistości 4 permutacje:
(1,10) = 2,3,4,5,6,7,8,9 Set has 8 elements
(1,10] = 2,3,4,5,6,7,8,9,10 Set has 9 elements
[1,10) = 1,2,3,4,5,6,7,8,9 Set has 9 elements
[1,10] = 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 Set has 10 elements
Jak to się ma do matematyki i informatyki?
Indeksy tablic mają tendencję do używania różnych przesunięć w zależności od tego, w którym polu się znajdujesz:
- Matematyka jest oparta na jednej zasadzie.
- Niektóre języki programowania są zwykle oparte na zerach , na przykład C, C ++, Javascript, Python, podczas gdy inne języki, takie jak Mathematica, Fortran, Pascal, są oparte na jedynce.
Różnice te mogą prowadzić do subtelnych błędów słupków ogrodzenia , czyli błędów typu off-by-one podczas implementowania algorytmów matematycznych, takich jak pętle for.
Liczby całkowite
Jeśli mamy zbiór lub tablicę, powiedzmy kilku pierwszych liczb pierwszych [ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ], matematycy określiliby pierwszy element jako element 1st absolutny . tj. Używanie notacji z indeksem dolnym do oznaczenia indeksu:
- a 1 = 2
- a 2 = 3
- :
- a 10 = 29
W przeciwieństwie do tego niektóre języki programowania odwoływałyby się do pierwszego elementu jako elementu zero'th względnego .
- a [0] = 2
- a [1] = 3
- :
- a [9] = 29
Ponieważ indeksy tablicy znajdują się w zakresie [0, N-1], wówczas dla przejrzystości byłoby „miło” zachować tę samą wartość liczbową dla zakresu 0 .. N zamiast dodawać szum tekstowy, taki jak -1odchylenie.
Na przykład w C lub JavaScript, aby iterować po tablicy N elementów, programista napisałby wspólny idiom i = 0, i < Nz interwałem [0, N) zamiast nieco bardziej rozwlekłego [0, N-1]:
function main() {
var output = "";
var a = [ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ];
for( var i = 0; i < 10; i++ )
output += "[" + i + "]: " + a[i] + "\n";
if (typeof window === 'undefined')
console.log( output )
else
document.getElementById('output1').innerHTML = output;
}
<html>
<body onload="main();">
<pre id="output1"></pre>
</body>
</html>
Matematycy, ponieważ zaczynają liczyć od 1, zamiast tego i = 1, i <= Nużywaliby nazewnictwa, ale teraz musimy poprawić przesunięcie tablicy w języku zerowym.
na przykład
function main() {
var output = "";
var a = [ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ];
for( var i = 1; i <= 10; i++ )
output += "[" + i + "]: " + a[i-1] + "\n";
if (typeof window === 'undefined')
console.log( output )
else
document.getElementById( "output2" ).innerHTML = output;
}
<html>
<body onload="main()";>
<pre id="output2"></pre>
</body>
</html>
Poza :
W języków programowania, które są oparte na 0 może trzeba kludge manekina zero'th elementu do wykorzystania algorytmu matematycznego opartego 1. np. Python Index Start
Liczba zmiennoprzecinkowa
Notacja interwałowa jest również ważna w przypadku liczb zmiennoprzecinkowych, aby uniknąć drobnych błędów.
Gdy mamy do czynienia z liczbami zmiennoprzecinkowymi, szczególnie w grafice komputerowej (konwersja kolorów, geometria obliczeniowa, łagodzenie / mieszanie animacji itp.), Często używane są liczby znormalizowane. Oznacza to, że liczby od 0,0 do 1,0.
Ważne jest, aby znać przypadki skrajne, jeśli punkty końcowe są włączające lub wyłączające :
- (0,1) = 1e-M .. 0,999 ...
- (0,1] = 1e-M .. 1,0
- [0,1) = 0,0… 0,999…
- [0,1] = 0,0… 1,0
Gdzie M jest jakąś maszyną epsilon . Dlatego czasami możesz zobaczyć const float EPSILON = 1e-#idiom w kodzie C (na przykład 1e-6) dla 32-bitowej liczby zmiennoprzecinkowej. To TAK pytanie Czy firma EPSILON coś gwarantuje? zawiera wstępne szczegóły. Bardziej wyczerpująca odpowiedź znajduje się w FLT_EPSILONksiążce Co każdy informatyk powinien wiedzieć o arytmetyce zmiennoprzecinkowej oraz w książce Davida Goldberga
Niektóre implementacje generatora liczb losowych random()mogą generować wartości z zakresu 0,0… 0,999… zamiast wygodniejszego 0,0… 1,0. Odpowiednie komentarze w kodzie udokumentują to jako [0.0,1.0) lub [0.0,1.0], więc nie ma niejednoznaczności co do użycia.
Przykład:
- Chcesz generować
random()kolory. Konwertujesz trzy wartości zmiennoprzecinkowe na wartości 8-bitowe bez znaku, aby wygenerować 24-bitowy piksel odpowiednio z kanałami czerwonym, zielonym i niebieskim. W zależności od przedziału czasu wyjściowego random()może zakończyć się near-white(254,254,254) lub white(255,255,255).
+--------+-----+
|random()|Byte |
|--------|-----|
|0.999...| 254 | <-- error introduced
|1.0 | 255 |
+--------+-----+
Aby uzyskać więcej informacji na temat precyzji i niezawodności zmiennoprzecinkowej z interwałami, zobacz Wykrywanie kolizji w czasie rzeczywistym Christera Ericsona , Rozdział 11 Odporność numeryczna , Rozdział 11.3 Solidne użycie zmiennoprzecinkowe .
[first, last)jest półotwartym odstępem, jak zauważyli inni. W niektórych podręcznikach jest to również napisane[first, last>i ma dokładnie to samo znaczenie, tylko składnia jest inna.