Średnia z 3 długich liczb całkowitych

Mam 3 bardzo duże liczby całkowite ze znakiem.

long x = long.MaxValue;
long y = long.MaxValue - 1;
long z = long.MaxValue - 2;

Chcę obliczyć ich średnią obciętą. Oczekiwana średnia wartość to long.MaxValue - 1, czyli 9223372036854775806.

Nie da się tego obliczyć jako:

long avg = (x + y + z) / 3; // 3074457345618258600

Uwaga: czytałem wszystkie te pytania dotyczące średniej z 2 liczb, ale nie widzę, jak można zastosować tę technikę do średniej z 3 liczb.

Byłoby to bardzo łatwe przy użyciu BigInteger, ale załóżmy, że nie mogę go użyć.

BigInteger bx = new BigInteger(x);
BigInteger by = new BigInteger(y);
BigInteger bz = new BigInteger(z);
BigInteger bavg = (bx + by + bz) / 3; // 9223372036854775806

Jeśli przejdę na double, to oczywiście stracę precyzję:

double dx = x;
double dy = y;
double dz = z;
double davg = (dx + dy + dz) / 3; // 9223372036854780000

Jeśli przejdę na decimal, to działa, ale załóżmy też, że nie mogę go używać.

decimal mx = x;
decimal my = y;
decimal mz = z;
decimal mavg = (mx + my + mz) / 3; // 9223372036854775806

Pytanie: Czy można obliczyć obciętą średnią z 3 bardzo dużych liczb całkowitych tylko przy użyciu longtypu? Nie traktuj tego pytania jako specyficznego dla języka C #, po prostu łatwiej jest mi podać próbki w języku C #.

Ten kod będzie działał, ale nie jest taki ładny.

Najpierw dzieli wszystkie trzy wartości (piętro wartości, więc „tracisz” resztę), a następnie dzieli resztę:

long n = x / 3
         + y / 3
         + z / 3
         + ( x % 3
             + y % 3
             + z % 3
           ) / 3

Zauważ, że powyższa próbka nie zawsze działa poprawnie, gdy ma jedną lub więcej wartości ujemnych.

Jak omówiono z Ulugbekiem, ponieważ liczba komentarzy eksploduje poniżej, oto obecne NAJLEPSZE rozwiązanie zarówno dla wartości dodatnich, jak i ujemnych.

Dzięki odpowiedziom i komentarzom Ulugbeka Umirova , Jamesa S , KevinZa , Marca van Leeuwena , gnasher729 jest to aktualne rozwiązanie:

static long CalculateAverage(long x, long y, long z)
{
    return (x % 3 + y % 3 + z % 3 + 6) / 3 - 2
            + x / 3 + y / 3 + z / 3;
}

static long CalculateAverage(params long[] arr)
{
    int count = arr.Length;
    return (arr.Sum(n => n % count) + count * (count - 1)) / count - (count - 1)
           + arr.Sum(n => n / count);
}

NB - Patrick udzielił już świetnej odpowiedzi . Rozwijając to, możesz zrobić ogólną wersję dla dowolnej liczby liczb całkowitych, takich jak:

long x = long.MaxValue;
long y = long.MaxValue - 1;
long z = long.MaxValue - 2;

long[] arr = { x, y, z };
var avg = arr.Select(i => i / arr.Length).Sum() 
        + arr.Select(i => i % arr.Length).Sum() / arr.Length;

Patrick Hofman opublikował świetne rozwiązanie . Ale w razie potrzeby można go nadal wdrożyć na kilka innych sposobów. Korzystając z algorytmu tutaj mam inne rozwiązanie. Jeśli zostanie starannie wdrożony, może być szybszy niż wiele podziałów w systemach z powolnymi dzielnikami sprzętowymi. Można go dodatkowo zoptymalizować, korzystając z techniki dzielenia przez stałe z zachwytu hakera

public class int128_t {
    private int H;
    private long L;

    public int128_t(int h, long l)
    {
        H = h;
        L = l;
    }

    public int128_t add(int128_t a)
    {
        int128_t s;
        s.L = L + a.L;
        s.H = H + a.H + (s.L < a.L);
        return b;
    }

    private int128_t rshift2()  // right shift 2
    {
        int128_t r;
        r.H = H >> 2;
        r.L = (L >> 2) | ((H & 0x03) << 62);
        return r;
    }

    public int128_t divideby3()
    {
        int128_t sum = {0, 0}, num = new int128_t(H, L);
        while (num.H || num.L > 3)
        {
            int128_t n_sar2 = num.rshift2();
            sum = add(n_sar2, sum);
            num = add(n_sar2, new int128_t(0, num.L & 3));
        }

        if (num.H == 0 && num.L == 3)
        {
            // sum = add(sum, 1);
            sum.L++;
            if (sum.L == 0) sum.H++;
        }
        return sum; 
    }
};

int128_t t = new int128_t(0, x);
t = t.add(new int128_t(0, y));
t = t.add(new int128_t(0, z));
t = t.divideby3();
long average = t.L;

W C / C ++ na platformach 64-bitowych jest to znacznie łatwiejsze dzięki __int128

int64_t average = ((__int128)x + y + z)/3;

Możesz obliczyć średnią liczb na podstawie różnic między liczbami, a nie na podstawie sumy.

Powiedzmy, że x to maksimum, y to mediana, z to min (tak jak masz). Nazwiemy je max, medianą i min.

Sprawdzanie warunkowe dodane zgodnie z komentarzem @ UlugbekUmirov:

long tmp = median + ((min - median) / 2);            //Average of min 2 values
if (median > 0) tmp = median + ((max - median) / 2); //Average of max 2 values
long mean;
if (min > 0) {
    mean = min + ((tmp - min) * (2.0 / 3)); //Average of all 3 values
} else if (median > 0) {
    mean = min;
    while (mean != tmp) {
        mean += 2;
        tmp--;
    }
} else if (max > 0) {
    mean = max;
    while (mean != tmp) {
        mean--;
        tmp += 2;
    }
} else {
    mean = max + ((tmp - max) * (2.0 / 3));
}

Ponieważ C używa dzielenia zmiennoprzecinkowego zamiast dzielenia euklidesowego, może być łatwiej obliczyć odpowiednio zaokrągloną średnią z trzech wartości bez znaku niż z trzech ze znakiem. Po prostu dodaj 0x8000000000000000UL do każdej liczby przed obliczeniem średniej bez znaku, odejmij ją po wykonaniu wyniku i użyj niezaznaczonego rzutu z powrotem do, Int64aby uzyskać średnią ze znakiem.

Aby obliczyć średnią bez znaku, oblicz sumę pierwszych 32 bitów trzech wartości. Następnie oblicz sumę ostatnich 32 bitów trzech wartości, plus sumę z góry plus jeden [plus jeden daje zaokrąglony wynik]. Średnia wyniesie 0x55555555 razy pierwsza suma plus jedna trzecia drugiej.

Wydajność na procesorach 32-bitowych można zwiększyć, wytwarzając trzy wartości „sumy”, z których każda ma długość 32 bity, tak aby ostateczny wynik to ((0x55555555UL * sumX)<<32) + 0x55555555UL * sumH + sumL/3; można go jeszcze bardziej ulepszyć, zastępując sumL/3go ((sumL * 0x55555556UL) >> 32), chociaż ten drugi zależałby od optymalizatora JIT [mógłby wiedzieć, jak zastąpić dzielenie przez 3 mnożeniem, a jego kod mógłby być w rzeczywistości bardziej wydajny niż jawna operacja mnożenia].

Po poprawieniu rozwiązania Patricka Hofmana z korektą supercat , daję ci co następuje:

static Int64 Avg3 ( Int64 x, Int64 y, Int64 z )
{
    UInt64 flag = 1ul << 63;
    UInt64 x_ = flag ^ (UInt64) x;
    UInt64 y_ = flag ^ (UInt64) y;
    UInt64 z_ = flag ^ (UInt64) z;
    UInt64 quotient = x_ / 3ul + y_ / 3ul + z_ / 3ul
        + ( x_ % 3ul + y_ % 3ul + z_ % 3ul ) / 3ul;
    return (Int64) (quotient ^ flag);
}

I przypadek elementu N:

static Int64 AvgN ( params Int64 [ ] args )
{
    UInt64 length = (UInt64) args.Length;
    UInt64 flag = 1ul << 63;
    UInt64 quotient_sum = 0;
    UInt64 remainder_sum = 0;
    foreach ( Int64 item in args )
    {
        UInt64 uitem = flag ^ (UInt64) item;
        quotient_sum += uitem / length;
        remainder_sum += uitem % length;
    }

    return (Int64) ( flag ^ ( quotient_sum + remainder_sum / length ) );
}

To zawsze daje podłogę () średniej i eliminuje wszystkie możliwe przypadki skrajne.

Możesz wykorzystać fakt, że możesz zapisać każdą z liczb jako y = ax + b, gdzie xjest stałą. Każdy abyłby y / x(całkowita część tego podziału). Każde b byłoby y % x(reszta / modulo tego podziału). Jeśli wybierzesz tę stałą w inteligentny sposób, na przykład wybierając jako stałą pierwiastek kwadratowy z maksymalnej liczby, możesz otrzymać średnią zx liczb bez problemów z przepełnieniem.

Średnią z dowolnej listy liczb można znaleźć, znajdując:

( ( sum( all A's ) / length ) * constant ) + 
( ( sum( all A's ) % length ) * constant / length) +
( ( sum( all B's ) / length )

gdzie %oznacza modulo i/ oznacza „całą” część podziału.

Program wyglądałby mniej więcej tak:

class Program
{
    static void Main()
    {
        List<long> list = new List<long>();
        list.Add( long.MaxValue );
        list.Add( long.MaxValue - 1 );
        list.Add( long.MaxValue - 2 );

        long sumA = 0, sumB = 0;
        long res1, res2, res3;
        //You should calculate the following dynamically
        long constant = 1753413056;

        foreach (long num in list)
        {
            sumA += num / constant;
            sumB += num % constant;
        }

        res1 = (sumA / list.Count) * constant;
        res2 = ((sumA % list.Count) * constant) / list.Count;
        res3 = sumB / list.Count;

        Console.WriteLine( res1 + res2 + res3 );
    }
}

Jeśli wiesz, że masz wartości N, czy możesz po prostu podzielić każdą wartość przez N i zsumować je razem?

long GetAverage(long* arrayVals, int n)
{
    long avg = 0;
    long rem = 0;

    for(int i=0; i<n; ++i)
    {
        avg += arrayVals[i] / n;
        rem += arrayVals[i] % n;
    }

    return avg + (rem / n);
}

Spróbowałem też tego i wymyśliłem szybsze rozwiązanie (choć tylko o współczynnik około 3/4). Używa pojedynczego podziału

public static long avg(long a, long b, long c) {
    final long quarterSum = (a>>2) + (b>>2) + (c>>2);
    final long lowSum = (a&3) + (b&3) + (c&3);
    final long twelfth = quarterSum / 3;
    final long quarterRemainder = quarterSum - 3*twelfth;
    final long adjustment = smallDiv3(lowSum + 4*quarterRemainder);
    return 4*twelfth + adjustment;
}

gdzie smallDiv3jest dzielenie przez 3 przy użyciu mnożenia i działa tylko dla małych argumentów

private static long smallDiv3(long n) {
    assert -30 <= n && n <= 30;
    // Constants found rather experimentally.
    return (64/3*n + 10) >> 6;
}

Oto cały kod, w tym test i benchmark, wyniki nie są imponujące.

Ta funkcja oblicza wynik w dwóch działach. Powinien ładnie uogólniać na inne dzielniki i rozmiary słów.

Działa poprzez obliczenie wyniku dodawania podwójnych słów, a następnie obliczenie podziału.

Int64 average(Int64 a, Int64 b, Int64 c) {
    // constants: 0x10000000000000000 div/mod 3
    const Int64 hdiv3 = UInt64(-3) / 3 + 1;
    const Int64 hmod3 = UInt64(-3) % 3;

    // compute the signed double-word addition result in hi:lo
    UInt64 lo = a; Int64 hi = a>=0 ? 0 : -1;
    lo += b; hi += b>=0 ? lo<b : -(lo>=UInt64(b));
    lo += c; hi += c>=0 ? lo<c : -(lo>=UInt64(c));

    // divide, do a correction when high/low modulos add up
    return hi>=0 ? lo/3 + hi*hdiv3 + (lo%3 + hi*hmod3)/3
                 : lo/3+1 + hi*hdiv3 + Int64(lo%3-3 + hi*hmod3)/3;
}

Math

(x + y + z) / 3 = x/3 + y/3 + z/3

(a[1] + a[2] + .. + a[k]) / k = a[1]/k + a[2]/k + .. + a[k]/k

Kod

long calculateAverage (long a [])
{
    double average = 0;

    foreach (long x in a)
        average += (Convert.ToDouble(x)/Convert.ToDouble(a.Length));

    return Convert.ToInt64(Math.Round(average));
}

long calculateAverage_Safe (long a [])
{
    double average = 0;
    double b = 0;

    foreach (long x in a)
    {
        b = (Convert.ToDouble(x)/Convert.ToDouble(a.Length));

        if (b >= (Convert.ToDouble(long.MaxValue)-average))
            throw new OverflowException ();

        average += b;
    }

    return Convert.ToInt64(Math.Round(average));
}

Spróbuj tego:

long n = Array.ConvertAll(new[]{x,y,z},v=>v/3).Sum()
     +  (Array.ConvertAll(new[]{x,y,z},v=>v%3).Sum() / 3);