Wszyscy wiemy, że 0 ⁰ jest nieokreślone.

Ale , javascript mówi, że:

Math.pow(0, 0) === 1 // true

a C ++ mówi to samo:

pow(0, 0) == 1 // true

CZEMU?

Wiem to:

>Math.pow(0.001, 0.001)
0.9931160484209338

Ale dlaczego nie Math.pow(0, 0)rzuca żadnych błędów? A może NaNbyłoby lepsze niż 1.

W C ++ wynikiem pow (0, 0), wynik jest w zasadzie realizacja zdefiniowane zachowanie ponieważ matematycznie mamy sprzeczne sytuacji, w której N^0powinien być zawsze 1, ale 0^Nzawsze powinien być 0za N > 0, więc nie powinno być żadnych oczekiwań matematycznie co do wyniku tego obaj. Ten post na forum Wolfram Alpha zawiera nieco więcej szczegółów.

Chociaż uzyskanie pow(0,0)wyniku 1jest przydatne w wielu aplikacjach, ponieważ uzasadnienie dla normy międzynarodowej - języki programowania - stwierdza C w sekcji dotyczącej obsługi arytmetyki zmiennoprzecinkowej normy IEC 60559 :

Ogólnie C99 unika wyniku NaN, gdy przydatna jest wartość liczbowa. [...] Wyniki pow (∞, 0) i pow (0,0) wynoszą 1, ponieważ istnieją aplikacje, które mogą wykorzystywać tę definicję. Na przykład, jeśli x (p) i y (p) są dowolnymi funkcjami analitycznymi, które stają się zerowe przy p = a, to pow (x, y), które jest równe exp (y * log (x)), zbliża się do 1, gdy p zbliża się za.

Zaktualizuj C ++

Jak leemes prawidłowo wskazał, że pierwotnie związany z odniesieniem do złożonej wersji pow natomiast zakaz złożonych roszczeń wersji jest to błąd domeny projekt C średnia ++ wraca do normy projekt C i zarówno C99 i C11 w sekcji 7.12.7.4 Funkcje pow ustęp 2 mówi ( podkreślenie moje ):

[...] Błąd domeny może wystąpić, jeśli x wynosi zero, a y wynosi zero. [...]

co, o ile wiem, oznacza, że ​​to zachowanie jest zachowaniem nieokreślonym. Wycofanie sekcji nieco w sekcji 7.12.1 Traktowanie warunków błędu mówi:

[...] błąd domeny występuje, jeśli argument wejściowy znajduje się poza dziedziną, w której zdefiniowano funkcję matematyczną. [...] W przypadku błędu domeny funkcja zwraca wartość zdefiniowaną w ramach implementacji; jeśli wyrażenie całkowite math_errhandling & MATH_ERRNO jest niezerowe, wyrażenie całkowite errno uzyskuje wartość EDOM; […]

Jeśli więc wystąpił błąd domeny, byłoby to zachowanie zdefiniowane w ramach implementacji, ale zarówno w najnowszych wersjach, jak gcci clangwartość errnojest 0taka, więc nie jest to błąd domeny dla tych kompilatorów.

Zaktualizuj Javascript

Dla JavaScript ECMAScript® Language Specification w punkcie 15.8 obiektu Math pod 15.8.2.13 pow (x, y) , mówi między innymi warunkami, że:

Jeśli y wynosi +0, wynikiem jest 1, nawet jeśli x wynosi NaN.

W JavaScript Math.powdefiniuje się następująco :

• Jeśli y jest NaN, wynikiem jest NaN.
• Jeśli y wynosi +0, wynikiem jest 1, nawet jeśli x wynosi NaN.
• Jeśli y wynosi −0, wynikiem jest 1, nawet jeśli x wynosi NaN.
• Jeśli x jest NaN, a y jest niezerowe, wynikiem jest NaN.
• Jeśli abs (x)> 1, a y wynosi + ∞, wynikiem jest + ∞.
• Jeśli abs (x)> 1, a y wynosi −∞, wynikiem jest +0.
• Jeśli abs (x) == 1, a y to + ∞, wynikiem jest NaN.
• Jeśli abs (x) == 1, a y wynosi −∞, wynikiem jest NaN.
• Jeśli abs (x) <1, a y wynosi + ∞, wynikiem jest +0.
• Jeśli abs (x) <1, a y wynosi −∞, wynikiem jest + ∞.
• Jeśli x wynosi + ∞, a y> 0, wynikiem jest + ∞.
• Jeśli x wynosi + ∞, a y <0, wynikiem jest +0.
• Jeśli x wynosi −∞, a y> 0, a y jest nieparzystą liczbą całkowitą, wynikiem jest −∞.
• Jeśli x wynosi −∞, a y> 0, a y nie jest nieparzystą liczbą całkowitą, wynikiem jest + ∞.
• Jeśli x wynosi −∞, a y <0, a y jest nieparzystą liczbą całkowitą, wynikiem jest −0.
• Jeśli x wynosi −∞, a y <0, a y nie jest nieparzystą liczbą całkowitą, wynikiem jest +0.
• Jeśli x wynosi +0, a y> 0, wynikiem jest +0.
• Jeśli x wynosi +0, a y <0, wynikiem jest + ∞.
• Jeśli x wynosi −0, a y> 0, a y jest nieparzystą liczbą całkowitą, wynikiem jest −0.
• Jeśli x wynosi −0, a y> 0, a y nie jest nieparzystą liczbą całkowitą, wynikiem jest +0.
• Jeśli x wynosi −0, a y <0, a y jest nieparzystą liczbą całkowitą, wynikiem jest −∞.
• Jeśli x wynosi −0, a y <0, a y nie jest nieparzystą liczbą całkowitą, wynikiem jest + ∞.
• Jeśli x <0, a x jest skończone, a y jest skończone, a y nie jest liczbą całkowitą, wynikiem jest NaN.

_{podkreślenie moje}

co do zasady, funkcje natywne dla dowolnego języka powinny działać zgodnie z opisem w specyfikacji języka. Czasami obejmuje to jawnie „niezdefiniowane zachowanie”, w którym implementacja określa, jaki powinien być wynik, jednak nie jest to przypadek niezdefiniowanego zachowania.

To jest po prostu konwencja go zdefiniować jako 1, 0lub go opuścić undefined. Definicja jest szeroko rozpowszechniona ze względu na następującą definicję:

Dokumentacja ECMA-Script mówi co następuje pow(x,y):

• Jeśli y wynosi +0, wynikiem jest 1, nawet jeśli x wynosi NaN.
• Jeśli y wynosi −0, wynikiem jest 1, nawet jeśli x wynosi NaN.

[ http://www.ecma-international.org/ecma-262/5.1/#sec-15.8.2.13 ]

Według Wikipedii:

W większości ustawień, które nie obejmują ciągłości wykładnika, interpretacja 0 ⁰ jako 1 upraszcza wzory i eliminuje potrzebę stosowania specjalnych przypadków w twierdzeniach.

Istnieje kilka możliwych sposobów traktowania 0**0za i przeciw dla każdego z nich ( poszerzona dyskusja znajduje się w Wikipedii ).

IEEE 754-2008 pływających standardowy punkt zaleca trzy różne funkcje:

• powtraktuje 0**0jako 1. To jest najstarsza zdefiniowana wersja. Jeśli potęga jest dokładną liczbą całkowitą, wynik jest taki sam jak for pown, w przeciwnym razie wynik jest jak for powr(z wyjątkiem niektórych wyjątkowych przypadków).
• powntraktuje 0 ** 0 jako 1. Potęga musi być dokładną liczbą całkowitą. Wartość jest określona dla zasad ujemnych; np . pown(−3,5)jest −243.
• powrtraktuje 0 ** 0 jako NaN (Not-a-Number - undefined). Wartość wynosi również NaN w przypadkach, powr(−3,2)gdy podstawa jest mniejsza od zera. Wartość jest określona przez exp (potęga × log (podstawa)).

Donald Knuth

w pewnym sensie rozstrzygnął tę debatę w 1992 r., co następuje:

Jeszcze więcej szczegółów przedstawił w swoim artykule Two Notes on Notation .

Zasadniczo, chociaż nie mamy 1 jako limitu f(x)/g(x)dla wszystkich nie wszystkich funkcji f(x)i g(x)nadal sprawia, że ​​kombinatoryka jest o wiele prostsza do zdefiniowania 0^0=1, a następnie po prostu utwórz specjalne przypadki w kilku miejscach, w których należy wziąć pod uwagę funkcje, takie jak 0^x, i tak są dziwne. Przecież x^0pojawia się dużo częściej.

Niektóre z najlepszych dyskusji, jakie znam na ten temat (poza artykułem Knutha), to:

• http://mathforum.org/dr.math/faq/faq.0.to.0.power.html
• http://www.quora.com/Mathematics/What-is-math-0-0-math?share=1
• /math/475337/the-binomial-formula-and-the-value-of-00

Jeśli chcesz wiedzieć, jaką wartość należy nadać, f(a)gdy fnie jest bezpośrednio obliczalna w programie a, obliczasz granicę, fkiedy xzmierza w kierunkua .

W przypadku x^y, zwykłe granice zmierzają do 1kiedy xi ymają tendencję 0, a zwłaszcza x^xdo 1kiedy xmają tendencję 0.

Zobacz http://www.math.hmc.edu/funfacts/ffiles/10005.3-5.shtml

Definicja języka C mówi (7.12.7.4/2):

Błąd domeny może wystąpić, jeśli x wynosi zero, a y wynosi zero.

Mówi również (7.12.1 / 2):

W przypadku błędu domeny funkcja zwraca wartość zdefiniowaną w ramach implementacji; jeśli wyrażenie całkowite math_errhandling & MATH_ERRNO jest niezerowe, wyrażenie całkowite errno uzyskuje wartość EDOM; jeśli wyrażenie całkowite math_errhandling & MATH_ERREXCEPT ma wartość różną od zera, zgłaszany jest wyjątek zmiennoprzecinkowy „nieprawidłowy”.

Domyślnie wartością math_errhandlingjest MATH_ERRNO, więc sprawdź errnowartość EDOM.

Chciałbym nie zgodzić się z twierdzeniem niektórych z poprzednich odpowiedzi, że jest to kwestia konwencji lub wygody (obejmującej pewne szczególne przypadki dla różnych twierdzeń itp.), Że 0 ^ 0 należy zdefiniować jako 1 zamiast 0.

Potęgowanie nie pasuje tak dobrze do naszych innych notacji matematycznych, więc definicja, której wszyscy się uczymy, pozostawia miejsce na nieporozumienia. Nieco innym sposobem podejścia jest stwierdzenie, że a ^ b (lub exp (a, b), jeśli wolisz) zwraca wartość będącą zwielokrotnieniem równoważnej pomnożeniu jakiejś innej rzeczy przez a, powtórzone b razy.

Kiedy pomnożymy 5 przez 4, 2 razy, otrzymamy 80. Pomnożymy 5 przez 16. Zatem 4 ^ 2 = 16.

Kiedy pomnożymy 14 przez 0, 0 razy, zostaje nam 14. Pomnożymy to 1. Stąd 0 ^ 0 = 1.

Ten sposób myślenia może również pomóc w wyjaśnieniu ujemnych i ułamkowych wykładników. 4 ^ (- 2) to 16., ponieważ „mnożenie ujemne” to dzielenie - dzielimy przez cztery dwukrotnie.

a ^ (1/2) to pierwiastek (a), ponieważ pomnożenie czegoś przez pierwiastek a jest połową pracy mnożenia jako pomnożenie tego przez samo a - musiałbyś to zrobić dwukrotnie, aby pomnożyć coś przez 4 = 4 ^ 1 = (4 ^ (1/2)) ^ 2

Aby to zrozumieć, musisz rozwiązać rachunek różniczkowy:

Rozwijając x^xwokół zera za pomocą szeregu Taylora, otrzymujemy:

Aby zrozumieć, co dzieje się z limitem, gdy xdochodzi do zera, musimy dowiedzieć się, co się dzieje z drugim członem x log(x), ponieważ inne terminy są proporcjonalne dox log(x) podniesienia do pewnej potęgi.

Musimy użyć transformacji:

Teraz po tej transformacji możemy użyć reguły L'Hôpitala , która mówi, że:

Tak więc różnicując tę ​​transformację otrzymujemy:

Więc obliczyliśmy ten termin log(x)*x zbliża się do 0, gdy x zbliża się do 0. Łatwo zauważyć, że inne kolejne wyrazy również zbliżają się do zera, a nawet szybciej niż drugi człon.

W pewnym momencie x=0szereg staje się, 1 + 0 + 0 + 0 + ...a zatem równy 1.