największa liczba całkowita, którą można zapisać w podwójnym

Jaka jest największa liczba całkowita „no-floating”, która może być przechowywana w podwójnym typie IEEE 754 bez utraty precyzji?

Największa / największa liczba całkowita, którą można zapisać w podwójnej pamięci bez utraty precyzji, jest taka sama, jak największa możliwa wartość podwójnej. To znaczy, DBL_MAXczyli około 1,8 × 10 ³⁰⁸ (jeśli twoje podwójne to 64-bitowe podwójne IEEE 754). To jest liczba całkowita. Jest dokładnie reprezentowany. Czego jeszcze chcesz?

Kontynuuj, zapytaj mnie, jaka jest największa liczba całkowita, tak że ona i wszystkie mniejsze liczby całkowite mogą być przechowywane w 64-bitowych podwójnych wersjach IEEE bez utraty precyzji. 64-bitowe podwójne IEEE ma 52 bity mantysy, więc myślę, że to 2 ⁵³ :

• Nie można zapisać 2 ⁵³ + 1, ponieważ 1 na początku i 1 na końcu mają między sobą zbyt wiele zer.
• Można zapisać mniej niż 2 ⁵³ , z 52 bitami jawnie zapisanymi w mantysie, a następnie wykładnik daje ci kolejny.
• 2 ⁵³ oczywiście można przechowywać, ponieważ jest to niewielka moc 2.

Lub inny sposób patrzenia na to: po usunięciu odchylenia wykładnika i zignorowaniu bitu znaku jako nieistotnego dla pytania, wartość przechowywana przez podwójność jest potęgą 2, plus 52-bitowa liczba całkowita pomnożona przez 2 ^{wykładnik - 52} . Tak więc z wykładnikiem 52 możesz zapisać wszystkie wartości od 2 ⁵² do 2 ⁵³  - 1. Następnie z wykładnikiem 53 następną liczbą, którą możesz zapisać po 2 ^53, jest 2 ⁵³ + 1 × 2 ^{53 - 52} . Tak więc utrata precyzji występuje najpierw przy 2 ⁵³ + 1.

9007199254740992 (to 9 007,199,254,740,992) bez gwarancji :)

Program

#include <math.h>
#include <stdio.h>

int main(void) {
  double dbl = 0; /* I started with 9007199254000000, a little less than 2^53 */
  while (dbl + 1 != dbl) dbl++;
  printf("%.0f\n", dbl - 1);
  printf("%.0f\n", dbl);
  printf("%.0f\n", dbl + 1);
  return 0;
}

Wynik

9007199254740991
9007199254740992
9007199254740992

Wikipedia ma to do powiedzenia w tym samym kontekście z linkiem do IEEE 754 :

W typowym systemie komputerowym binarna liczba zmiennoprzecinkowa „podwójnej precyzji” (64-bitowa) ma współczynnik 53 bity (z których jeden jest domyślny), wykładnik 11 bitów i jeden bit znaku.

2 ^ 53 to nieco ponad 9 * 10 ^ 15.

Największa liczba całkowita, która może być reprezentowana w podwójnym standardzie IEEE 754 (64-bit), jest taka sama, jak największa wartość, jaką może reprezentować typ, ponieważ sama ta wartość jest liczbą całkowitą.

Jest to reprezentowane jako 0x7FEFFFFFFFFFFFFF, które składa się z:

• Bit znaku 0 (dodatni) zamiast 1 (ujemny)
• Maksymalny wykładnik 0x7FE(2046, który reprezentuje 1023 po odjęciu uprzedzenia) zamiast 0x7FF(2047, co oznacza a NaNlub nieskończoność).
• Maksymalna mantysa, 0xFFFFFFFFFFFFFktóra wynosi 52 bity wszystkie 1.

W systemie binarnym wartością jest domyślna 1, po której następują kolejne 52 z mantysy, a następnie 971 zer (1023 - 52 = 971) z wykładnika.

Dokładna wartość dziesiętna to:

179769313486231570814527423731704356798070567525844996598917476803157260780028538760589558632766878171540458953514382464234321326889464182768467546703537516986049910576551282076245490090389328944075868508455133942304583236903222948165808559332123348274797826204144723168738177180919299881250404026184124858368

To około 1,8 x 10 ³⁰⁸ .

Musisz spojrzeć na rozmiar mantysy. 64-bitowa liczba zmiennoprzecinkowa IEEE 754 (która ma 52 bity plus 1 domyślnie) może dokładnie reprezentować liczby całkowite o wartości bezwzględnej mniejszej lub równej 2 ^ 53.

1,7976931348623157 × 10 ^ 308

http://en.wikipedia.org/wiki/Double_precision_floating-point_format

DECIMAL_DIGz <float.h>powinien dać przynajmniej rozsądne przybliżenie tego. Ponieważ dotyczy to cyfr dziesiętnych i jest naprawdę przechowywane w formacie binarnym, prawdopodobnie można przechowywać coś nieco większego bez utraty precyzji, ale dokładnie o ile trudno powiedzieć. Przypuszczam, że powinieneś być w stanie to rozgryźć FLT_RADIXi DBL_MANT_DIG, ale nie jestem pewien, czy całkowicie ufam wynikowi.