Czytając https://en.uncyclopedia.co/wiki/Haskell (i ignorując wszystkie „obraźliwe” rzeczy), natknąłem się na następujący fragment zaciemnionego kodu:
fix$(<$>)<$>(:)<*>((<$>((:[{- thor's mother -}])<$>))(=<<)<$>(*)<$>(*2))$1
Kiedy uruchamiam ten fragment kodu w ghci(po zaimportowaniu Data.Functioni Control.Applicative), ghciwyświetla listę wszystkich potęg 2.
Jak działa ten fragment kodu?
Odpowiedzi:
Na początek mamy cudowną definicję
x = 1 : map (2*) x
co samo w sobie jest nieco zagmatwane, jeśli nigdy wcześniej go nie widziałeś. W każdym razie jest to dość standardowa sztuczka lenistwa i rekurencji. Teraz pozbędziemy się jawnej rekurencji przy użyciu fixi ify bez punktów.
x = fix (\vs -> 1 : map (2*) vs)
x = fix ((1:) . map (2*))
Następną rzeczą, którą zamierzamy zrobić, jest rozszerzenie :sekcji i mapniepotrzebnie skomplikowane.
x = fix ((:) 1 . (map . (*) . (*2)) 1)
Cóż, teraz mamy dwie kopie tej stałej 1. To nigdy się nie uda, więc użyjemy aplikacji czytnika, aby to zduplikować. Również kompozycja funkcji to trochę bzdura, więc zastąpmy to (<$>)gdziekolwiek się da.
x = fix (liftA2 (.) (:) (map . (*) . (*2)) 1)
x = fix (((.) <$> (:) <*> (map . (*) . (*2))) 1)
x = fix (((<$>) <$> (:) <*> (map <$> (*) <$> (*2))) 1)
Dalej: to wezwanie mapjest zbyt czytelne. Ale nie ma się czego bać: możemy wykorzystać prawa monady, aby ją nieco rozszerzyć. W szczególności fmap f x = x >>= return . ftzw
map f x = x >>= return . f
map f x = ((:[]) <$> f) =<< x
Możemy wskazać-free-IFY wymienić (.)z (<$>), a następnie dodać kilka odcinków fałszywe:
map = (=<<) . ((:[]) <$>)
map = (=<<) <$> ((:[]) <$>)
map = (<$> ((:[]) <$>)) (=<<)
Zastępując to równanie w naszym poprzednim kroku:
x = fix (((<$>) <$> (:) <*> ((<$> ((:[]) <$>)) (=<<) <$> (*) <$> (*2))) 1)
Na koniec łamiesz spację i tworzysz wspaniałe końcowe równanie
x=fix(((<$>)<$>(:)<*>((<$>((:[])<$>))(=<<)<$>(*)<$>(*2)))1)
{- thor's mother -}!
Pisałem długą odpowiedź z pełnym przebiegiem moich dzienników IRC z eksperymentów prowadzących do ostatecznego kodu (to było na początku 2008 roku), ale przypadkowo cały tekst :) Jednak nie tak duża strata - dla w większości analizy Daniela są trafne.
Oto, od czego zacząłem:
Jan 25 23:47:23 <olsner> @pl let q = 2 : map (2*) q in q
Jan 25 23:47:23 <lambdabot> fix ((2 :) . map (2 *))
Różnice sprowadzają się głównie do kolejności przeprowadzania refaktoryzacji.
x = 1 : map (2*) xzacząłem od 2 : map ...i zachowałem te początkowe 2 aż do ostatniej wersji, w której wcisnąłem a (*2)i zmieniłem $2na końcu na $1. Krok „uczyń mapę niepotrzebnie złożoną” nie nastąpił (tak wcześnie).mapzostała wprowadzona przed zastąpieniem liftM2 kombinatorami Applicative. Wtedy też zniknęły wszystkie przestrzenie..funkcji do komponowania. Zastąpienie tych wszystkich <$>najwyraźniej wydarzyło się jakiś czas w miesiącach między tym a niecyklopedią.Przy okazji, oto zaktualizowana wersja, która nie wymienia już numeru 2:
fix$(<$>)<$>(:)<*>((<$>((:[{- Jörð -}])<$>))(=<<)<$>(*)<$>(>>=)(+)($))$1
Obie odpowiedzi wywodzą zaciemniony fragment kodu z krótkiego oryginału podanego nieoczekiwanie, ale pytanie w rzeczywistości dotyczy tego, w jaki sposób długi zaciemniony kod wykonuje swoją pracę.
Oto jak:
fix$(<$>)<$>(:)<*>((<$>((:[{- thor's mother -}])<$>))(=<<)<$>(*)<$>(*2))$1
= {- add spaces, remove comment -}
fix $ (<$>) <$> (:) <*> ( (<$> ((:[]) <$>) ) (=<<) <$> (*) <$> (*2) ) $ 1
-- \__\______________/_____________________________/
= {- A <$> B <*> C $ x = A (B x) (C x) -}
fix $ (<$>) (1 :) ( ( (<$> ((:[]) <$>) ) (=<<) <$> (*) <$> (*2) ) 1 )
-- \__\______________/____________________________/
= {- op f g = (f `op` g) ; (`op` g) f = (f `op` g) -}
fix $ (1 :) <$> ( (((=<<) <$> ((:[]) <$>) ) <$> (*) <$> (*2) ) 1 )
-- \\____________________/____________________________/
= {- <$> is left associative anyway -}
fix $ (1 :) <$> ( ( (=<<) <$> ((:[]) <$>) <$> (*) <$> (*2) ) 1 )
-- \__________________________________________________/
= {- A <$> foo = A . foo when foo is a function -}
fix $ (1 :) <$> ( ( (=<<) <$> ((:[]) <$>) . (*) . (*2) ) 1 )
-- \__________________________________________________/
= {- ((:[]) <$>) = (<$>) (:[]) = fmap (:[]) is a function -}
fix $ (1 :) <$> ( ( (=<<) . ((:[]) <$>) . (*) . (*2) ) 1 )
-- \__________________________________________________/
= {- (a . b . c . d) x = a (b (c (d x))) -}
fix $ (1 :) <$> (=<<) ( ((:[]) <$>) ( (*) ( (*2) 1 )))
= {- (`op` y) x = (x `op` y) -}
fix $ (1 :) <$> (=<<) ( ((:[]) <$>) ( (*) 2 ))
= {- op x = (x `op`) -}
fix $ (1 :) <$> (=<<) ( ((:[]) <$>) (2*) )
= {- (f `op`) g = (f `op` g) -}
fix $ (1 :) <$> (=<<) ( (:[]) <$> (2*) )
= {- A <$> foo = A . foo when foo is a function -}
fix $ (1 :) <$> (=<<) ( (:[]) . (2*) )
= {- (f . g) = (\ x -> f (g x)) -}
fix $ (1 :) <$> (=<<) (\ x -> [2*x] )
= {- op f = (f `op`) -}
fix $ (1 :) <$> ( (\ x -> [2*x] ) =<<)
Oto ( (\ x -> [2*x]) =<<) = (>>= (\ x -> [2*x])) = concatMap (\ x -> [2*x]) = map (2*)funkcja, więc znowu <$> = .:
=
fix $ (1 :) . map (2*)
= {- substitute the definition of fix -}
let xs = (1 :) . map (2*) $ xs in xs
=
let xs = 1 : [ 2*x | x <- xs] in xs
= {- xs = 1 : ys -}
let ys = [ 2*x | x <- 1:ys] in 1:ys
= {- ys = 2 : zs -}
let zs = [ 2*x | x <- 2:zs] in 1:2:zs
= {- zs = 4 : ws -}
let ws = [ 2*x | x <- 4:ws] in 1:2:4:ws
=
iterate (2*) 1
=
[2^n | n <- [0..]]
są wszystkie potęgi 2 , w porządku rosnącym.
To używa
A <$> B <*> C $ x = liftA2 A B C xa ponieważ liftA2 A B Cjest stosowany do xswojej funkcji, to oznacza jako funkcję liftA2 A B C x = A (B x) (C x).(f `op` g) = op f g = (f `op`) g = (`op` g) f są trzema prawami sekcji operatora>>=jest monadycznym wiązaniem, a ponieważ (`op` g) f = op f gi typy są
(>>=) :: Monad m => m a -> (a -> m b ) -> m b
(\ x -> [2*x]) :: Num t => t -> [ t]
(>>= (\ x -> [2*x])) :: Num t => [ t] -> [ t]
według zastosowania typu i podstawienia widzimy, że dana monada jest []dla której (>>= g) = concatMap g.
concatMap (\ x -> [2*x]) xs jest uproszczony jako
concat $ map (\ x -> [2*x])
=
concat $ [ [2*x] | x <- xs]
=
[ 2*x | x <- xs]
=
map (\ x -> 2*x )
iz definicji
(f . g) x = f (g x)
fix f = let x = f x in x
iterate f x = x : iterate f (f x)
= x : let y = f x in
y : iterate f (f y)
= x : let y = f x in
y : let z = f y in
z : iterate f (f z)
= ...
= [ (f^n) x | n <- [0..]]
gdzie
f^n = f . f . ... . f
-- \_____n_times _______/
po to aby
((2*)^n) 1 = ((2*) . (2*) . ... . (2*)) 1
= 2* ( 2* ( ... ( 2* 1 )...))
= 2^n , for n in [0..]