To nie jest prawdziwa odpowiedź, ale rozszerzenie obliczania wzorów dyfrakcyjnych z odpowiedzi @ whubera .
Po pierwsze, mamy całkę dyfrakcyjną. Funkcja U P opisuje złożoną amplitudę w płaszczyźnie obserwacji w odległości ( x p , y p ) od osi optycznej, a odległość L oo ze źródła (jakiegoś przedmiotu dyfrakcyjną, na przykład otworka, otwór kamery, itd. ) U s jest funkcją opisującą złożoną amplitudę w płaszczyźnie źródła; w przypadku bardzo małej dziurki można użyć funkcji delta diraca . Trzecia zmienna w U s wynosi 0, ponieważ dla wygody mówimy dyfrakcyjną obiekt jest początkiem układu współrzędnych. Zmienne x si r y jako argumenty bookkeep do tego faktu, że obiekt może mieć pewien rozmiar w x-y powierzchni.
To może nie wyglądać jak okropna całka, ale k i r sp są po prostu notacją czegoś większego:
Zintegrowanie funkcji z rodnikiem o wyrażeniach kwadratowych zarówno w liczniku e, jak i mianowniku jest naprawdę bardzo nieprzyjemną całką.
Jeden upraszcza całkę, usuwając pierwiastki kwadratowe, stosując reprezentację serii dwumianowej i obcinając terminy wyższego rzędu. Fraunhofer integralną trzyma kiedy trzeba 2 warunki; integralną Fresnela jest kiedy ktoś potrzebuje 3 warunki. Dowód na to jest trochę niuansowy, ale jest to poza tym zakresem.
Kiedy zaczynamy manipulować tymi rzeczami, aby uzyskać całki dyfrakcyjne Fresnela i Fraunhofera, otrzymujemy trzy wielkości.
Jeśli Nfd * ( θ d ) 2 << 1, całka Fresnela jest ważna. Jeśli jest to prawdą, a Nfs << 1, całka Fraunhofera obowiązuje.
Dwie całki to:
Fresnel:
Fraunhofer:
gdzie
,
i ν x i ν Y są wielkości od źródła w określonym wymiarze, podzieloną przez długość fali światła razy odległość źródła. Zwykle zapisano by to ν s = d / ( λx s ).
Aby odpowiedzieć na pytanie @ whubera, dlaczego możesz potrzebować jednego lub drugiego, pomimo tego, co twierdzi Wikipedia, wymaga to trochę refleksji.
Komentarz „w płaszczyźnie ogniskowej soczewki obrazowej ...” jest prawdopodobnie usunięty z podręcznika, a implikacją jest to, że źródło dyfrakcji (tj. Otwork, szczelina, cokolwiek - te równania są agnostyczne co do geometrii źródło) jest bardzo daleko. Niestety, obiektyw nie tylko może znajdować się w dowolnej odległości i bliżej niż pozwala na to całka Fraunhofera, ale dyfrakcja pochodzi również z układu soczewek aparatu.
Prawidłowym modelem dyfrakcji z apertury aparatu jest apertura n- stronna ( n to liczba ostrzy apertury w obiektywie) oświetlona przez źródło punktowe w miejscu rzeczy na obrazie, która wytwarza wzór wybuchu gwiazdy.
Kiedy obiekty są naprawdę daleko (kilka metrów byłoby w porządku), źródła punktowe zachowują się, jakby były falami płaskimi, a pochodne przeprowadzone na Wikipedii są w porządku.
Na przykład apertura dla obiektywu 50 mm z podwójnym gaussem jest rzędu 40 ~ 60 mm od płaszczyzny obrazu. Jest on obrazowany przez kilka soczewek za fizycznym ogranicznikiem na odległość większą niż ta (jest to lokalizacja źrenicy wyjściowej), ale źrenica wyjściowa nie jest tam, gdzie jest funkcja U s ( x s , y s , 0) wyśrodkowany!
Dla światła 500 nm i światła o promieniu 1 mm możemy sprawdzić, czy całka Fraunhofera jest ważna. Jest równa (0,001) 2 / (500 * 10 -9 * 50 * 10-3 ) lub 40, co oznacza >> 1, a całka Fraunhofera jest nieprawidłowa. W przypadku światła widzialnego, o ile ogranicznik przysłony jest rzędu milimetrów od detektora, Nfs nigdy nie będzie w pobliżu 1, a tym bardziej znacznie mniejszy.
Te równania mogą się nieco różnić od tych na Wikipedii; Odniosłbym się do OPT 261, Interferencja i dyfrakcja na University of Rochester Institute of Optics prowadzonym przez profesora Vamivakasa. Równania optyki Hechta powinny być dość podobne. Równania dotyczą amplitudy zespolonej , aby uzyskać natężenie napromienienia (inaczej intensywność lub jasność), należy wziąć wartość kwadratu od wyniku.
