Wyprowadzanie turbulentnego równania energii kinetycznej

Próbuję zrozumieć wyprowadzenie turbulentnego równania energii kinetycznej, jak opisano w tym linku: Ocena modeli turbulencji RANS dla problemów z przepływem ze znaczącym wpływem warstw granicznych .

Jestem w stanie przejść do równania 2.26 na slajdzie 11 (tj. Stronie 9), który stwierdza

ρ \bar{\frac{\partial u_{i}^{'}}{\partial t} u_{i}^{'}} + ρ (\bar{u_{j} \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} u_{i}} - {\bar{u}}_{j} \frac{\partial u_{i}^{'}}{\partial x_{j}} {\bar{u}}_{i}) = - \bar{\frac{\partial p^{'}}{\partial x_{j}} u_{i}^{'}} + ν \bar{u_{i}^{'} \nabla^{2} u_{i}^{'}} + ρ \frac{\partial (\bar{u_{i}^{'} u_{j}^{'}})}{\partial x_{j}} {\bar{u}}_{i},

$\rho \overline{\frac{\partial u_i'}{\partial t}u_i'} + \rho\left( \overline{u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}u_i} -\bar{u}_j\frac{\partial u_i'}{\partial x_j}\bar{u}_i\right) = -\overline{\frac{\partial p'}{\partial x_j}u_i'} + \nu\overline{u_i'\nabla^2u_i'} + \rho \frac{\partial (\overline{u_i'u_j'})}{\partial x_j}\bar{u}_i,$

gdzie górne pręty oznaczają średnie zespolone ilości pod prętami. Zauważ, że tutaj średnia produktu niekoniecznie jest równa iloczynowi średniej każdego terminu.

Zgodnie z linkiem, używając tylko reguł uśredniania, termin

(\bar{u_{j} \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} u_{i}} - {\bar{u}}_{j} \frac{\partial u_{i}^{'}}{\partial x_{j}} {\bar{u}}_{i})

$\left( \overline{u_j\frac{\partial u_i}{\partial x_j}u_i} -\bar{u}_j\frac{\partial u_i'}{\partial x_j}\bar{u}_i\right)$

można go uprościć

\bar{u_{i}^{'} \frac{u_{i}^{'}}{\partial x_{j}}} {\bar{u}}_{j} + \bar{\frac{\partial u_{i}^{'}}{\partial x_{j}} u_{i}^{'} u_{j}^{'}} + \bar{\frac{\partial u_{i}^{'}}{\partial x_{j}} u_{j}^{'}} {\bar{u}}_{i} + \bar{u_{j}^{'} u_{i}^{'}} \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} .

$\overline{u_i'\frac{u_i'}{\partial x_j}}\bar{u}_j + \overline{\frac{\partial u_i'}{\partial x_j}u_i'u_j'} + \overline{\frac{\partial u_i'}{\partial x_j}u_j'}\bar{u}_i + \overline{u_j'u_i'}\frac{\partial u_i}{\partial x_j}.$

Jeśli zastąpię to bezpośrednio poprzednim równaniem, otrzymam

ρ (\bar{\frac{\partial u_{i}^{'}}{\partial t} u_{i}^{'}} + \bar{u_{i}^{'} \frac{u_{i}^{'}}{\partial x_{j}}} {\bar{u}}_{j} + \bar{\frac{\partial u_{i}^{'}}{\partial x_{j}} u_{i}^{'} u_{j}^{'}} + \underset{my 4th term}{\underset{⏟}{\bar{\frac{\partial u_{i}^{'}}{\partial x_{j}} u_{j}^{'}} {\bar{u}}_{i}}} + \bar{u_{j}^{'} u_{i}^{'}} \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}) = - \bar{\frac{\partial p^{'}}{\partial x_{j}} u_{i}^{'}} + ν \bar{u_{i}^{'} \nabla^{2} u_{i}^{'}} + ρ \frac{\partial (\bar{u_{i}^{'} u_{j}^{'}})}{\partial x_{j}} {\bar{u}}_{i} .

$\rho \left( \overline{\frac{\partial u_i'}{\partial t}u_i'} + \overline{u_i'\frac{u_i'}{\partial x_j}}\bar{u}_j + \overline{\frac{\partial u_i'}{\partial x_j}u_i'u_j'} + \underbrace{\overline{\frac{\partial u_i'}{\partial x_j}u_j'}\bar{u}_i}_{\text{my 4th term}} + \overline{u_j'u_i'}\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right) = -\overline{\frac{\partial p'}{\partial x_j}u_i'} + \nu\overline{u_i'\nabla^2u_i'} + \rho \frac{\partial (\overline{u_i'u_j'})}{\partial x_j}\bar{u}_i.$

Jednak ich pochodne dają

ρ (\bar{\frac{\partial u_{i}^{'}}{\partial t} u_{i}^{'}} + \bar{u_{i}^{'} \frac{u_{i}^{'}}{\partial x_{j}}} {\bar{u}}_{j} + \bar{\frac{\partial u_{i}^{'}}{\partial x_{j}} u_{i}^{'} u_{j}^{'}} + \underset{their 4th term}{\underset{⏟}{\bar{\frac{\partial u_{i}^{'} u_{j}^{'}}{\partial x_{j}}} {\bar{u}}_{i}}} + \bar{u_{j}^{'} u_{i}^{'}} \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}}) = - \bar{\frac{\partial p^{'}}{\partial x_{j}} u_{i}^{'}} + ν \bar{u_{i}^{'} \nabla^{2} u_{i}^{'}} + ρ \frac{\partial (\bar{u_{i}^{'} u_{j}^{'}})}{\partial x_{j}} {\bar{u}}_{i} .

$\rho \left( \overline{\frac{\partial u_i'}{\partial t}u_i'} + \overline{u_i'\frac{u_i'}{\partial x_j}}\bar{u}_j + \overline{\frac{\partial u_i'}{\partial x_j}u_i'u_j'} + \underbrace{\overline{\frac{\partial u_i'u_j'}{\partial x_j}}\bar{u}_i}_{\text{their 4th term}} + \overline{u_j'u_i'}\frac{\partial u_i}{\partial x_j}\right) = -\overline{\frac{\partial p'}{\partial x_j}u_i'} + \nu\overline{u_i'\nabla^2u_i'} + \rho \frac{\partial (\overline{u_i'u_j'})}{\partial x_j}\bar{u}_i.$

Jedyną różnicą między moimi pochodnymi a ich pochodnymi jest czwarty człon po lewej stronie równania. Jestem pewien, że ich czwarty termin jest poprawny, ponieważ ma on zostać anulowany terminem po prawej stronie równania. Jednak nie wydaje mi się, aby dowiedzieć się, w jaki sposób uzyskali czwarty człon na LHS równania. Link sugeruje, że w grę wchodzą reguła łańcucha i założenie o braku kompresji, ale nie jestem pewien, jak to zrobić.

W szczególności termin overbar jest traktowany jako pojedynczy termin. Jak zatem zastosować regułę łańcucha do ? $\overline{u_i'u_j'}$ $\frac{\partial (\overline{u_i'u_j'})}{\partial x_j}$

Będziemy wdzięczni za wszelkie wskazówki dotyczące uzupełnienia brakujących kroków.

fluid-mechanics turbulence

— Paweł
źródło

Te dwa warunki są równe ze względu na regułę produktu i równanie ciągłości. Zastosowanie równania ciągłości może jednak nie być oczywiste.

W ich zapisie rozkład Reynoldsa to . Biorąc równanie ciągłości i uśrednianie prowadzi do: $u_i = \overline{u}_i + u^\prime_i$

\frac{\partial {\bar{u}}_{j}}{\partial x_{j}} = 0

$\frac{\partial \overline{u}_j}{\partial x_j} = 0$

Odejmij powyższe równanie od nie uśrednionego równania ciągłości, aby zobaczyć, że fluktuacje również są wolne od dywergencji:

\frac{\partial u_{j}^{'}}{\partial x_{j}} = 0

$\frac{\partial u^\prime_j}{\partial x_j} = 0$

Teraz zastosuj regułę produktu do okresu zainteresowania (przed uśrednieniem):

\frac{\partial u_{i}^{'} u_{j}^{'}}{\partial x_{j}} = u_{j}^{'} \frac{\partial u_{i}^{'}}{\partial x_{j}} + u_{i}^{'} \frac{\partial u_{j}^{'}}{\partial x_{j}}

$\frac{\partial u^\prime_i u^\prime_j}{\partial x_j} = u^\prime_j \frac{\partial u^\prime_i}{\partial x_j} + u^\prime_i \frac{\partial u^\prime_j}{\partial x_j}$

Drugi człon jest zerowy według ciągłości, jak pokazano powyżej, i to uzupełnia wyprowadzenie. Średnie dojazdy, więc średnia pochodnej jest taka sama jak pochodna średniej.

— Ben Trettel
źródło

Określenie „reguła łańcuchowa” tutaj wprowadza w błąd ... Reguła dotycząca produktu jest tym, co naprawdę jest stosowane, a nie reguła łańcuchowa.

— Paul

Tak, masz rację. Myślałem o tym, co zasugerowałeś, ale ostatecznie zrobiłem coś innego. Poprawiłem odpowiedź. Dzięki.

— Ben Trettel,