Jaka jest różnica między bezwładności a stałą skrętną przekroju?

To pytanie jest tak fundamentalnie podstawowe, że jestem prawie zawstydzony, ale zadałem je w pracy innego dnia i prawie nikt w biurze nie dał mi dobrej odpowiedzi. naprężenie ścinające w elemencie za pomocą równania i zauważyłem, że dla wału o okrągłym przekroju .$\frac{Tr}{J_T}$$J_T = I_P$

Zarówno jak i służą do opisania zdolności obiektu do przeciwstawienia się skręcaniu. definiuje się jako: gdzie = odległość promieniowa do osi, wokół której jest . Ale nie ma dokładnych równań analitycznych i jest obliczany w dużej mierze na podstawie równań przybliżonych, na podstawie których nie opracowałem żadnego odniesienia, na które patrzyłem.$I_P$$J_T$$I_P$$\int_{A} \rho^2 dA$$\rho$$I_P$$J_T$

Moje pytanie brzmi: jaka jest różnica między bezwładności a stałą skrętną ? Nie tylko matematycznie, ale praktycznie. Jaką fizyczną lub geometryczną właściwość reprezentuje każda? Dlaczego jest tak trudny do obliczenia?$I_P$$J_T$$J_T$

Stała skręcania odnosi kąt skrętu do przyłożonego momentu obrotowego za pomocą równania: gdzie jest przyłożonym momentem obrotowym, jest długością elementu, jest modułem sprężystości przy ścinaniu , a jest stałą skrętną.$J_T$

$$\phi = \frac{TL}{J_T G}$$ $T$$L$$G$$J_T$

Z drugiej strony biegunowy moment bezwładności jest miarą odporności przekroju na skręcanie o niezmiennym przekroju i bez znaczącego wypaczenia .

Przypadek okrągłego pręta pod wpływem skręcania jest szczególny ze względu na okrągłą symetrię, co oznacza, że ​​nie wypacza się, a jego przekrój nie zmienia się pod wpływem skręcania. Dlatego .$J_T = I_P$

Gdy członek nie ma symetrii kołowej, możemy spodziewać się, że pod wpływem skręcania, a zatem .$J_T \neq I_P$

Co pozostawia problem z obliczaniem . Niestety nie jest to proste, dlatego wartości (zwykle przybliżone) dla typowych kształtów są zestawione w tabelach.$J_T$

Jednym ze sposobów obliczania stałej skrętnej jest użycie funkcji naprężenia Prandtla (innym jest użycie funkcji wypaczania ).

Nie wchodząc w zbyt wiele szczegółów, należy wybrać funkcję naprężenia Prandtla która reprezentuje rozkład naprężeń w elemencie i spełnia warunki brzegowe (ogólnie nie jest to łatwe!). Musi także spełniać równanie zgodności Poissona: Gdzie jest kątem skrętu na jednostkę długości.$\Phi$

$$\nabla^2 \Phi = -2 G \theta$$ $\theta$

Jeśli wybraliśmy funkcję naprężenia, aby na granicy (warunek granicy swobodnej trakcji), możemy znaleźć stałą skręcania poprzez: $\Phi = 0$

$$J_T = 2\int_A \frac{\Phi}{G\theta} dA$$

Przykład: pręt o okrągłym przekroju

Ze względu na symetrię kołowego przekroju możemy przyjąć: gdzie R jest promieniem zewnętrznym. Otrzymujemy wtedy:

$$\Phi = \frac{G\theta}{2} (R^2-r^2)$$ $$J_T = 2\pi\int_0^R (R^2-r^2)rdr = \frac{\pi R^4}{2} = (I_P)_{circle}$$

Przykład: pręt o eliptycznym przekroju

$$\Phi = G\theta\frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)$$ i co z pewnością nie jest równe biegunowemu momentowi bezwładności elipsa: $$J_T = \int_A \frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1\right)dA = \frac{\pi a^3 b^3}{a^2+b^2}$$ $$(I_P)_{ellipse} = \frac{1}{4}\pi a b(a^2+b^2) \neq (J_T)_{ellipse}$$

Ponieważ ogólnie , jeśli zastosujesz biegunowy moment bezwładności zamiast stałej skrętnej, mniejsze kąty skrętu.$J_T < I_P$

Jest to prawie przypadek i dotyczy to wyłącznie litych lub pustych okrągłych przekrojów. Oczywiście wały przenoszące skręcanie często są okrągłe z powodów niezależnych od pytania!

Skręcanie okrągłego wału jest fizycznie proste ze względu na symetrię okrągłego kształtu. Poprzez symetrię naprężenia i odkształcenia w dowolnym punkcie mogą być jedynie funkcją odległości promieniowej od linii środkowej wału. Twierdzeniem Pitagorasa można przyjąć dowolną parę osi i wyrazić promień jako .$r^2 = x^2 + y^2$

Korzystając z tego faktu, możesz przekształcić całkę w przekroju poprzecznym w sumę dwóch całek w kierunkach i , i ponownie przez symetrię te dwie całki muszą być sobie równe.$x$$y$

Forma całek okazuje się być dokładnie taką samą formą matematyczną jak dla drugich momentów pola wiązki kołowej, co prowadzi do wyniku, o który pytałeś.

Nie działa to w przypadku przekrojów nieokrągłych, ponieważ rozkład naprężeń nie jest promieniowo symetryczny. Na przykład, porównując stałą skręcania i moment biegunowy bryły o przekroju kwadratowym, okaże się, że „stałe” w dwóch formułach są różne. Im bardziej przekrój poprzeczny odbiega od koła, tym większa będzie różnica.

Stałą skrętu dla przekroju o złożonym kształcie (na przykład belki dwuteowej) trudno jest obliczyć, ponieważ rozkład naprężeń w przekroju jest skomplikowany i nie ma dla niego prostej „formuły”, którą można zintegrować matematycznie. Wiele wzorów skręcania w podręcznikach inżynierii opiera się na uproszczonych założeniach, a nie na „dokładnych” rozwiązaniach matematycznych.

Ale w prawdziwym życiu „błędy” nie są zbyt ważne, ponieważ gdy do konstrukcji niekołowej przykładane jest obciążenie skrętne, przekroje „wypaczają się”, tzn . Nie pozostają już płaskie . W prawdziwym życiu ilość wypaczeń jest często nieznana, ponieważ wpływają na to ograniczenia na końcach wału. Jeśli naprawdę potrzebujesz dokładnego oszacowania sztywności skrętnej komponentu niekołowego, musisz wykonać pełny trójwymiarowy model samego komponentu i sposób, w jaki jest on przymocowany do reszty konstrukcji. Jeśli tworzysz model o takim poziomie szczegółowości, nie ma większego sensu ograniczanie odpowiedzi do jednego numeru, abyś mógł nazwać to „sztywnością skrętną”.

Polarny moment bezwładności, Ip, to opór ciała stałego poddawanego skręcaniu. Jednak moment bezwładności masy obrotowej J jest momentem bezwładności obracającej się bryły. Zobacz tę stronę .

Jak rozumiem, J jest taki sam jak normalny moment bezwładności, ale dla obracających się obiektów.