Dlaczego Mach 0.3 jest progiem oddzielającym przepływ ściśliwy i nieściśliwy?

Czytałem, że Mach 0.3 jest właściwie górną granicą traktowania powietrza jako płynu nieściśliwego. Źródła, które przeczytałem, traktują to jako dane bez dowodu i uzasadnienia.

Dlaczego jest to limit? Czy jest to matematyczne uzasadnienie? Czy ten limit dotyczy tylko powietrza? Jeśli nie, to od czego zależy limit?

fluid-mechanics

— Paweł
źródło

Wikipedia podaje powód Mach 0.3, ponieważ osiąga to ~ 5% zmianę gęstości.

Znalazłem stronę NASA, która opisuje (analitycznie!) Związek. Przytoczyłem źródło, ale odtworzę tutaj dzieło dla potomności, na wypadek gdyby ich linki się zmieniły.

Zacznij od zachowania pędu:

(ρ V.) re V. = - re p

$(\rho V) dV = -dp \\$

gdzie to gęstość płynu, to prędkość, a to ciśnienie. dla przepływu isentropowego: $\rho$ $V$ $p$

\frac{re p}{p} = γ \frac{re ρ}{ρ} re p = (\frac{γ p}{ρ}) re ρ

$\frac{dp}{p} = \gamma \frac{d\rho}{\rho} \\ dp = \left( \frac{\gamma p}{\rho} \right) d\rho \\$

gdzie to współczynnik ciepła właściwego. Idealne prawo gazu daje: $\gamma$

p = ρ R T.

$p = \rho R T \\$

gdzie jest właściwą stałą gazu, a jest temperaturą absolutną. Więc podstawiając: $R$ $T$

re p = γ R T. re ρ

$dp = \gamma R T d\rho$

Prędkość dźwięku można obliczyć:

γ R T. = {za}^{2)}

$\gamma R T = a^2 \\$

gdzie jest prędkością dźwięku, więc: $a$

re p = {za}^{2)} re ρ

$dp = a^2 d\rho \\$

Zastąpienie powyższego wyrażenia równaniem zachowania pędu daje:

(ρ V.) re V. = - {za}^{2)} re ρ - (\frac{{V.}^{2)}}{{za}^{2)}}) re V. / V. = re ρ / ρ - {M.}^{2)} re V. / V. = re ρ / ρ

$(\rho V)dV = -a^2 d\rho \\ -\left(\frac{V^2}{a^2}\right)dV/V = d\rho/\rho \\ -M^2 dV/V = d\rho/\rho \\$

gdzie jest liczbą Macha. To jest liczba Macha 0,3 do w przybliżeniu 5% zmiana gęstości. $M$

Uwaga: jest to oparte na liczbie Macha, która z kolei zależy od prędkości dźwięku w gazie, więc jest automatycznie dostosowywana na podstawie gazu.

— Głaskanie pod brodę
źródło

@Paul wynika to z zachowania pędu. to nie tyle „reguła”, co sugestia. jeśli nie przejmujesz się 10% (lub wyższymi) zmianami gęstości (lub innych wielkości), idź dalej i użyj nieściśliwych relacji dla wysokich liczb Macha. jeśli zrobić dba o małe zmiany gęstości, a następnie użyj ściśliwe stosunki nawet dla niskich liczb Macha

— costrom

To nie tylko gęstość. Kiedy nie wymiarujemy równań, otrzymujemy grupy bezwymiarowe. Ogólna zasada jest taka, że jeśli grupa bezwymiarowa jest mniejsza niż 0,1, możemy zignorować odpowiednie warunki. W przypadku liczby Macha pokazuje się kwadrat. Chcemy więc (liczba Macha) ^ 2 <0,1. To daje w przybliżeniu 0,3. To nie tylko gęstość - w zasadzie na wszystkie rzeczy, które zmieniają się przy większej prędkości, wpłynie około 10%, gdy liczba Macha osiągnie 0,3.

— Joel

@Joel - W kontekście, OP pytał konkretnie o ściśliwość, dlatego ta odpowiedź dotyczy tylko gęstości.

— Chuck

Chciałbym wyjaśnić, że nie jest to ostra linia podziału. Jeśli masz niższą tolerancję na błędy, zacznij używać kompresowalnego rozwiązania przy niższych liczbach maszynowych. Jeśli nie przejmujesz się tak bardzo, zakładaj nieściśliwość przy wyższych liczbach maszyn. 10% to tylko arbitralny wybór tego, ile błędów „naprawdę ma znaczenie”, a 0,3 wypada z tego matematycznie, ale nie mniej arbitralnie.

— hobbs

@ chuck - drapanie tutaj, ale traktowanie czegoś jak nieściśliwego płynu oznacza, że mogę powiedzieć, że rozbieżność pola prędkości wynosi 0. To wpływa na znacznie więcej niż tylko gęstość - do tego stopnia, że kiedy idę na rozmowę i ktoś mówi zakłada, że jest to nieściśliwy płyn, zwykle nie jest to stwierdzenie dotyczące gęstości.

— Joel,