Dlaczego możemy pominąć bezwładność (ale nie lepkość) w Navier-Stokesa przy niskim przepływie i wysokiej lepkości?

Dlaczego możemy pominąć bezwładność (ale nie lepkość) w Navier-Stokesa przy niskim przepływie i wysokiej lepkości?

Ukończ Navier-Stokes: $\rho \frac{D\vec{v}}{Dt}=\rho g - \nabla P+ \mu \nabla ^2 \vec{v}$

Termin inercyjny: .$\frac{D\vec{v}}{Dt}= \frac{\partial\vec{v}}{\partial t}+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial x}v_x+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial y}v_y+ \frac{\partial\vec{v}}{\partial z}v_z$

A ponieważ zakładamy, że przepływ stacjonarny i niski wskaźnik: . Wynika z tego, że inercyjny termin można zignorować.$\frac{\partial\vec{v}}{\partial t}=0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial x}\approx0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial y}\approx0, \frac{\partial\vec{v}}{\partial z}\approx0$

Jednak w moim materiale stwierdzono również, że będzie dominującym terminem w tych okolicznościach. Dlaczego nie będzie tak, że również? ∇ 2 → v → ∂ 2 → $\mu \nabla ^2 \vec{v}$$\nabla ^2 \vec{v} \rightarrow \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial x^2}\approx0, \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial y^2}\approx0, \frac{\partial^2\vec{v}}{\partial z^2}\approx0 \rightarrow \mu \nabla ^2 \vec{v} \approx 0$

Zwykle tym, co implikuje niski przepływ i wysoka lepkość, jest to, że mamy do czynienia z tak zwanym przepływem o niskiej liczbie Reynoldsa. Liczba Reynoldsa jest liczbą bezwymiarową, która jest stosunkiem sił bezwładności ( ) i siły lepkości ( ): Dla niskich dominują siły lepkości (reżim laminarny), a dla wysokich dominują siły bezwładności (reżim turbulentny). Bezwymiarowa liczba jak R eμ U / L R e = ρ U $\rho U U$$\mu U/L$ ReR

$$\mathrm{Re}=\frac{\rho U U}{\mu U/L}=\frac{\rho U L}{\mu}$$ $\mathrm{Re}$$\mathrm{Re}$$\mathrm{Re}$pokazują się naturalnie w procesie znanym jako „skalowanie”, w którym równania stają się niewymiarowe; dzięki temu procesowi można następnie stwierdzić, które terminy są nieistotne na podstawie wartości odpowiednich liczb bezwymiarowych. Aby uzyskać więcej informacji, sprawdź moją odpowiedź na to pytanie.

Technicznie rzecz biorąc, powiedzenie „niski przepływ i wysoka lepkość” nie jest wystarczające, aby powiedzieć, że mamy do czynienia z niskim przepływem ponieważ zależy on również od skali długości (zwykle średnicy rury itp.) I gęstości ( powietrza lub wody), ale zwykle sugeruje się, że tak jest. L $\mathrm{Re}$$L$$\rho$

Mówiąc teraz o niskim natężeniu przepływu, że jest niepoprawny; prawdopodobnie masz na myśli to, że . Uzasadnia to uproszczenie równań, mówiąc, że co fizycznie oznacza, że ​​warunki bezwładnościowe są całkowicie pomijalne w porównaniu do warunków lepkich. nie oznacza a raczej niski przepływ wskazuje na podczas gdy może być znaczący. Rozważ oszacowanie rzędu wielkości dlau β ∂ β u α ≪ μ ∂ 2 β u α u β ∂ β u α ≈ 0 u β ∂ β u α ≈ 0 ∂ β u α ≈ 0 u β ≈ 0 ∂ β u α ∂ β u α ∼ U / L L R e$\partial_\beta u_\alpha \approx 0$$u_\beta\partial_\beta u_\alpha \ll \mu\partial_\beta^2u_\alpha$$u_\beta\partial_\beta u_\alpha\approx 0$$u_\beta\partial_\beta u_\alpha\approx 0$$\partial_\beta u_\alpha \approx 0$$u_\beta\approx0$$\partial_\beta u_\alpha$$\partial_\beta u_\alpha \sim U/L$; dla małych wartości (przyczynia się do niskiego ) może być znacznie większy niż rząd . Podobna analiza rzędu lepkości składników pokazuje, że będą one jeszcze bardziej znaczące. Stąd powód, dla którego składniki bezwładnościowe są nieistotne, a składniki lepkie nie.$L$$\mathrm{Re}$$O(U)$$\partial_\beta^2 u_\alpha \sim U/L^2$

Ponieważ ostatni termin jest proporcjonalny do , a nie, termin może być duży, nawet jeśli wielkość prędkości jest niewielka. Rozważ prosty przypadek antypoślizgowego przepływu laminarnego w rurze zorientowanej na X. Jest to przepływ jednokierunkowy, więc możemy odrzucić i i skupić się na . Weźmiemy pod uwagę, że prędkość przepływu jest niewielka.$\nabla ^2 \vec{v}$$|\vec{v}|$$v$$w$$u$

$u$$\nabla u$$\nabla u$

$\nabla ^2 \vec{v} = \{-|\nabla ^2 u|, 0, 0\}$