Wyboczenie: Czy kształty wyboczenia n> 1 występują w rzeczywistości?

W wyboczeniu kolumn wiemy, że:

P = \frac{n^{2} π^{2} E I}{L^{2}}

$P = \dfrac{n^2\pi^2EI}{L^2}$

Najmniejsza wartość P występuje, gdy $n=1$ co daje prosty kształt wyboczenia (jedna fala):

P_{c r} = \frac{π^{2} E I}{L^{2}}

$P_{cr} = \dfrac{\pi^2EI}{L^2}$

Jednak dla $n > 1$ , jak pokazano poniżej, kształt wyboczenia jest bardziej złożony i ma wiele fal:

$n > 1$ $n = 1$

— pauloz1890
źródło

$n>1$

$n>1$ $n=1$ $n>1$ $n=1$

$n>1$ $n=1$

\begin{aligned} P & = {(\frac{n}{L})}^{2} π^{2} E I \\ P_{c o l u m n, n = 2} & = {(\frac{2}{L})}^{2} π^{2} E I \\ P_{s e g m e n t, n = 1} & = {(\frac{1}{\frac{L}{2}})}^{2} π^{2} E I = {(\frac{2}{L})}^{2} π^{2} E I \\ ∴ P_{c o l u m n, n = 2} & = P_{s e g m e n t, n = 1} \end{aligned}

$\begin{align} P &= \left(\dfrac{n}{L}\right)^2\pi^2EI \\ P_{column,\,n=2} &= \left(\dfrac{2}{L}\right)^2\pi^2EI \\ P_{segment,\,n=1} &= \left(\dfrac{1}{\frac{L}{2}}\right)^2\pi^2EI = \left(\dfrac{2}{L}\right)^2\pi^2EI \\ \therefore P_{column,\,n=2} &= P_{segment,\,n=1} \end{align}$

— Wasabi
źródło

Jeśli patrzysz na kolumnę jako podpartą na końcach, masz rację, że tryb n = 1 daje najniższe obciążenie wyboczeniowe.

Inne tryby (n = 2,3, ...) nie są jednak bezużyteczne. Długie kolumny często są usztywniane w regularnych odstępach czasu, aby zmniejszyć długość nieskalowanej kolumny. Dla danej długości słupa, stężenia te wymuszają wygięcie kolumny w innym trybie (n = 2,3, ...) z odpowiednim wzrostem obciążenia wyboczeniowego.

— Hazzey
źródło

Nie zdawałem sobie sprawy, że kształty trybu odnoszą się do usztywnienia kolumn, ale to naprawdę ma sens teraz, kiedy o tym myślę.

— pauloz1890

Ale czy obciążenie dla globalnego trybu kolumny nie byłoby równe trybowi jednego z jego niebramiennych segmentów? Oznacza to, że to, czy istnieje trybów, zależy od tego, jak spojrzysz na strukturę. Jeśli spojrzysz na to z perspektywy globalnej, to tak, możliwe są tryby. Jeśli jednak spojrzysz na lokalne segmenty, które składają się na strukturę, istnieją tylko tryby . @ pauloz1890

n > 1

$n>1$

n = 1

$n=1$

n > 1

$n>1$

n > 1

$n>1$

n = 1

$n=1$

— Wasabi

@Wasabi Tak, myślę, że właśnie to mnie pomieszało, masz rację.

— pauloz1890

Jak zauważył @Wasabi, tylko tryby istnieją przy rozważaniu stężenia. Aby zrozumieć, dlaczego należy pamiętać, że w przypadku . Następnie który jest identyczny z przypadkiem ale dla krótszej kolumny. To samo oczywiście dotyczy dowolnego . To wszystko powinno mieć sens, ponieważ górną i dolną część oryginalnej globalnej kolumny można uznać za usztywnioną w tym samym sensie (przynajmniej w tych warunkach brzegowych).

n = 1

$n=1$

n = 2

$n=2$

L_{s e g m e n t} = L_{g l o b a l} / 2

$L_{segment}=L_{global}/2$

P = 4 π^{2} E I / (4 L_{s e g m e n t}^{2}) = π^{2} E I / L_{s e g m e n t}^{2}

$P=4\pi^2 EI/(4L_{segment}^2)=\pi^2 EI/L_{segment}^2$

n = 1

$n=1$

n

$n$

— wwarriner

@SamWatkins rzeczywiście sprawy nie są niezależne. Nie mogą być, ponieważ mówimy o pojedynczej monolitycznej kolumnie z usztywnieniem. Jeśli obie sekcje wyboczą się na tę samą stronę, wówczas nie będzie ciągłości kąta deformacji kolumny, co jest niemożliwe. Stwierdzenie, że tryby są w rzeczywistości tylko serią trybu 1, nie ma sugerować, że każdy z trybów 1 jest niezależny, ale raczej, że tryb zdarza się tylko w prawdziwym świecie, jeśli może być utworzony przez seria ciągłych trybów 1.

n > 1

$n>1$

n > 1

$n>1$

— Wasabi