Rozbieżność obliczonego krytycznego współczynnika ściśliwości w Peng Robinson EoS

4

Peng Robinson równanie stanu daje lepsze przybliżenie krytycznego współczynnika ściśliwości , gdzie dane eksperymentalne waha się między a ( Źródło ). Ponieważ obliczona wartość powinna wynosić dla dowolnej substancji ( Źródło ), oczekiwałbym, że otrzymam raczej bliską liczbę, stosując ponownie numerycznie Równanie Stanu, biorąc pod uwagę punkt na diagramie Clapeyrona. $Z_c$ $0.24$ $0.28$ $0.307$ $(T_c,P_{c})$

Jednak gdy próbuję rozwiązać równanie stanu dla , daje ono ( Mathematica ), rozwiązanie o rozbieżności od wartości teoretycznej. $Z_c$ $Z_c=0.321379$ $4.6\%$

Również gdy używam wyraźnie innych parametrów dla tego EoS z Wikipedii , wynik numeryczny z tym samym kodem wynosi . $Z_c=0.311155$

thermodynamics chemical-engineering

— Reza Afzalan
źródło

@hazzey w PR EOS, Zcjest niezależnym parametrem. proszę sprawdzić moje rozwiązanie

— Reza Afzalan

3

Oryginalny papier Peng Robinson (1976) ma równanie ułożone sześciennie w stosunku do Z.

Z^{3} - (1 - B) Z^{2} + (A - 3 B^{2} - 2 B) Z - (A B - B^{2} - B^{3}) = 0

$Z^3-(1-B)Z^2+(A-3B^2-2B)Z-(AB-B^2-B^3)=0$

A = \frac{a P}{R^{2} T^{2}}

$A=\frac{aP}{R^2T^2}$

B = \frac{b P}{R T}

$B=\frac{bP}{RT}$

Z = \frac{P v}{R T}

$Z=\frac{Pv}{RT}$

a (T_{c}) = 0.45724 \frac{R^{2} T_{c}^{2}}{P_{c}}

$a(T_c)=0.45724\frac{R^2T_c^2}{P_c}$

b (T_{c}) = 0.07780 \frac{R T_{c}}{P_{c}}

$b(T_c)=0.07780\frac{RT_c}{P_c}$

W punkcie krytycznym A i B wynoszą odpowiednio 0,45724 i 0,07780.

Kiedy równanie sześcienne zostanie rozwiązane dla jego trzech pierwiastków w punkcie krytycznym, daje jeden rzeczywisty pierwiastek i dwa wyobrażone pierwiastki.

Z_{c} = 0.321379

$Z_c=0.321379$

Z_{c} = 0.30041 - 0.01199 i

$Z_c=0.30041-0.01199i$

Z_{c} = 0.30041 + 0.01199 i

$Z_c=0.30041+0.01199i$

Średnia z tych trzech pierwiastków wynosi:

Z_{c} = 0.30739967

$Z_c=0.30739967$

W punkcie krytycznym w systemie jest tylko jedna faza. Jednak równanie sześcienne ocenia się na podstawie tego, jak dobrze jest w znalezieniu trzech pierwiastków odpowiadających każdej fazie w układzie. Zakładam, że standardową praktyką przy porównywaniu sześciennych równań stanu jest przyjmowanie średniej z wszystkich trzech pierwiastków, niezależnie od tego, czy są one rzeczywiste, czy nie.

— morristtu
źródło

1

Z ciekawości spróbowałem z EOS Redlich-Kwong. Korzenie to 0,30492, 0,34754-0,029245i i 0,34754 + 0,029245i. Średnia z tych trzech wynosi 0,333, tak samo jak opublikowany krytyczny współczynnik ściśliwości.

— morristtu

1

Kiedy sześcienny EOS zostanie rozwiązany w punkcie krytycznym, MUSI mieć 3 równe pierwiastki, ponieważ równania parametrów zostały wyprowadzone w celu spełnienia ograniczeń krytycznych (punkt przegięcia z zerowym nachyleniem w punkcie krytycznym). Np. Dla RK Eos Zc = 1/3 (Giorgio Soave)

— Giorgio Soave
źródło

0

Krytyczny współczynnik ściśliwości Zc dla równania stanu Peng Robinsona jest podawany jako 0,307 w Walas, Phase Equilibria in Engineering Engineering. Współczynniki wynosiły 0,45724 i 0,07780. Za pomocą Excela znalazłem Zc = 0,3213. Stosując 0,457235 i 0,077796, jak podano w pracy Stryjeka i Very, Zc = 0,3111. Widać, że rozwiązanie jest bardzo wrażliwe na używane wartości. Nadal jednak nie mogę uzyskać 0,307.

— Loren Wilson
źródło

sprawdziłeś odpowiedź @morristtu?

— Reza Afzalan,

0

Ważne jest, aby zrozumieć, że punkt krytyczny czystej substancji charakteryzuje się pewnymi właściwościami. Na przykład, pierwsza i druga pochodna cząstkowa ciśnienia w stosunku do objętości molowej w stałej temperaturze znikają. Po drugie, ważne jest, aby zrozumieć, że punkt krytyczny podany przez równanie stanu (EoS) niekoniecznie jest tym samym punktem, co określony na podstawie pomiarów.

Aby znaleźć punkt krytyczny EoS Peng-Robinsona (PR), można obliczyć pierwszą i drugą pochodną cząstkową w odniesieniu do objętości molowej i poszukać danej pary objętość / temperatura, w której znikają obie pochodne cząstkowe. Robiąc to za pomocą solvera dla układów równań nieliniowych (np. Metoda Levenberga-Marquardta), znalazłem punkt krytyczny CO2 zbliżony do i , co daje ciśnienie krytyczne , co daje krytyczną ściśliwość z . $1.0T_c$ $0.89\rho_c$ $1.0p_c$ $Z_c=0.3074$

Aby uzyskać dobre wyniki, zalecam:

Jeśli używasz iteracyjnych solverów, sprawdź resztki i zbieżność metody.
Wszędzie używaj tych samych stałych i zmiennych stanu krytycznego, ponieważ rozwiązanie jest dość wrażliwe.

— Ser Jothan Chanes
źródło

1

Tak się złożyło, że natknąłem się na odpowiedź Morristtu. Wczoraj nie poświęciłem czasu na sformułowanie „pełnej” odpowiedzi - przepraszam. Chciałbym jednak usłyszeć kilka uwag na temat tego, dlaczego uzasadnione jest opuszczenie prawdziwej domeny i które trzy odrębne fazy powinny być obecne w punkcie krytycznym - dwa aspekty, które uznałem za dość mylące i być może mylące w przyjętej odpowiedzi.

— Ser Jothan Chanes,

Dziękujemy za poświęcenie czasu na edycję odpowiedzi. Wyczyściłem już nieaktualne komentarze.

— GlenH7