Jaka jest fizyczna interpretacja drugiego terminu w tensorze naprężenia lepkiego w równaniach Naviera-Stokesa?

Od jakiegoś czasu szukałem tej odpowiedzi. Przeczytałem wiele tekstów, a nawet obejrzałem kilka wykładów online, ale często to nigdy nie jest wyjaśnione i podane. Wygląda lepkość naprężenia w równaniach Naviera-Stokesa

\nabla \cdot τ = \nabla \cdot μ (\nabla \vec{u} + (\nabla \vec{u})^{T})

$\begin{equation} \nabla \cdot \tau = \nabla \cdot \mu \left(\nabla\vec{u} + (\nabla\vec{u})^T\right) \end{equation}$

Teraz termin jest dość łatwy do zrozumienia, ponieważ jest to po prostu dyfuzja prędkości, ale trudno mi wymyślić fizyczną interpretację terminu . Po rozszerzeniu tego terminu skończyłem z $\nabla \cdot \mu \nabla\vec{u}$ $\nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T$

\nabla \cdot μ (\nabla \vec{u})^{T} = (\begin{matrix} \frac{\partial}{\partial x} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial y} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial z} \nabla \cdot \vec{u} \end{matrix})

$\begin{equation} \nabla \cdot \mu (\nabla\vec{u})^T = \begin{pmatrix} \frac{\partial}{\partial x} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial y} \nabla \cdot \vec{u} \\ \frac{\partial}{\partial z} \nabla \cdot \vec{u} \end{pmatrix} \end{equation}$

co wydaje się sugerować, że ten efekt nie występuje w polu prędkości pozbawionym dywergencji, ale nadal nie mogę wymyślić ani znaleźć fizycznej intuicji na temat tego, co ten termin właściwie oznacza. Czy ktoś rozumie, co fizycznie oznacza ten termin?

mechanical-engineering fluid-dynamics fluid-mechanics

— Adam O'Brien
źródło

Dodanie: masz rację, że termin nie występuje w nieściśliwym przepływie. Wygląda na to, że uwzględnia dyfuzję pędu z powodu gradientów gęstości. Dwie sąsiednie paczki płynu mogą mieć tę samą prędkość, ale różny pęd, nie ma między nimi naprężenia ścinającego, ale pęd rozproszy się.

— Dan

To pytanie dotyczy inżynierii. Usunąłem kilka komentarzy sugerujących inne strony dotyczące tego pytania. Częściowo z powodu prośby o zastosowanie zrozumienia równania, ale także dlatego, że jest to część mechaniki kontinuum. Pamiętaj, że możesz być trochę zazdrosny o swoją stronę

Powiązana meta dyskusja: meta.engineering.stackexchange.com/questions/266/…

Punkt o występowaniu gradientu pędu z powodu niezerowego gradientu gęstości był dobry. Dziękujemy wszystkim za odpowiedzi!

— Adam O'Brien

Odpowiedzi:

Nie należy rozdzielać tych dwóch terminów w poszukiwaniu fizycznej interpretacji. Termin jest tensorem szybkości odkształcenia . Strumień pędu (lub naprężenie) wynikające z faktu, że mamy płynący płyn, jest uwzględniany przez cały termin . W równaniu NS oba terminy można traktować jako gęstości sił (siła na jednostkę objętości). Masz rację, że drugi termin to zero dla przepływów nieściśliwych (patrz tutaj ). $\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T$ $\dot{\gamma}$ $\mu\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$

AKTUALIZACJA: Całkowite wyprowadzenie tensora szybkości odkształcenia jest złożone i może być tutaj poza zakresem. Jeśli jesteś zainteresowany, odkryłem, że dobrym źródłem jest Wprowadzenie do mechaniki płynów autorstwa Whitakera. Pokrótce, przyjmijmy, że tensor reprezentuje prędkość odkształcenia i bryłę jak ruch obrotowy. Każdy tensor można rozłożyć w następujący sposób: $\nabla \vec{u}$ Pierwszy termin jest zwykle nazywany tensorem szybkości odkształcenia, jest symetryczny i można wykazać, że nie obejmuje on sztywnego ruchu obrotowego. Drugi termin jest zwykle nazywany tensorem wirowym, jest skośny symetryczny i można wykazać, że nie przyczynia się on do szybkości odkształcenia i reprezentuje sztywność jak ruch obrotowy.

\nabla \vec{u} = \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} + {(\nabla \vec{u})}^{T}) + \frac{1}{2} (\nabla \vec{u} - {(\nabla \vec{u})}^{T})

$\nabla \vec{u} = \frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}+\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)+\frac{1}{2}\left(\nabla\vec{u}-\left(\nabla\vec{u}\right)^T\right)$

— Salomon Turgman
źródło

To właśnie znalazłem, patrząc na to, ale starałem się znaleźć coś w rodzaju pochodnej tensora szybkości odkształceń przed podjęciem odpowiedzi, aby zrozumieć, dlaczego zawiera ona macierz regularną i transponującą.

— Trevor Archibald

Dziękuję, przeszedłem przez wyprowadzenie tensora szybkości odkształcenia z geometrii, jak zasugerowałeś, a to bardzo mi pomogło.

— Adam O'Brien

Zgadzam się z @sturgman, że nie należy patrzeć na poszczególne części, ale starać się zrozumieć to w kontekście ints.

Patrząc na bardzo podstawową wersję równania Naviera-Stokesa (za pomocą Notacji Einsteina ):

ρ \frac{D u_{i}}{D t} = ρ k_{i} + \frac{\partial}{\partial x_{i}} (- p + λ^{*} \frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}) + \underset{\nabla \cdot (η [(\nabla \vec{u}) + (\nabla \vec{u})^{T}])}{\underset{⏟}{\frac{\partial}{\partial x_{j}} (η [\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}])}}

$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \rho k_i + \frac{\partial}{\partial x_i} \left( -p + \lambda^*\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right) + \underbrace{\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right)}_{\nabla \,\cdot\, (\eta \, \left[ (\nabla\vec{u})+(\nabla\vec{u})^\mathrm{T}\right])}$

Część podbramowaną w oryginale można przepisać.

\frac{\partial}{\partial x_{j}} (η [\frac{\partial u_{i}}{\partial x_{j}} + \frac{\partial u_{j}}{\partial x_{i}}]) = η (\frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x_{j} \partial x_{j}} + \frac{\partial}{\partial x_{i}} [\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}])

$\frac{\partial}{\partial x_j} \left( \eta \left[ \frac{\partial u_i}{\partial x_j} + \frac{\partial u_j}{\partial x_i}\right] \right) = \eta \left( \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j} + \frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial{x_k}} \right]\right)$

Który prowadzi do:

ρ \frac{D u_{i}}{D t} = \underset{I}{\underset{⏟}{ρ k_{i}}} - \underset{II}{\underset{⏟}{\frac{\partial p}{\partial x_{i}}}} + \underset{III}{\underset{⏟}{(λ^{*} + η) \frac{\partial}{\partial x_{i}} [\frac{\partial u_{k}}{\partial x_{k}}]}} + \underset{IV}{\underset{⏟}{η [\frac{\partial^{2} u_{i}}{\partial x_{j} \partial x_{j}}]}}

$\rho\frac{\mathrm{D}u_i}{\mathrm{D}t} = \underbrace{\rho k_i}_{\text{I}} - \underbrace{\frac{\partial p}{\partial x_i}}_{\text{II}} +\underbrace{(\lambda^* + \eta)\frac{\partial}{\partial x_i}\left[\frac{\partial u_k}{\partial x_k}\right]}_{\text{III}} + \underbrace{\eta \left[ \frac{\partial^2u_i}{\partial x_j \partial x_j}\right]}_{\text{IV}}$

W notacji symbolicznej powinno to wyglądać następująco:

ρ \frac{D \vec{u}}{D t} = ρ \vec{k} - \nabla p + (λ^{*} + η) \nabla (\nabla \cdot \vec{u}) + η \nabla \cdot \nabla \vec{u}

$\rho\frac{\mathrm{D}\vec{u}}{\mathrm{D}t} = \rho\vec{k} - \nabla p + (\lambda^* + \eta)\nabla(\nabla\cdot\vec{u}) + \eta\nabla\cdot\nabla\vec{u}$

$\text{III}$ $\lambda^*$ $-2/3 \eta$

$\text{III}$ $\text{IV}$ $\text{III}$

— rul30
źródło

Przepraszam :-( To nie był mój zamiar.

— Peter - Przywróć Monikę