Jak rozwiązać analitycznie to równanie? [Zamknięte]

Muszę rozwiązać następne równanie i znaleźć : $x_1$

\frac{d (x_{0} x_{1})}{d z} = - β \frac{d x_{0}}{d z} \frac{1}{r - z (r - 1)}

$\dfrac{d(x_0x_1)}{dz}=-\beta\dfrac{dx_0}{dz}\dfrac{1}{r-z(r-1)}$

gdzie , , są zmiennymi, a , są stałymi. $x_0$ $x_1$ $z$ $r$ $\beta$

Czy w tym momencie można pomnożyć całe równanie przez , czy stracę trochę informacji z powodu therm ? $dz$ $\dfrac{1}{r-z(r-1)}$

Z drugiej strony mam wyrażenie dla , to zależy od : $x_0=f(z)$ $z$

$x_0=\left(1+\dfrac{\beta}{r-1}\left( 1-\dfrac{1}{(r-z(r-1))^3} \right)\right)^{0.5}$

Po której stronie muszę przejść, aby zintegrować to równanie?

fluid-mechanics fluid

— przezwisko
źródło

Twoja notacja nie jest bardzo jasna. Czy jest stałą czy zmienną? Jeśli jest to zmienna, a stosując zasadę łańcucha ...

x_{1}

$x_1$

d (x_{0} x_{1}) / d z = x_{1} d x_{0} / d z + x_{0} d x_{1} / d z

$d(x_0x_1)/dz = x_1\,dx_0/dz + x_0\, dx_1/dz$

— alephzero

Zredagowałem pytanie i dodałem informacje po pierwszym równaniu.

— pseudonim

Co sprawia, że myślisz, że musisz wybrać stronę? Czego chcesz dla swojego ostatecznego wyrażenia? Na przykład, czy jesteś za lub lub ? Analogicznie, w przypadku pocisku nad płaszczyzną, zwykle chcemy znaleźć jego wysokość jako funkcję jego położenia .

x_{o} (x_{1}, z)

$x_o(x_1, z)$

x_{1} (x_{o}, z)

$x_1(x_o, z)$

z (x_{o}, x_{1})

$z(x_o, x_1)$

z

$z$

x, y

$x, y$

— Jeffrey J Weimer

Zdefiniuj . Następnie oryginalne równanie można zapisać jako gdzie Chcemy znaleźć analitycznie, rozwiązując (1). $\alpha := r - 1$

(1) \frac{d x_{1}}{d z} = [x_{1} + \frac{β}{r - α z}] [- \frac{1}{x_{0}} \frac{d x_{0}}{d z}]

$(1) \quad \dfrac{dx_1}{dz} = \left[x_1+\dfrac{\beta}{r-\alpha z}\right]\left[-\dfrac{1}{x_0}\dfrac{dx_0}{dz}\right]$

(2) x_{0}^{2} = [1 + \frac{β}{α}] - [\frac{β}{α} \frac{1}{(r - α z)^{3}}]

$(2) \quad x_0^2 = \left[1 + \dfrac{\beta}{\alpha}\right] -\left[\dfrac{\beta}{\alpha}\dfrac{1}{(r-\alpha z)^3} \right]$

x_{1}

$x_1$

Różnicowanie (2) daje Dlatego też ostatni czynnik w (1) można zapisać jako Teraz, używając (2), Możemy teraz zapisać (4) jako

(3) \frac{d x_{0}}{d z} = - \frac{1}{2 x_{0}} \frac{3 β}{(r - α z)^{4}}

$(3) \quad \dfrac{dx_0}{dz} = -\dfrac{1}{2x_0}\dfrac{3\beta}{(r-\alpha z)^4}$

(4) - \frac{1}{x_{0}} \frac{d x_{0}}{d z} = \frac{3}{2} \frac{β^{2}}{x_{0}^{2} (r - α z)^{4}}

$(4) \quad -\dfrac{1}{x_0} \dfrac{dx_0}{dz} = \dfrac{3}{2}\dfrac{\beta^2}{x_0^2(r-\alpha z)^4}$

\begin{aligned} \frac{x_{0}^{2} (r - α z)^{4}}{β^{2}} & = \frac{1}{β^{2}} (1 + \frac{β}{α}) (r - α z)^{4} - \frac{β}{α} (r - α z) \\ = \frac{r - α z}{α β^{2}} [(α + β) (r - α z)^{3} - β] \end{aligned}

$\begin{align} \frac{x_0^2(r-\alpha z)^4}{\beta^2} & = \frac{1}{\beta^2} \left(1 + \dfrac{\beta}{\alpha}\right)(r-\alpha z)^4 - \dfrac{\beta}{\alpha}(r-\alpha z) \\ & = \dfrac{r-\alpha z}{\alpha\beta^2} \left[\left(\alpha + \beta\right)(r-\alpha z)^3 - \beta\right] \end{align}$

(5) - \frac{1}{x_{0}} \frac{d x_{0}}{d z} = (\frac{3 α β}{2}) (\frac{β}{r - α z}) [\frac{1}{(α + β) (r - α z)^{3} - β}]

$(5) \quad -\dfrac{1}{x_0} \dfrac{dx_0}{dz} = \left(\dfrac{3\alpha\beta}{2}\right) \left(\dfrac{\beta}{r-\alpha z}\right) \left[\dfrac{1}{\left(\alpha + \beta\right)(r-\alpha z)^3 - \beta}\right]$ Wtyczka (5) do (1), aby uzyskać Dokonaj zmiany zmiennych, definiując . Następnie Możemy teraz napisać (6) jako

(6) \frac{d x_{1}}{d z} = \frac{3 α β}{2} [x_{1} + \frac{β}{r - α z}] (\frac{β}{r - α z}) [\frac{1}{(α + β) (r - α z)^{3} - β}]

$(6) \quad \dfrac{dx_1}{dz} = \dfrac{3\alpha\beta}{2}\left[x_1+\dfrac{\beta}{r-\alpha z}\right] \left(\dfrac{\beta}{r-\alpha z}\right) \left[\dfrac{1}{\left(\alpha + \beta\right)(r-\alpha z)^3 - \beta}\right]$

y := r - α z

$y := r - \alpha z$

\frac{d x_{1}}{d z} = \frac{d x_{1}}{d y} \frac{d y}{d z} = - α \frac{d x_{1}}{d y}

$\frac{dx_1}{dz} = \frac{dx_1}{dy} \dfrac{dy}{dz} = -\alpha \frac{dx_1}{dy}$

(7) \frac{d x_{1}}{d y} = - \frac{3 β}{2} [x_{1} + \frac{β}{y}] [\frac{β}{(α + β) y^{4} - β y}]

$(7) \quad \dfrac{dx_1}{dy} = -\dfrac{3\beta}{2}\left[x_1+\dfrac{\beta}{y}\right] \left[\dfrac{\beta}{\left(\alpha + \beta\right)y^4 - \beta y}\right]$ lub Możesz teraz rozwiązać ODE przy użyciu standardowych metod, np . Http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/Linear.aspx . Rozwiązanie to złożona mieszanka pierwiastków kwadratowych, kłód i arktanów.

(8) \frac{d x_{1}}{d y} = - \frac{3 β^{2}}{2} [\frac{x_{1}}{(α + β) y^{4} - β y} + \frac{β}{(α + β) y^{5} - β y^{2}}]

$(8) \quad \dfrac{dx_1}{dy} = -\dfrac{3\beta^2}{2}\left[\dfrac{ x_1}{\left(\alpha + \beta\right)y^4 - \beta y} + \dfrac{\beta}{\left(\alpha + \beta\right)y^5 - \beta y^2}\right]$

— Biswajit Banerjee
źródło

Próbowałem wyodrębnić warunki i z terminów w nawiasach kwadratowych, a następnie zintegrować, ale to nie działa, ponieważ zawsze niektóre z tych terminów? Czy masz jakieś inne porady, to tylko to zrozumiałem z linku?

x_{1}

$x_1$

\frac{1}{y}

$\dfrac{1}{y}$

— pseudonim

ODE ma postać . Ponieważ być może nie znasz (lub zapomniałeś) rozwiązywania zwykłych równań różniczkowych, proponuję przestudiować metody wyjaśnione w linku w mojej odpowiedzi. Rozwiązanie analityczne wymaga dużej liczby kroków.

d x / d y + a (y) x + b (y) = 0

$dx/dy + a(y) x + b(y) = 0$

— Biswajit Banerjee