Pochodne dla estymacji częstotliwości pomostowej w Eurokodach

Eurokody podają następujące równanie do oszacowania „mostu po prostu podpartego podlegającego tylko zginaniu” *:

$$n_0 = \frac{17.75}{\sqrt{\delta_0}}$$

Gdzie

• to częstotliwość naturalnaw hercach$n_0$
• to ugięcie w połowie zakresu przy stałych działaniachw mm$\delta_0$

Wygląda na to, że równanie zostało zerwane z cienkiego powietrza i nie ma wyjaśnienia, skąd pochodzi stała 17.75. Jako inżynier nie chcę używać formuły, której nie rozumiem, ale poza tym pomocne byłoby poznanie podstaw tej formuły, aby zobaczyć, czy można ją zmienić tak, aby działała z innymi warunkami wsparcia.

Czy ktoś może podać pochodzenie / podstawowe pochodzenie tego związku?

* Pełne odniesienie to: EN 1991-2: 2003 6.4.4 [Uwaga 8] (równanie 6.3), jeśli to pomaga.

Jeśli uprościmy cały most w cienką wiązkę 2D o stałym rozmiarze przekroju, bez wewnętrznego tłumienia i podlegając jedynie małym odchyleniom w pionie, wówczas częstotliwość naturalna jest określana przez prosty ruch harmoniczny:

$$n_0 = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{ \frac{ k } { m } }$$

Gdzie jest częstotliwością naturalną, k jest stosunkiem siły regeneracyjnej do ugięcia (równoważna „sztywność sprężyny”), a m jest masą na jednostkę długości belki.$n_0$$k$$m$

W belce siłą odbudowującą jest ścinanie wewnętrzne spowodowane ugiętym kształtem. Ponieważ siła wykazywana przez wiązkę jest proporcjonalna do szybkości zmiany ścinania, która jest związana ze sztywnością ( ) i szybkością zmiany momentu , można ją pokazać (uwaga: ugięcie jest proporcjonalne do długości wiązka), że:$EI$

$$k = \alpha \frac{ EI } { L^4 }$$

$E$$I$$L$$\alpha$

Cała literatura, którą widziałem, wyraża to w sposób wygodniejszy dla równania częstotliwości:

$$k = \left( \frac{ K }{L^2} \right)^2 (EI)$$

Zastępowanie z powrotem,

$$n_0 = \frac{ K }{ 2 \pi L^2 } \sqrt{ \frac{ EI } {m} }$$

$K$

$K$$EI$$k$

Aby to zrobić, wykorzystali następującą relację:

$$\delta_0 = C \frac { w L^4 } { EI }$$

$\delta_0$$C$$w$

$w = gm$$g$

Dlatego (ponownie zaaranżowany :)

$$\sqrt { \frac { EI } { m } } = L^2 \sqrt { 9810 } \frac { \sqrt { C } } { \sqrt { \delta_0 } }$$

A więc:

$$n_0 = \frac { 15.764 K \sqrt { C } } { \sqrt { \delta_0 } }$$

$K$$C$

W przypadku prostej belki:

$$K = \pi ^ 2 \text{ and } C = \frac { 5 } { 384 }$$ $$15.764 K \sqrt { C } = 17.75$$ $$n_0 = \frac{ 17.75 } { \sqrt { \delta } }$$

Oto możliwa odpowiedź.

Znalazłem ten dokument (nie jestem pewien dokładnego źródła), który zawiera powiązane pochodzenie:

$$n_0=\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}$$ $k$$m$

$$k=\frac{\text{load}}{\text{deflection}}=\frac{F}{\delta}$$ $F$$\delta$ $$n_0=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{F}{m\delta}}=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{ma}{m \delta}}=\frac{1}{2 \pi}\sqrt{\frac{a}{\delta}}$$ $$n_0=5.03 \sqrt{\frac{a}{\delta}}$$ $a=12.4382$

Więcej informacji na ten temat można znaleźć w książce Ladislava Fryby „Dynamika mostów kolejowych” (1996). Jeśli przeczytasz rozdział 4, zobaczysz wzór 4.53 na stronie 92:

$$f_1 = 17.753 v_{st}^{-1/2}$$

$f_1$$v_{st}$

To równanie wynika ze wzoru na ugięcie w środkowej części prostej podpartej belki obciążonej równomiernie rozłożonym obciążeniem μg

$$v_{st} = {5 \above 1pt 384} {\mu gl^4 \above 1pt EI}$$

który jest podstawiony w

$$f_j = {\lambda_j^4 \above 1pt l^4} ({EI \above 1pt \mu})^{1/2}$$

$$\lambda_1 = \pi$$

Podstawiając te równania za pomocą g = 9,81 m / s ^ 2 daje

$$f_1 = {\pi \above 1pt 2} ({5 \above 1pt 384} g)^{1/2} v_{st}^{-1/2}$$

Ocena numeryczna tego równania daje pożądane równanie.

Dynamika dla inżynierów takich jak ja, generalnie zajmujących się statyką, może być obarczona łatwymi do popełnienia błędami i nieporozumieniami. Ta formuła jest bardzo przydatna w przypadku podpartych belek, ponieważ można ją szybko powiązać z zastosowanymi obciążeniami własnymi i częścią obciążenia pod napięciem (zwykle 10%) bez konieczności komplikowania.

Również wsporniki mogą używać podobnej stałej (19,8 z udl, 15,8 z końcowym obciążeniem). Wszystko psuje się dzięki ciągłym wiązkom i ramom.

Wbudowałem kontrolę naturalnej częstotliwości ze wszystkimi projektami wiązek, aby ją śledzić. Na przykład dla konstrukcji drewnianych celem jest 8 Hz, a dla betonowych podłóg / stalowych ram 4-6 Hz - jako pierwsze przejście.

Istnieją również przybliżone i gotowe metody oceny odpowiedzi dynamicznych. Muszę powiedzieć, że dynamika wciąż mi umyka i myli mnie i zawsze będzie! Pozostaję więc tak prosty, jak to możliwe.