Jak obliczyć Jacobiego równań ciągłości elektron / dziura dla półprzewodników w odniesieniu do potencjału przy zastosowaniu metody Newtona?

Są to dyskretne równania dyfuzji dryfu zaczerpnięte z książki „Analiza i symulacja urządzeń półprzewodnikowych” Siegfrieda Selberherra. Równanie ciągłości elektronów jest następujące:

\begin{aligned} ((Δ_{jot - 1}^{y} + Δ_{jot}^{y}) / 2) Δ_{ja}^{x}) . {re}_{ja + 1 / 2), jot}^{n} . b ((φ_{ja + 1, jot} - φ_{ja, jot}) / {V.}_{T.}) . n_{ja + 1, jot} \\ + & ((Δ_{jot - 1}^{y} + Δ_{jot}^{y}) / 2) Δ_{ja - 1}^{x}) . {re}_{ja - 1 / 2), jot}^{n} . b ((φ_{ja - 1, jot} - φ_{ja, jot}) / {V.}_{T.}) . n_{ja - 1, jot} \\ - & [(((Δ_{jot - 1}^{y} + Δ_{jot}^{y}) / 2) Δ_{ja}^{x}) . {re}_{ja + 1 / 2), jot}^{n} . b ((φ_{ja, jot} - φ_{ja + 1, jot}) / {V.}_{T.})) \\ + & (((Δ_{jot - 1}^{y} + Δ_{jot}^{y}) / 2) Δ_{ja - 1}) . {re}_{ja - 1 / 2), jot}^{n} . b ((φ_{ja, jot} - φ_{ja - 1, jot}) / {V.}_{T.})) \\ + & (((Δ_{ja - 1}^{x} + Δ_{ja}^{x}) / 2) Δ_{jot}^{y}) . {re}_{ja, jot + 1 / 2)}^{n} . b ((φ_{ja, jot} - φ_{ja, jot + 1}) / {V.}_{T.})) \\ + & (((Δ_{ja - 1}^{x} + Δ_{ja}^{x}) / 2) Δ_{jot - 1}^{y}) . {re}_{ja, jot - 1 / 2)}^{n} . b ((φ_{ja, jot} - φ_{ja, jot - 1}) / {V.}_{T.}))] . n_{ja, jot} \\ + & ((Δ_{ja - 1}^{x} + Δ_{ja}^{x}) / 2) Δ_{jot}^{y}) . {re}_{ja, jot + 1 / 2)}^{n} . b ((φ_{ja, jot + 1} - φ_{ja, jot}) / {V.}_{T.}) . n_{ja, jot + 1} \\ + & ((Δ_{ja - 1}^{x} + Δ_{ja}^{x}) / 2) Δ_{jot - 1}^{y}) . {re}_{ja, jot - 1 / 2)}^{n} . b ((φ_{ja, jot - 1} - φ_{ja, jot}) / {V.}_{T.}) . n_{ja, jot - 1} \\ = & R_{ja, jot}^{mi fa fa mi do T. ja V. mi} . ((Δ_{ja - 1}^{x} + Δ_{ja}^{x}) / 2)) . ((Δ_{jot - 1}^{y} + Δ_{jot}^{y}) / 2)) \end{aligned}

$\begin{align} &((\Delta_{j-1}^y+\Delta_j^y)/2\Delta_i^x).D_{i+1/2,j}^n.B((\varphi_{i+1,j}-\varphi_{i,j})/V_T).n_{i+1,j} \\ +&((\Delta_{j-1}^y+\Delta_j^y)/2\Delta_{i-1}^x).D_{i-1/2,j}^n.B((\varphi_{i-1,j}-\varphi_{i,j})/V_T).n_{i-1,j} \\ -&[(((\Delta_{j-1}^y+\Delta_j^y)/2\Delta_i^x).D_{i+1/2,j}^n.B((\varphi_{i,j}-\varphi_{i+1,j})/V_T)) \\ +&(((\Delta_{j-1}^y+\Delta_j^y)/2\Delta_{i-1}).D_{i-1/2,j}^n.B((\varphi_{i,j}-\varphi_{i-1,j})/V_T)) \\ +&(((\Delta_{i-1}^x+\Delta_i^x)/2\Delta_j^y).D_{i,j+1/2}^n.B((\varphi_{i,j}-\varphi_{i,j+1})/V_T)) \\ +&(((\Delta_{i-1}^x+\Delta_i^x)/2\Delta_{j-1}^y).D_{i,j-1/2}^n.B((\varphi_{i,j}-\varphi_{i,j-1})/V_T))].n_{i,j} \\ +&((\Delta_{i-1}^x+\Delta_i^x)/2\Delta_j^y).D_{i,j+1/2}^n.B((\varphi_{i,j+1}-\varphi_{i,j})/V_T).n_{i,j+1} \\ +&((\Delta_{i-1}^x+\Delta_i^x)/2\Delta_{j-1}^y).D_{i,j-1/2}^n.B((\varphi_{i,j-1}-\varphi_{i,j})/V_T).n_{i,j-1} \\ =&R_{i,j}^{EFFECTIVE}.((\Delta_{i-1}^x+\Delta_i^x)/2).((\Delta_{j-1}^y+\Delta_j^y)/2) \end{align}$

Równanie ciągłości otworu jest następujące:

\begin{aligned} ((Δ_{j - 1}^{y} + Δ_{j}^{y}) / 2 Δ_{i}^{x}) . D_{i + 1 / 2, j}^{p} . B ((φ_{i, j} - φ_{i + 1, j}) / V_{T}) . p_{i + 1, j} \\ + & ((Δ_{j - 1}^{y} + Δ_{j}^{y}) / 2 Δ_{i - 1}^{x}) . D_{i - 1 / 2, j}^{p} . B ((φ_{i, j} - φ_{i - 1, j}) / V_{T}) . p_{i - 1, j} \\ - & [(((Δ_{j - 1}^{y} + Δ_{j}^{y}) / 2 Δ_{i}^{x}) . D_{i + 1 / 2, j}^{p} . B ((φ_{i + 1, j} - φ_{i, j}) / V_{T})) \\ + & (((Δ_{j - 1}^{y} + Δ_{j}^{y}) / 2 Δ_{i - 1}^{x}) . D_{i - 1 / 2, j}^{p} . B ((φ_{i - 1, j} - φ_{i, j}) / V_{T})) \\ + & (((Δ_{i - 1}^{x} + Δ_{i}^{x}) / 2 Δ_{j}^{y}) . D_{i, j + 1 / 2}^{p} . B ((φ_{i, j + 1} - φ_{i, j}) / V_{T})) \\ + & (((Δ_{i - 1}^{x} + Δ_{i}^{x}) / 2 Δ_{j - 1}^{y}) . D_{i, j - 1 / 2}^{p} . B ((φ_{i, j - 1} - φ_{i, j}) / V_{T}))] . p_{i, j} \\ + & ((Δ_{i - 1}^{x} + Δ_{i}^{x}) / 2 Δ_{j}^{y}) . D_{i, j + 1 / 2}^{p} . B ((φ_{i, j} - φ_{i, j + 1}) / V_{T}) . p_{i, j + 1} \\ + & ((Δ_{i - 1}^{x} + Δ_{i}^{x}) / 2 Δ_{j - 1}^{y}) . D_{i, j - 1 / 2}^{p} . B ((φ_{i, j} - φ_{i, j - 1}) / V_{T}) . p_{i, j - 1} \\ = & R_{i, j}^{E F F E C T I V E} . ((Δ_{i - 1}^{x} + Δ_{i}^{x}) / 2) . ((Δ_{j - 1}^{y} + Δ_{j}^{y}) / 2 \end{aligned}

$\begin{align} &((\Delta_{j-1}^y+\Delta_j^y)/2\Delta_i^x).D_{i+1/2,j}^p.B((\varphi_{i,j}-\varphi_{i+1,j})/V_T).p_{i+1,j} \\ +&((\Delta_{j-1}^y+\Delta_j^y)/2\Delta_{i-1}^x).D_{i-1/2,j}^p.B((\varphi_{i,j}-\varphi_{i-1,j})/V_T).p_{i-1,j} \\ -&[(((\Delta_{j-1}^y+\Delta_j^y)/2\Delta_i^x).D_{i+1/2,j}^p.B((\varphi_{i+1,j}-\varphi_{i,j})/V_T)) \\ +&(((\Delta_{j-1}^y+\Delta_j^y)/2\Delta_{i-1}^x).D_{i-1/2,j}^p.B((\varphi_{i-1,j}-\varphi_{i,j})/V_T)) \\ +&(((\Delta_{i-1}^x+\Delta_i^x)/2\Delta_j^y).D_{i,j+1/2}^p.B((\varphi_{i,j+1}-\varphi_{i,j})/V_T)) \\ +&(((\Delta_{i-1}^x+\Delta_i^x)/2\Delta_{j-1}^y).D_{i,j-1/2}^p.B((\varphi_{i,j-1}-\varphi_{i,j})/V_T))].p_{i,j} \\ +&((\Delta_{i-1}^x+\Delta_i^x)/2\Delta_j^y).D_{i,j+1/2}^p.B((\varphi_{i,j}-\varphi_{i,j+1})/V_T).p_{i,j+1} \\ +&((\Delta_{i-1}^x+\Delta_i^x)/2\Delta_{j-1}^y).D_{i,j-1/2}^p.B((\varphi_{i,j}-\varphi_{i,j-1})/V_T).p_{i,j-1} \\ =&R_{i,j}^{EFFECTIVE}.((\Delta_{i-1}^x+\Delta_i^x)/2).((\Delta_{j-1}^y+\Delta_j^y)/2 \end{align}$ gdzie i są odstępami siatki dla siatki różnic skończonych wzdłuż kierunków X i Y. , są współczynnikami dyfuzji elektronów i dziur. to funkcja Bernoulliego, a to napięcie termiczne.

Δ_{i}

$\Delta_i$

Δ_{j}

$\Delta_j$

D_{n}

$D_n$

D_{p}

$D_p$

B (x) = x / (e^{x} - 1)

$B(x) = x/(e^x-1)$

V_{T}

$V_T$

Również gdzie jest skutecznym terminem generacji / rekombinacji. , , i to warunki SRH, Augera, radiacyjnej i rekombinacji jonizacji uderzeniowej.

R^{E F F E C T I V E} = R^{S R H} + R^{A U} + R^{O P T} + R^{I I}

$R^{EFFECTIVE} = R^{SRH} + R^{AU} + R^{OPT} + R^{II}$

R^{E F F E C T I V E}

$R^{EFFECTIVE}$

R^{S R H}

$R^{SRH}$

R^{A U}

$R^{AU}$

R^{O P T}

$R^{OPT}$

R^{I I}

$R^{II}$

Teraz stosuję schemat iteracyjny sprzężonego Newtona, aby rozwiązać powyższe równania, w których muszę je rozróżnić. Rozróżniając potencjalne „ ”, zauważyłem, że pojawia się w trzech miejscach, a mianowicie: $\varphi$ $\varphi$

Mobilność elektronowa / dziura w polu wysokim, i ; $\mu_{n,p}^{high}=\mu_{n,p}^{low}⁄ [1 + (\mu_{n,p}^{LICN}.E_{n,p}/v_{n,p}^{sat})^{\beta_{n,p}}]^{1/\beta_{n,p}}$ $D_{n,p} = \mu_{n,p}.V_T$
Funkcja Bernoulliego, gdzie „x” oznacza tutaj różnicę między potencjałami w sąsiednich punktach siatki i $B(x)$
Jonizacja uderzeniowa , , gdzie i oznaczają elektron / dziurę odpowiednio prądy i pole elektryczne. Aktualne warunki składają się z potencjalnych terminów, jak w: , , $R^{II} = -\alpha_n.(|J_{i,j}^n|/q) - \alpha_p.(|J_{i,j}^p|/q)$ $\alpha_n = a_n.e^{-b_n/|E_{i,j}|}$ $\alpha_p = a_p.e^{-b_p/|E_{i,j}|}$ $J^{n,p}$ $E$ $J_{i+1/2,j}^{nx}=D_{i+1/2,j}^n.[B(\frac{\varphi_{i,j}-\varphi_{i+1,j}}{V_T}).n_{i,j} - B(\frac{\varphi_{i+1,j}-\varphi_{i,j}}{V_T}).n_{i+1,j}]/\Delta_i^x \rightarrow (31)$ $J_{i,j+1/2}^{ny}=D_{i,j+1/2}^n.[B(\frac{\varphi_{i,j}-\varphi_{i,j+1}}{V_T}).n_{i,j} - B(\frac{\varphi_{i,j+1}-\varphi_{i,j}}{V_T}).n_{i,j+1}]/\Delta_j^y \rightarrow (32)$ $J_{i+1/2,j}^{px}=D_{i+1/2,j}^p.[B(\frac{\varphi_{i,j}-\varphi_{i+1,j}}{V_T}).p_{i+1,j} - B(\frac{\varphi_{i+1,j}-\varphi_{i,j}}{V_T}).p_{i,j}]/\Delta_i^x \rightarrow (33)$ , $J_{i,j+1/2}^{py}=D_{i,j+1/2}^p.[B(\frac{\varphi_{i,j}-\varphi_{i+1,j}}{V_T}).p_{i,j+1} - B(\frac{\varphi_{i+1,j}-\varphi_{i,j}}{V_T}).p_{i,j}]/\Delta_j^y \rightarrow (34)$

Zasadniczo muszę je rozróżnić, aby znaleźć Jacobiego względem . Problem pojawia się, gdy różnica między potencjałami wynosi zero. Oznacza to, że całe równanie elektron / dziura staje się stałe, gdy różnica potencjałów wynosi zero. Zatem Jacobi jest również zerowy. $\varphi$

Oznaczałoby to, że końcowa macierz jakobowska miałaby całe kolumny i rzędy złożone z zer, co czyni macierz osobliwą i nie jest możliwe rozwiązanie pojedynczej macierzy.

Czy jest to właściwe podejście do rozwiązywania przy użyciu metody Newtona. Co powinienem zrobić, gdy różnica potencjałów wynosi zero?

— P. Biswas
źródło

czy stos matematyki byłby lepszym miejscem? czy fizyka?

— Solar Mike

Sugeruję użycie automatycznego różnicowania do obliczenia jakobianu.

— Biswajit Banerjee