Zasada pracy wirtualnej a twierdzenie Castigliano (drugie)

Zajrzałem do Internetu i do literatury, jednak nie znalazłem dobrego porównania dwóch różnych metod. Oba są używane do określania przemieszczeń i nachyleń (obrotu o theta) w punkcie kontinuum. Były wykorzystuje wirtualną siłę jednostkową, która jest równa energii odkształcenia w elemencie (gdy pomnożona przez przemieszczenie zainteresowania), a druga wykorzystuje różnicę w odniesieniu do siły wirtualnej, która dąży do zera.

Który jest bardziej wydajny, a który dokładniejszy? Dlaczego miałoby się wybierać dzieło wirtualne zamiast Castigliano lub odwrotnie?

Krótka odpowiedź: Castigliano zapewnia szybkie dokładne rozwiązania w kilku kluczowych punktach w dużej złożonej strukturze, podczas gdy praca wirtualna daje użyteczne przybliżone modele złożonych systemów, które w innym przypadku byłyby nierozwiązywalne.

Twierdzenie Castigliano i praca wirtualna są dwiema stronami tej samej monety matematycznej. Metody Castigliano poprzedzają pracę wirtualną, ale zaczynają podstawowe zasady pracy wirtualnej. Stanowi prostszą połowę pracy wirtualnej, gdzie przemieszczenia można rozwiązać za pomocą analizy liniowej, ale używamy pracy wirtualnej, aby szybciej uzyskać odpowiedź. Praca wirtualna jest opisana dla drugiej połowy, w której nie mogliśmy rozwiązać przesunięć za pomocą analizy liniowej (bez rozwiązywania równań różniczkowych i rzucania szeregu współczynników), a zamiast tego polegamy na pracy wirtualnej, aby znaleźć dobrą przybliżoną odpowiedź, która pasuje do wielu warunki brzegowe.

Jak wspomniano powyżej, w większości zastosowań tego, co inżynierowie stosują w metodzie Castigliano, główną zasadą jest wykorzystanie tego, co wiadomo z teorii liniowej sprężystej belki lub kratownicy (może być stosowane w wielu aspektach dla tych struktur), i szybkie rozwiązanie struktury poddane bardzo nietypowym siłom. Równanie sił jest napisany z punktu widzenia wielu nieznanych sił statycznie zdeterminowanej strukturze, a następnie nieznane siły są usuwane. Zastosowano jedną z nieznanych (lub nietypowych, ale znanych) sił oraz modele i tabele liniowezastosowane do pojedynczych sił mogą szybko powiedzieć nam rzeczywiste przemieszczenie w różnych punktach konstrukcji. Pojedyncza siła może dać 500 niutonów siły w punkcie reakcji na niuton oryginalnej siły lub 5 niutonów. To jest rejestrowane. Nieznana siła jest usuwana, a nowa siła jest dodawana i testowana. Gdy wszystkie te reakcje i siły zostaną znalezione, metoda Castigliano może następnie ustalić, jakie będzie końcowe ugięcie dla całego stanu obciążenia, czego nie można znaleźć w tabeli rozwiązanych stanów obciążenia. Jest to szczególnie przydatne w przypadku, gdy istnieją elastyczne podpory, które odchylają się w zależności od siły, jaką przykładają, co dzieje się w każdym rzeczywistym systemie. Jedynym ograniczeniem tego podejścia jest szczegółowość tabel i zasada superpozycji. Tak długo, jak system można leczyć za pomocą superpozycji,

Zasada pracy wirtualnej wykracza poza tę zasadę - zamiast tego należy po prostu napisać równanie dla przemieszczeń o nieznanych współczynnikach. Może to być rozwiązanie dla rządzącej DE, lub może być całkowicie niedokładne, ale musi być w stanie rozwiązać wszystkie warunki brzegowe (w punkcie A przesunięcie wynosi 0 itd.). W przypadku belek, biorąc drugą pochodną równania przesunięcia, uzyskuje się równanie momentu, przyjmując trzeci wynik w równaniu ścinania. W przypadku płyt i innego kontinuum przemieszczenie jest odkształceniem razy długość. Wszelkie warunki naprężenia można zapisać jako tensor sztywnościrazy obciążenie, więc cała wirtualna praca może być wyrażona w zasadzie w postaci naszego nieznanego równania przesunięcia. Stąd praca polega na rozwiązaniu tych nieznanych współczynników, tak aby zminimalizować pracę wirtualną (zarówno w energii potencjalnej dla układów statycznych, jak i sumy energii potencjalnej i energii kinetycznej dla układów dynamicznych).

Przykładem tego jest często równanie używane do analizy elementów skończonych, w którym zamiast normalnie kwartalnego równania przesunięcia stosuje się równanie sześcienne do przesunięcia. Dzieje się tak, ponieważ mamy co najwyżej dwa stopnie swobody dla obrotu i dwa stopnie swobody dla przemieszczeń, więc możemy mieć tylko cztery nieznane współczynniki - równanie sześcienne. Zauważ, że oznacza to, że MES musi następnie podzielić obciążenie rozproszone na obciążenia punktowe, które pozwalają równaniu sześciennemu mieć takie same ugięcia, jak pierwotny kwartet. To powoduje, że pojedyncze elementy nie wykazują takich samych odchyleń w połowie zakresu jak oryginalny kwartet:

Nawet bez superpozycji obowiązuje zasada pracy wirtualnej, o ile tensor sztywności uwzględnia zmianę naprężenia w odniesieniu do obciążenia. Może to wymagać niezależnego nieznanego równania naprężenia , które można zastosować zamiast tensora sztywności. Tego rodzaju odmiany są używane w wielu dziedzinach przez inżynierów, którzy muszą tworzyć modele matematyczne swoich systemów, które stanowią podstawę praktycznie wszystkich metod elementów skończonych. Podsumowując, Castigliano zapewnia szybkie dokładne rozwiązania w kilku kluczowych punktach w dużej złożonej strukturze, podczas gdy praca wirtualna daje użyteczne przybliżone modele złożonych systemów, które w innym przypadku byłyby nierozwiązywalne.