W przypadku belki podtrzymywanej na obu końcach masą w środku moduł sprężystości podany jest przez:
$$ E_b = frac {F L ^ 3} {48I d} $$
z I jako momentem obszaru
$$ I = frac {1} {12} wh ^ 3 $$
Jak zmienia się wyrażenie modułu, jeśli mamy jeden stały koniec, jak na poniższym diagramie?
ja72 stwierdza w tej odpowiedzi że
$$ E_b = frac {F L ^ 3} {3I d} $$
Ale nie mam jasności co do wyprowadzenia.
Odpowiedzi:
Podstawowym równaniem wiązki jest
$$ dfrac {tekst {d} ^ 2} {tekst {d} x ^ 2} z lewej (EIfrfr {tekst} d {2}} {tekst {d} x ^ 2} ) = q $$
Co zasadniczo przekłada się na „czwartą pochodną funkcji odchylania jest równa zastosowanemu obciążeniu”. w rzeczywistości
Wszystkie wyniki ugięcia uzyskuje się za pomocą tego równania.
Aby uprościć tę odpowiedź, zacznę od drugiej pochodnej, momentu zginającego, ponieważ (i po niej) jest trywialny do znalezienia przez inspekcję.
W przypadku belki o prostym podparciu ze skoncentrowanym obciążeniem w środku rozpiętości, mamy:
$$ {wyrównaj} M & amp; = rozpocznij {przypadki} dfrac {Fx} {2} & amp; tekst {for} x w [0, dfrac {L} {2}] dfrac {F (L-x)} {2} i tekst {for} x w [dfrac {L} {2}, L] end {przypadki} EI theta = int M tekst {d} x & amp; = rozpocznij {przypadki} dfrac {Fx ^ 2} {4} + C_1 i amp; tekst {for} x w [0, dfrac {L} {2}] dfrac {FLx} {2} - dfrac {Fx ^ 2} {4} + C_2 i amp; tekst {for} x w [dfrac {L} {2}, L] end {przypadki} Delta EI = EI int theta {d} x & amp; = początek {przypadki} dfrac {Fx ^ 3} {12} + C_1x + C_3 & amp; tekst {for} x w [0, dfrac {L} {2}] dfrac {FLx ^ 2} {4} - dfrac {Fx ^ 3} {12} + C_2x + C_4 & amp; tekst {for} x w [dfrac {L} {2}, L] koniec {przypadki} end {align} $$
Wiemy, że $ delta (0) = delta (L) = 0 $ i ta $ tta w lewo (dfrac {L} {2} ^ + w prawo) = theta w lewo (frfr {L} {2} ^ - right) $ i $ delta left (dfrac {L} {2} ^ + right) = delta left (dfrac {L} {2} ^ - right) $ ( to znaczy ugięcie i kąt są ciągłe przy $ dfrac {L} {2} $).
Więc rozwiązujesz to:
$$ {zbieraj} delta (0) = C_3 = 0 delta (L) = dfrac {FL ^ 3} {4} - dfrac {FL ^ 3} {12} + C_2L + C_4 = 0 dlatego C_4 = - dfrac {FL ^ 3} {6} - C_2L theta left (dfrac {L} {2} ^ + right) = theta left (dfrac {L} {2} ^ - right) dlatego dfrac {FL ^ 2} {16} + C_1 = dfrac {FL ^ 2} {4} - dfrac {FL ^ 2} {16} + C_2 dlatego C_1 = dfrac {FL ^ 2} {8} + C_2 delta po lewej (dfrac {L} {2} ^ + po prawej) = delta po lewej (refrak {L} {2} ^ - prawo) dlatego dfrac {FL ^ 3} {96} + frfrac {FL ^ 3} {16} + frfrac {C_2L} {2} = frfrac {FL ^ 3} {16} - frfrac {FL ^ 3 } {96} + dfrac {C_2L} {2} - dfrac {FL ^ 3} {6} - C_2L dlatego C_2 = - dfrac {9FL ^ 2} {48} dlatego C_1 = - dfrac {3FL ^ 2} {48} dlatego C_4 = dfrac {FL ^ 3} {48} end {gather} $$
Teraz, poprzez inspekcję, możemy łatwo zobaczyć, że ugięcie znajduje się w środku rozpiętości, więc obliczmy to (nie ma znaczenia, które równanie $ delta $ wybrałeś).
$$ delta left (dfrac {L} {2} right) = dfrac {1} {EI} left (dfrac {FL ^ 3} {96} - dfrac {3FL ^ 3} {96} } right) = - dfrac {FL ^ 3} {48EI} $$
Ten sam proces można powtórzyć dla belki wspornikowej, tylko że jest znacznie prostszy
$$ {wyrównaj} M & amp = FL - Fx EI theta = int M tekst {d} x & amp; = FLx - dfrac {Fx ^ 2} {2} + C_1 Delta EI = EI int theta {d} x & amp; = reffr {FLx ^ 2} {2} - dfrac {Fx ^ 3} {6} + C_1x + C_2 theta (0) i = C_1 = 0 delta (0) i = C_2 = 0 dlatego EI Delta & amp = =frac {FLx ^ 2} {2} - dfrac {Fx ^ 3} {6} dlatego delta (L) i = = frac {FL ^ 3} {3EI} end {align} $$
„Ja” nie zmienia się w różnych sytuacjach. „I” jest właściwością przekroju poprzecznego belki - prostokątem o szerokości w i głębokości h. Równania Eb są poprawne dla przedstawionych sytuacji, z następującymi zastrzeżeniami:
Pierwsza sytuacja nie dotyczy wiązki zamocowanej na obu końcach jest dla belki, która jest podparta na obu końcach, ale nie „naprawiona”. „Naprawiono” oznacza ciągłość momentu, w którym to przypadku „48” w równanie będzie równe „192”.
Druga sytuacja wymaga ustalenia warunku końcowego - jeśli tak jest obsługiwane, ale nie naprawione (co jest pokazane na diagramie), to jest mechanizmem.