Różnica między formami silnymi, słabymi i różnicowymi?

Niedawno omówiliśmy podstawowe prawa w naszym kursie mechaniki ciągłości obliczeniowej w ubiegłym roku. Istnieje wiele form tych praw i jestem zdezorientowany, który z nich użyć i kiedy.

Na przykład w ciągłości masy możemy napisać integralną wersję (nie będę tego tutaj pisać) jak zwykle. Następnie możemy użyć jakobijskiego do napisania tego w ten sposób $$ int_ {V_0} rho_0 - J rho dV $$ co można określić jako słabą formę. Następnie według lokalizacji możemy to zrobić $$ J (pmb {x}, t) = frak {rho_0 (t)} {rho (pmb {y}, t)} $$ gdzie $ pmb {y} (pmb {x}, t) $ jest zdeformowaną pozycją konfiguracji, a $ pmb {x} $ jest niezdeformowaną pozycją konfiguracji (jeśli ma to sens), która jest teraz formą silną. Czy to już nie jest wystarczająco dobre? Dlaczego nie użyjemy tego w naszym kodzie, ponieważ jest to również punktowe.

Możemy również wyprowadzić oczywiście różnicową formę $$ frak {częściowo rho} {częściowo t} + nabla cdot (rho pmb {u}) $$ gdzie $ u $ jest prędkością.

Jeśli po prostu chciałem gęstości z czasem, czy lepiej jest użyć silnej formy? Czy po prostu użyję formularza różnicowego, jeśli chcę uwzględnić prędkość, czy coś takiego? Również nasz wykładowca wspomniał, że jakobijska forma silna jest w formie Lagrangianu, ale różnica jest w formie Eulera. Znam znaczenie obu, ale nie jestem pewien, co to znaczy w tym kontekście.

Jeśli twój kurs rozpoczął się od niestrawnej dawki rachunku wielowymiarowego bez wielkiej dyskusji na temat tego, jak matematyka odnosi się do fizyki (a są z pewnością podręczniki na temat obliczeniowego CFD, które zaczynają się w ten sposób!), Odpowiedzi na te pytania mogą stać się jaśniejsze po rozpoczęciu rozwijanie rzeczywistych metod numerycznych i sprawdzanie, jak radzą sobie z rozwiązywaniem „prawdziwych” problemów.

Istnieją dwa podstawowe sposoby opracowania schematu rozwiązań numerycznych. Jednym ze sposobów jest rozważenie wartości ilości określonych w konkretne punkty w przestrzeni (np. punkty siatki siatki o skończonej różnicy). Metoda obliczeniowa ignoruje to, co dzieje się z wielkościami „między” punktami siatki, i masz nadzieję, że w miarę zwiększania liczby punktów obliczone wartości będą zbiegać się z rozwiązaniem podstawowych równań różniczkowych. (Czasami można udowodnić, że rozwiązanie zbiegnie się w tym sensie, ale dla większości problemów „rzeczywistego świata”, w których występują nieliniowe równania różniczkowe, nie można tego udowodnić).

Innym sposobem jest rozważenie wartości właściwości regiony przestrzeni - na przykład masa, energia i pęd „komórki elementarnej” zdefiniowanej przez otaczające ją punkty siatki oraz przepływy do i z komórki przez jej granice. Ma to tę zaletę, że metoda rozwiązania może zagwarantować, że spełnia pewne podstawowe prawa fizyczne, takie jak zachowanie masy i energii. Zazwyczaj metoda rozwiązania oparta wyłącznie na wartościach w określonych punktach nie spełnia automatycznie takich zasad zachowania, chociaż (jeśli jest to użyteczna metoda rozwiązania!) Zwiększenie liczby punktów rozwiązania powinno zmniejszyć błędy.

Jednak spełnienie globalnych praw ochrony niekoniecznie oznacza, że ​​wartości punktu siatki są „dokładne” - na przykład mogą występować niefizyczne oscylacje w sąsiednich punktach siatki, które nie wpływają na „średnią” energię, pęd itp.

Również nasz wykładowca wspomniał, że silna forma jakobijska jest w środku   Forma Lagrange'a, ale różnica jest w formie Eulera. Wiem, że   znaczenie obu, ale nie jestem pewien, co to znaczy w tym kontekście.

Nie wiedząc dokładnie, co zostało powiedziane (ani w notatkach z wykładu), nie jestem pewien, co to oznacza. Z pewnością można stworzyć cztery wersje formuły matematycznej, tj. Słabe i silne formy równań Lagrange'a lub Eulera - choć niektóre są bardziej intuicyjnie „oczywiste” niż inne. W rzeczywistości niektóre metody numeryczne wykorzystują kombinację więcej niż jednej z czterech opcji.