Muszę obliczyć $ K $ lub równoważną sztywność belki, która ma zmienną wartość $ I $ na całej swojej długości. $ I $ został mi podany jako funkcja $ x $ lub długość.
Nie udało mi się znaleźć odpowiedniego równania lub zestawu równań opisujących sposób uzyskania $ K $ w tej sytuacji. Znalazłem równania dla stałych wartości $ I $ na długości wiązek. Czy jest jakieś równanie, którego po prostu nie znam lub jakąś ogólną procedurę wyprowadzania $ K $ dla zmiennych wartości $ I $?
Odpowiedzi:
Można wstawić zmienną $ I (x) $ do równania całkowego dla obrotu i ugięcia.
Najpierw określ swój model. Następnie określ równanie momentu $ M (x) $. Następnie wprowadź to w równaniu rotacji.
rotacja: $ theta = int frac {M (x)} {E * I (x)} dx $
rozwiązać to równanie (lub pozwolić wolfram alfa zrób to dla siebie), dodaj odpowiednie warunki brzegowe (takie jak $ theta (0) = 0 $ dla wiązki zaciśniętej), a następnie rozwiń
odchylenie: $ uu = int heta dx $
i dodaj odpowiednie warunki brzegowe.
Powodzenia!
Krótka odpowiedź brzmi: nie możesz.
Nieco dłuższa odpowiedź brzmi: możesz, ale rozwiązanie jest specyficzne dla przyjętego przekroju.
Znacznie dłuższa odpowiedź pokaże teraz, dlaczego tak jest w przykładzie. W tym przykładzie po prostu weźmiemy prostą belkę wspornikową (ustaloną na $ x = 0 $) zakresu $ L $. Belka będzie miała zmienną sztywność $ E cdot I (x) $, ponieważ jest prostym prostokątnym przekrojem poprzecznym, z wysokością zmieniającą się (liniowo) od $ h_0 $ na stałym końcu do $ h_1 $ na wolnym końcu koniec. Zastosowane obciążenie będzie prostym skoncentrowanym obciążeniem $ P $ na wolnym końcu. Jakie jest odchylenie na wolnym końcu?
Jak już wspomniano @jos w swojej odpowiedzi, używamy równań wiązki.
Jest to wiązka izostatyczna, więc równanie momentu zginającego można trywialnie uzyskać jako
$$ M = P (L-x) $$
to musi być następnie podzielone przez sztywność belki, a wynik musi być zintegrowany, aby uzyskać styczną wiązki.
$$ heta = int limit_0 ^ L frac {P (L-x)} {E cdot I (x)} tekst {d} x $$
Tutaj już widzimy problem. W zwykłych wiązkach możemy po prostu usunąć $ EI $ z całki i przejść na naszą wesołą drogę. Tutaj jednak trzeba będzie zintegrować $ I (x) $.
Jakie jest równanie dla $ I (x) $? W tym przypadku tak będzie
$$ I (x) = frak {b cdot h (x) ^ 3} {12} = frak {b cdot z lewej (h_0 + z lewej (h_1-h_0 z prawej) dfrac {x} { L} right) ^ 3} {12} = frac {b cdot left (h_0 + Delta h reffr {x} {L} right) ^ 3} {12} $$
Więc teraz „musimy” po prostu znaleźć $ theta $.
$$ {zbieraj} theta = frac {1} {E} int frac {12P (Lx)} {b cdot po lewej (h_0 + Delta h dfrac {x} {L} po prawej) ^ 3} tekst { d} x theta = frak {6PL ^ 3} {Eb Delta h ^ 2} z lewej (frac {- Delta hL + 2 Delta hx + h_0L} {(Delta hx + h_0L) ^ 2} + C_1 dobrze) end {gather} $$
Już się brzydkie, prawda? Teraz musimy to jeszcze raz zintegrować, aby uzyskać odchylenie.
$$ {zbieraj} delta = frak {6PL ^ 3} {Eb Delta h ^ 2} int limit_0 ^ L po lewej (frak {- Delta hL + 2 Delta hx + h_0L} {(Delta hx + h_0L) ^ 2} + C_1 w prawo) tekst {d} x delta = frak {6P} {Eb Delta h ^ 2} z lewej (dfrac {L (Delta h + h_0)} {del h (Delta hx + h_0L)} + frfr {2 ln (Delta hx + h_0L)} {Delta h} + C_1x + C_2 z prawej) end {gather} $$
Teraz, aby znaleźć $ C_1 $ i $ C_2 $:
$$ {zbieraj} theta (0) = 0 = frak {- Delta hL + h_0L} {(h_0L) ^ 2} + C_1 dlatego C_1 = frac {Delta hL-h_0L} {(h_0L) ^ 2} delta (0) = 0 = dfrac {L (Delta h + h_0)} {Delta hh_0L} + dfrac {2 ln (h_0L)} {Delta h} + C_2 zatem C_2 = - dfrac {L (Delta h + h_0)} {Delta hh_0L} - dfrac {2 ln (h_0L)} {Delta h} end {gather} $$
$$ {wyrównaj} zatem delta = frakcja {6P} {Eb Delta h ^ 2} i lewa (defrac {L (Delta h + h_0)} {del h (Delta hx + h_0L)} + frak {2 ln (Delta hx + h_0L)} {Delta h} + fr {Delta hL-h_0L} {(h_0L) ^ 2} x- frfr {L (Delta h + h_0)} {Delta hh_0L} - ref {{ln (h_0L)} {Delta h }\dobrze) koniec {align} $$
I masz to. Aby sprawdzić moją pracę, utworzyłem belkę z $ h_0 = 200 tekst {mm} $, $ h_1 = 100 tekst {mm} $, $ b = 100 tekst {mm} $, $ L = 10 tekst {m} $, i $ E = 10000 tekst {MPa} $, i zastosował obciążenie $ P = 1 tekst {kN} $ na końcu.
Symulowałem wiązkę, przecinając ją na oddzielne segmenty, każdy o innym jednolitym przekroju. Aby przetestować czułość, stworzyłem dwa modele: jeden z dziesięcioma segmentami i jeden z dwudziestoma. Oto wyniki:
Używając powyższego równania, otrzymałem 81,78 mm, z błędem 1% w porównaniu z modelami. Biorąc pod uwagę te przybliżenia, wygląda to całkiem nieźle.
Z tego możemy oczywiście uzyskać sztywność wiązki: 1 $ tekst {kN} / 81,78 tekst {mm} = 12,2 tekst {kN / m} $
Więc teraz, kiedy już przez to przeszliśmy, czego możemy się nauczyć? Zasadniczo jest to naprawdę trudne. A rozwiązania nie są eleganckie. To był prawie najbardziej trywialny przekrój w historii, a sprawy stały się bałaganiarskie. Chodzi mi o to, że są to logarytmy do głośnego płaczu. Co zrobić, jeśli sekcja ma różną wysokość? i szerokość? Co jeśli sekcja nie zmienia się liniowo, ale wielomianowo (lub coś innego)? A gdybyśmy mieli do czynienia z asymetryczną sekcją I z sześcioma zmiennymi zmiennymi ($ t_ {f, top} $, $ b_ {f, top} $, $ t_ {f, bot} $, $ b_ {f, bot } $, $ t_ {w} $, $ h_ {w} $)?
Dlatego najczęstszym rozwiązaniem w przypadku sekcji zmiennych jest robienie tego, co robiłem: podzielenie wiązki na oddzielne segmenty, każdy o innym interpolowanym przekroju. Niektóre profesjonalne programy FEA sprawiają, że jest to łatwe, a niektóre mają nawet wbudowane sekcje zmienne, ale nie wiem, jak są zaimplementowane.