Matematyczny dowód, że napięcie RMS razy prąd RMS daje średnią moc

10

Wiem, że to prawda, ponieważ przeczytałem to w renomowanym źródle. Rozumiem także intuicyjnie, że moc jest proporcjonalna do kwadratu napięcia lub prądu dla obciążenia rezystancyjnego, a „S” w RMS oznacza „kwadrat”. Szukam twardego matematycznego dowodu.

Niech oznacza prąd w chwili , podobnie oznacza napięcie w tej chwili. Jeśli możemy zmierzyć napięcie i prąd we wszystkich chwilach, a nie ma chwil, oznacza to, że moc pozorna wynosi: $I_i$ $i$ $V_i$ $n$

P. = \frac{1}{n} \sum_{ja = ja}^{n} {ja}_{ja} {V.}_{ja}

$P = \frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$

Co to jest elegancki matematyczny dowód na to

P. = {ja}_{R M. S.} {V.}_{R M. S.}

$P = I_{RMS} V_{RMS}$

osiąga ten sam wynik dla obciążeń rezystancyjnych?

power math rms

— Phil Frost
źródło

Jeśli dobrze pamiętam, powinien istnieć dowód, że RMS jest najbliższym przybliżeniem rzeczywistej wartości sygnału w czasie trwania zainteresowania. Korzystając z tego, prawdopodobnie możemy udowodnić, że . Niestety wydaje się, że zgubiłem książkę, która miała na to dowód. :(

P = I_{r m s} V_{r m s} = \frac{1}{T 2 - T 1} \int_{T 1}^{T 2} V (t) I (t) d t

$P=I_{rms}V_{rms}=\frac{1}{T2-T1} \int_{T1}^{T2}V(t)I(t)dt$

— AndrejaKo

RMS prąd razy Napięcie RMS nie jest równe średniej mocy. Jest równa (średniej) mocy pozornej. Jeśli masz obciążenia nie rezystancyjne, może to mieć znaczenie.

— SomeoneSomewhereSupportsMonica

16

Prawo Ohma

1 : V (t) = I (t) R

$1: V(t) = I(t)R$

Natychmiastowe rozproszenie mocy jest iloczynem napięcia i prądu

2 : P (t) = V (t) I (t)

$2: P(t) = V(t)I(t)\\$

Zamień 1 na 2, aby uzyskać chwilową moc przez rezystor pod względem napięcia lub prądu:

3 : P (t) = I^{2} (t) R = \frac{V^{2} (t)}{R}

$3: P(t) = I^2(t)R = \frac{V^2(t)}{R}\\$

Średnia moc jest definitywnie całką mocy chwilowej w danym okresie, podzieloną przez ten okres. Zastąp 3, aby uzyskać średnią moc pod względem napięcia i prądu.

4 : P_{a v g} = \frac{\int_{0}^{T} P (t) d t}{T} = \frac{R \int_{0}^{T} I^{2} (t) d t}{T} = \frac{\int_{0}^{T} V^{2} (t) d t}{R T}

$4: P_{avg}=\frac{\int_0^T{P(t)dt}}{T}=\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}\\$

Definicja prądu RMS Kwadrat po obu stronach Pomnóż przez R, aby znaleźć równanie 4 dla średniej mocy Definicja napięcia RMS Kwadrat po obu stronach Podziel przez R, aby znaleźć równanie 4 dla średniej mocy Mnożenie wyrażeń 7 i 10 dla średniej mocy Pierwiastek kwadratowy z obu stron

5 : {ja}_{R M. S.} = \sqrt{\frac{\int_{0}^{T.} {ja}^{2)} (t) re t}{T.}}

$5: I_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}}\\$

6 : {ja}_{R M. S.}^{2)} = \frac{\int_{0}^{T.} {ja}^{2)} (t) re t}{T.}

$6: I_{RMS}^2 =\frac{\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}\\$

7 : {ja}_{R M. S.}^{2)} R = \frac{R \int_{0}^{T.} {ja}^{2)} (t) re t}{T.} = {P.}_{za v sol}

$7: I_{RMS}^2R =\frac{R\int_0^T{I^2(t)dt}}{T}=P_{avg}\\$

8 : {V.}_{R M. S.} = \sqrt{\frac{\int_{0}^{T.} {V.}^{2)} (t) re t}{T.}}

$8: V_{RMS}=\sqrt{\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}}\\$

9 : {V.}_{R M. S.}^{2)} = \frac{\int_{0}^{T.} {V.}^{2)} (t) re t}{T.}

$9: V_{RMS}^2=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{T}\\$

10 : \frac{{V.}_{R M. S.}^{2)}}{R} = \frac{\int_{0}^{T.} {V.}^{2)} (t) re t}{R T.} = {P.}_{za v sol}

$10: \frac{V_{RMS}^2}{R}=\frac{\int_0^T{V^2(t)dt}}{RT}=P_{avg}\\$

11 : {P.}_{za v sol}^{2)} = {V.}_{R M. S.}^{2)} {ja}_{R M. S.}^{2)}

$11: P_{avg}^2=V_{RMS}^2I_{RMS}^2\\$

12 : {P.}_{za v sol} = {V.}_{R M. S.} {ja}_{R M. S.}

$12: P_{avg} = V_{RMS}I_{RMS}\\$ CO BYŁO DO OKAZANIA

— Stephen Collings
źródło

6

Bardzo prostym dowodem (w dyskretnym przypadku próbkowania w pytaniu) jest podstawienie E / R na I w równaniu RMS

x_{r m s} = \sqrt{\frac{1}{n} (x_{1}^{2)} + x_{2)}^{2)} + x + \dots + x_{n}^{2)})} .

$x_{\mathrm{rms}}=\sqrt{\dfrac1n(x_1^2+x_2^2+x+\cdots+x_n^2)}.$

i bardzo prosta algebra.

I tak, to prawda, ponieważ jest określone, że mamy czysto rezystancyjne obciążenie, więc nie występuje problem kąta fazowego ani harmonicznych obecnych w I, które nie występują również w E.

EDYTOWAĆ

definicja RMS dla dyskretnych punktów (z Wikipedii):

x_{r m s} = \sqrt{\frac{1}{n} (x_{1}^{2)} + x_{2)}^{2)} + \dots + x_{n}^{2)})}

$x_{\mathrm{rms}} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 \right) }$

więc

{V.}_{R M. S.} = \sqrt{\frac{1}{n} ({V.}_{1}^{2)} + {V.}_{2)}^{2)} + \dots + {V.}_{n}^{2)})}

$V_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$

i

{ja}_{R M. S.} = \sqrt{\frac{1}{n} ({ja}_{1}^{2)} + {ja}_{2)}^{2)} + \dots + {ja}_{n}^{2)})}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( I_1^2 + I_2^2 + \cdots + I_n^2 \right) }$

i według prawa Ohma podstawienie :

{ja}_{ja} = {V.}_{ja} / R

$I_i = V_i/R$

{ja}_{R M. S.} = \sqrt{\frac{1}{n} (({V.}_{1} / R)^{2)} + ({V.}_{2)} / R)^{2)} + \dots + ({V.}_{n} / R)^{2)})}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( (V_1/R)^2 + (V_2/R)^2 + \cdots + (V_n/R)^2 \right) }$

następnie:

{ja}_{R M. S.} = \sqrt{\frac{1}{n} ({V.}_{1}^{2)} / R^{2)} + {V.}_{2)}^{2)} / R^{2)} + \dots + {V.}_{n}^{2)} / R^{2)})}

$I_{RMS} = \sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2/R^2 + V_2^2/R^2 + \cdots + V_n^2/R^2 \right) }$

Wyciąganie 1 / R ^ 2

{ja}_{R M. S.} = \frac{1}{R} \sqrt{\frac{1}{n} ({V.}_{1}^{2)} + {V.}_{2)}^{2)} + \dots + {V.}_{n}^{2)})}

$I_{RMS} = \frac{1}{R}\sqrt{ \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right) }$

więc:

{V.}_{R M. S.} * {ja}_{R M. S.}

$V_{RMS} * I_{RMS}$ to:

1 / R (\frac{1}{n} ({V.}_{1}^{2)} + {V.}_{2)}^{2)} + \dots + {V.}_{n}^{2)}))

$1/R( \frac{1}{n} \left( V_1^2 + V_2^2 + \cdots + V_n^2 \right))$

dystrybucja 1 / R:

(\frac{1}{n} ({V.}_{1}^{2)} / R + {V.}_{2)}^{2)} / R + \dots + {V.}_{n}^{2)} / R))

$( \frac{1}{n} \left( V_1^2/R + V_2^2/R + \cdots + V_n^2/R \right))$

Ponowne użycie podstawienia prawa Ohma:

(\frac{1}{n} ({V.}_{1} {ja}_{1} + {V.}_{2)} {ja}_{2)} + \dots + {V.}_{n} {ja}_{n}))

$( \frac{1}{n} \left( V_1I_1 + V_2I_2 + \cdots + V_nI_n \right))$

który jest:

\frac{1}{n} \sum_{ja = ja}^{n} {ja}_{ja} {V.}_{ja}

$\frac{1}{n} \sum_{i=i}^n I_i V_i$

— George White
źródło

Jeśli algebra jest prosta, możesz nam pokazać? Możesz użyć znaczników LaTeX do wpisania matematyki.

— Phil Frost

4

Dzięki za zachętę. Nie korzystałem z LaTexa od 1983 roku.

— George White

0

Kluczem jest to, że w przypadku obciążenia rezystancyjnego napięcie i prąd są w fazie.

Jeśli napięcie i prąd są równe , to ich iloczyn jest równy . Moc jest falą sinusoidalną o podwójnej częstotliwości, która oscyluje około . Jest to jego średnia w czasie („średnia” „kwadratu”). Pierwiastek średniego kwadratu to . Tam otrzymujemy magiczną liczbę. $\sin(t)$ $\sin^2(t) = 1/2 + 1/2 \sin(2t)$ $1/2$ $\sqrt{1/2} = 1/\sqrt{2} = \sqrt{2}/2 \approx 0.707$

Pierwotne średnie napięcie lub prąd kwadratowy to napięcie i prąd równoważne DC, które z czasem spowodują takie samo rozproszenie mocy . Jeśli średnie rozproszenie mocy wynosi W, wówczas takie rozproszenie mocy może być stale wytwarzane przez VDC pomnożone przez A DC. $1/2$ $\sqrt{2}/2$ $\sqrt{2}/2$

Jeśli prąd i napięcie są poza fazą 90 stopni (czyste obciążenie bierne), wówczas możemy myśleć o jednym jako a drugim o . Obowiązująca równość to zatem . Przebieg mocy nie jest już „tendencyjny”, aby oscylować wokół ; jego średnia wynosi zero: moc przepływa do obciążenia z naprzemiennych półcyklów, a fala mocy waha się dodatnio i ujemnie. $\cos(t)$ $\sin(t)$ $\sin(t)\cos(t) = 1/2 \sin(2t)$ $1/2$

Aby odpowiedzieć na pytanie, napięcie i prąd RMS są definiowane na podstawie średniej mocy: każda z nich jest uzyskiwana z pierwiastka kwadratowego średniej mocy. Pomnożenie dwóch wartości uzyskanych z pierwiastka kwadratowego mocy średniej, odzyskuje moc średnią.

— Kaz
źródło

Myślę, że odpowiedź Stephena Collinga jest najlepsza. Nie opiera się na szczegółach kształtu fali i obejmuje przypadek continuos. Również „pierwiastkowe średnie kwadratowe napięcie lub prąd to napięcie i prąd równoważny DC, które z czasem spowodują takie samo rozproszenie mocy” wydaje się odpowiadać na pytanie, przyjmując odpowiedź, a następnie idąc w kółko, aby uzyskać odpowiedź.

— George White

-2

Uprośćmy bardziej ten problem bez matematyki. Weź ten prosty obwód, który wytwarza kwadratowy przebieg o czasie 10 sekund.

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Napięcie jest takie

wprowadź opis zdjęcia tutaj

i obecny jest

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Wtedy będzie kształt fali mocy

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Gdy przełącznik jest otwarty, rezystor nie jest zasilany, więc całkowita energia wynosi 10 watów x 5 sekund = 50 dżuli i jest taka sama, jak przyłożymy 5 watów w 10 sekund wprowadź opis zdjęcia tutaj

i to jest średnia moc. Średnie napięcie wynosi 5 woltów, a średni prąd wynosi 0,5 ampera. Wykonując proste obliczenia, średnia moc daje 2,5 W lub 25 Dżuli, co nie jest prawdą.

Zróbmy więc tę sztuczkę Z TYM ZAMÓWIENIEM:

Najpierw kwadrat napięcie (i prąd)
Następnie weź średnią kwadratową
Następnie oblicz pierwiastek kwadratowy średniej

Kwadrat fali napięcia będzie wynosił

wprowadź opis zdjęcia tutaj

A średnia to 50 V ^ 2 (nie 50 ^ 2 woltów). Od tego momentu zapomnij o przebiegu. Tylko wartości. Pierwiastek kwadratowy powyższej wartości wynosi 7.071… woltów RMS. Robiąc to samo z prądem, uzyskasz 0,7071..A RMS, a średnia moc wyniesie 7,071 V x 0,7071 A = 5 Watów

Jeśli spróbujesz zrobić to samo z mocą RMS, wynik będzie bezwartościowy 7,071 W.

Zatem jedyną równoważną mocą grzewczą jest średnia moc, a jedynym sposobem obliczenia jest użycie wartości skutecznych napięcia i prądu

— GR Tech
źródło

Czy nie możemy obliczyć średniej mocy rozproszonej w rezystorze jako średniej mocy chwilowej? Gdzie jest matematyczny dowód, o który wnioskował PO?

— Joe Hass

W przypadku niektórych skomplikowanych przebiegów poza kursem musimy je zintegrować, używając przedziałów czasowych bliskich zeru, aby uzyskać dokładne wartości średnie. W ogóle unikam matematyki, dlatego używam fali prostokątnej, która bardzo łatwo jest dostrzec znaczenie średniej. RMS jest również wartością średnią.

— GR Tech

Wydaje mi się, że wykazujesz, że rzeczywista średnia moc wynosi 5 watów, a RMS V * RMS I = 5 watów, co dowodzi, że w tym przypadku OP jest poprawny. Pokazujesz również, że w tym przypadku średnia V * średnia I = 2,5 wata.

— George White

Dobrze, rozumiem. Problem językowy ponownie. Próbowałem powiedzieć, że obliczenie Vavg x Iavg jest nieprawidłowe. Dzięki za zniechęcenie mnie!

— GR Tech

Jeżeli „RMS jest również wartością średnią”, dlaczego wartość RMS napięcia linii energetycznej nie jest równa 0,0 V, podobnie jak wartość średnia?

— Joe Hass