Dlaczego używamy

W analizie AC gdy mamy do czynienia z lub . Ale dla transformaty Laplace'a .s L 1 / s C s = σ + j $s=j\omega$$sL$$1/sC$$s=\sigma+j\omega$

Przepraszam za dwuznaczność, ale chciałbym połączyć poniższe pytania:

• Dlaczego sigma jest równa zeru?
• Czy częstotliwość neper jest z tym związana?
• Czy sigma jest równa zeru, ponieważ sygnał wejściowy jest sinusoidą stałej ?$\pm V_{max}$

Oczywiście , z definicji. Dzieje się tak, że jest ignorowana, ponieważ przyjmuje się, że wynosi zero. Powodem jest to, że patrzymy na reakcję układu na okresowe (a tym samym nie rozkładające się) sygnały sinusoidalne, przez co Laplace dogodnie redukuje się do Fouriera wzdłuż osi urojonej. Oś rzeczywista w domenie Laplace'a reprezentuje wykładnicze czynniki rozpadu / wzrostu, których nie mają czyste sygnały i których Fourier nie modeluje.$s = \sigma + j\omega$$\sigma$

Do analizy prądu przemiennego zakłada się, że obwód ma źródła sinusoidalne (o tej samej częstotliwości kątowej ) i że wszystkie stany przejściowe zanikły. Ten stan jest znany jako sinusoidalny stan ustalony lub stan ustalony AC .$\omega$

Umożliwia to analizę obwodu w dziedzinie fazorów .

Stosując formułę Eulera mamy:

$v_A(t) = A \cos(\omega t + \phi) = \Re(Ae^{j\phi}e^{j\omega t})$

Fazor związany z to wtedy który jest tylko złożoną stałą, która zawiera informacje o wielkości i fazie sygnału w dziedzinie czasu.→ V a = A e j $v(t)$$\vec V_a = Ae^{j\phi}$

Wynika z tego, że w tych warunkach możemy analizować obwód, śledząc napięcia i prądy fazorów, stosując następujące zależności:

$\dfrac{\vec V_l}{\vec I_l} = j\omega L$

$\dfrac{\vec V_c}{\vec I_c} = \dfrac{1}{j\omega C}$

$\dfrac{\vec V_r}{\vec I_r} = R$

Następnie odzyskujemy rozwiązanie w dziedzinie czasu za pomocą formuły Eulera.

Obecnie istnieje głęboki związek między analizą fazorową a analizą Laplace'a, ale ważne jest, aby pamiętać o pełnym kontekście analizy prądu przemiennego, który znowu:

$\omega$

(2) wszystkie stany przejściowe zanikły

$S=j\omega$

$\sigma=0$

Możesz znaleźć więcej na tej stronie Stanford .

Analiza funkcji przeniesienia transformaty Laplace'a (TF) daje pełną odpowiedź na sinusoidalny sygnał wejściowy od t = 0. Rozwiązanie ogólnie zawiera warunki przejściowe, które rozkładają się do zera wykładniczo, oraz warunki ustalone, które pozostają po zniknięciu wykładniczych. Kiedy mamy bieguny i zera TF, np. S = -a + jw, część „-a” daje odpowiedź wykładniczą (e ^ -at), a część jw daje sinusoidalną odpowiedź w stanie ustalonym: (e ^ jwt) = cos (wt) + jsin (wt). Jeśli interesuje nas tylko część odpowiedzi w stanie ustalonym (jak w przypadku analizy odpowiedzi częstotliwościowej), możemy po prostu użyć podstawienia s = jw w TF.

Zauważ, że e ^ jx = cos (x) + jsin (x) to „Tożsamość Eulera” i jest to jedna z najważniejszych i najbardziej przydatnych relacji w nauce i inżynierii.

Jest to używane tylko w przypadku „Sin” i „Cos”, co ma miejsce w przypadku sygnału prądu przemiennego. Uwaga: Laplace transnform sin (at) lub cos (at) „1 / jw + a” lub „jw / jw + a”, że można to udowodnić za pomocą tożsamości grzechu i cos za pomocą tożsamości Eulera, która jest w zasadzie tylko 2 wykładnicze, a wykładzina wykładnicza ma tylko część urojoną „jw”.

Spiszę dowód i opublikuję go tutaj. :)

Jeśli spojrzysz na wzór transformaty Fouriera i Laplace'a, zobaczysz, że „s” to transformata Laplace'a zastąpiona przez „jw” w transformacie Fouriera. Dlatego możesz uzyskać transformatę Fouriera z transformaty Laplace'a, zastępując „s” „jw”.