Napięcie na kondensatorze

12

Uczę się znajdować spadki napięcia na kondensatorach w obwodach prądu stałego. wszyscy wiemy, że kondensator ładuje się, dopóki nie zrówna się z napięciem wejściowym (zakładając, że początkowy ładunek kondensatora wynosi zero). Jeśli zostanie przyłożone napięcie stałe

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Dla powyższego obwodu Vc = Vs (1-exp (-t / rc))

Teraz zastanawiałem się nad małym złożonym obwodem, takim jak poniżej. wprowadź opis zdjęcia tutaj

Tutaj kondensator nie jest bezpośrednio podłączony do źródła napięcia. Po googlowaniu odkryłem, że obwód można rozwiązać, biorąc pod uwagę kondensator jako obciążenie i znajdując Voc i Rth, używając twierdzenia Thevenina (lub jego podwójnego twierdzenia Nortona). Teraz wartość R w stałej czasowej zastępuje się wartością Rth, a napięcie Vs napięciem Vth.

Wreszcie napięcie na kondensatorze, Vc = Vth (1-exp (-t / RthC))

Teraz rozważałem bardziej złożony obwód. Załóżmy, że obwód składa się z więcej niż jednego kondensatora w obwodzie. Coś jak poniżej.

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Teraz utknąłem tutaj. Jak rozwiązać problem napięć na kondensatorach C1 i C2.

Zastanawiam się, jakie byłyby równania napięcia kondensatora dla obu kondensatorów. Jeśli jest jeden kondensator, zastosowaliśmy twierdzenie Thevinina, ale jak rozwiązać, jeśli mam więcej niż jeden kondensator w obwodach prądu stałego.

Vc1 = Vunknown1 (1-exp (-t / Runknown1 C1) Vc2 = Vunknown2 (1-exp (-t / Runknown2 C2)

Jak rozwiązać Vunknown1, Vunknown2, Runknown1 i Runknown2. Czy ktoś mógłby mi uprzejmie wyjaśnić. Jak rozwiązać, jeśli napotkamy tego rodzaju obwody. Prosimy mi pomóc przez to. Dziękuję.

capacitor

— niko
źródło

2

Proszę wziąć pod uwagę, że inżynieria jest nauką poprawności. Twój komentarz „(zakładając, że początkowy ładunek kondensatora wynosi zero)” nie jest poprawny w tym kontekście. Końcowe napięcie na kondensatorze będzie nadal równe napięciu wejściowemu, nawet jeśli kondensator miał jakiś ładunek początkowy, czy nie. Komentarz naprawdę ma zastosowanie tylko w przypadku korzystania z formuł w celu ustalenia czasu do pełnego naładowania. W takim przypadku należy wziąć pod uwagę opłatę początkową lub stwierdzić, że na początku jest to zero.

— Michael Karas

1

W przypadku prądu stałego wyjmij kondensatory, oblicz napięcie stałe, wymień kondensatory. Kondensatory przyjmą te same napięcia prądu stałego w zbliżonym czasie, jakby nigdy ich nie było. To sprawia, że obwód 3 jest trywialny. Jeśli masz problemy z obliczeniem napięć DC w 3, spróbuj dodać konceptualny nieskończony rezystor do ujemnego z dowolnego punktu lub punktów, zgodnie z wymaganiami. np. w lokalizacji C2, jeśli potrzebujesz pomocy w wizualizacji. Odpowiedź powinna być intuicyjna i oczywista po zapoznaniu się z zasadą.

— Russell McMahon,

9

Rozwiązywanie trudnych zadań 3 za pomocą równań różniczkowych:

Na początek równania te mają zawsze zastosowanie dla dowolnego kondensatora

i = C d V / d t

$i = CdV/dt$

W obwodzie, który podałeś, mamy dwa nieznane napięcia (V1 na C1 i V2 na C2). Można je rozwiązać, stosując bieżące prawa Kirchoffa na dwóch węzłach.

Dla węzła V1:

(V_{s} - V_{1}) / R_{1} = C_{1} d V_{1} / d t + (V_{1} - V_{2}) / R_{2}

$(V_s-V_1)/R_1 = C_1 dV_1/dt + (V_1-V_2)/R_2$

A dla węzła V2:

(V_{1} - V_{2}) / R_{2} = C_{2} d V_{2} / d t

$(V_1-V_2)/R_2 = C_2 dV_2/dt$

Teraz mamy dwa równania różniczkowe w dwóch niewiadomych. Rozwiąż oba jednocześnie, a otrzymamy wyrażenia dla V1 i V2. Po obliczeniu V1 i V2 obliczenie prądów przez gałęzie jest banalne.

Oczywiście rozwiązywanie równań różniczkowych nie jest trywialne, więc generalnie używamy transformaty Laplace'a lub transformaty Fouriera do przekształcenia ich w proste równania algebraiczne w dziedzinie częstotliwości, rozwiązania dla niewiadomych, a następnie wykonania odwrotnej transformacji Laplace'a / Fouriera, aby ponownie wprowadzić niewiadome domena czasu.

Metoda 2: Użyj reguły dzielnika napięcia:

Jeśli przypomnimy sobie, że impedancja na kondensatorze C wynosi i oznacza impedancje dwóch kondensatorów C1 i C2 jako Z1 i Z2, możemy obliczyć V2 za pomocą wzoru na podział napięcia na dwie impedancje ( http: // en.wikipedia.org/wiki/Voltage_divider ): V1 można również obliczyć przy użyciu tej samej reguły, jedynym problemem jest to, że impedancja po prawej stronie węzła 1 jest nieco złożona: jest to równoległa kombinacja Z1 i (R2 + Z2). V1 staje się teraz

Z = 1 / j w C

$Z=1/jwC$

V_{2} = V_{1} R_{2} / (R_{2} + Z_{2})

$V_2 = V_1 R_2/(R_2 + Z_2)$

V_{1} = V_{s} (Z_{1} * (R_{2} + Z_{2}) / (Z_{1} + R_{2} + Z_{2})) / (R_{1} + (Z_{1} * (R_{2} + Z_{2}) / (Z_{1} + R_{2} + Z_{2})))

$V_1 = V_s (Z_1*(R_2+Z_2)/(Z_1+R_2+Z_2))/(R_1 + (Z_1*(R_2+Z_2)/(Z_1+R_2+Z_2)))$

Następnie należy rozszerzyć Z1 i Z2 za pomocą wzoru impedancji pojemnościowej, aby uzyskać V1 i V2 pod względem w. Jeśli potrzebujesz pełnej odpowiedzi czasowej zmiennych, możesz wykonać odwrotne transformaty Fouriera i uzyskać V1 i V2 jako funkcje czasu. Jeśli jednak potrzebujesz tylko końcowej wartości (stanu ustalonego), po prostu ustaw i oceń V1 i V2.

w = 0

$w=0$

Raczej prostszy sposób:

Ta metoda może podać tylko końcowe wartości stanu ustalonego, ale jest nieco przydatna do szybkich obliczeń. Problem polega na tym, że gdy obwód ustabilizuje się, prąd w każdym kondensatorze wyniesie zero. Weźmy na przykład pierwszy obwód (prosty RC). Fakt, że prąd przechodzący przez C wynosi zero, dyktuje prąd przechodzący przez R (a zatem spadek napięcia na nim) również równy zeru. Dlatego napięcie na C będzie równe Vs.

W drugim obwodzie cały prąd musi przejść przez ścieżkę R1-> R2-> R3, jeśli kondensator nie pobiera prądu. Oznacza to, że napięcie na C (równe napięciu na R2) wynosi

V_{s} R_{2} / (R_{1} + R_{2} + R_{3})

$V_s R_2 / (R_1 + R_2 + R_3)$

W ostatnim obwodzie prąd przez C2 równy zero oznacza, że prąd przez R2 jest zerowy (a zatem jakikolwiek spadek napięcia na nim). Oznacza to, że każdy przepływający prąd musi przyjmować ścieżkę R1-> C1. Jednak prąd płynący przez C1 jest również zerowy, co oznacza, że R1 również nie przenosi prądu. Zatem zarówno napięcia V1, jak i V2 będą równe Vs w stanie ustalonym

— nav
źródło

0

Moim zdaniem, jeśli znasz się na analizowaniu obwodów za pomocą równań pętli i transformat Laplace'a, byłby to najlepszy wybór. Analiza obwodów za pomocą transformat Laplace'a ma taką samą moc jak przy użyciu klasycznych równań różniczkowych, ale jest o wiele łatwiejsza.

Teraz, aby bezpośrednio zastosować transformatę Laplace'a, używamy

1) X_L (impedancja induktora) jako sL

2) X_C (impedancja kondensatora) jako 1 / (sC)

3) R (Resistance) as is

wszystkie przy założeniu zerowych warunków początkowych.

Dla twojego problemu, zakładając prądy w obu pętlach zgodnie z ruchem wskazówek zegara;

V (s) = I1 (R1 + 1 / sC1) - I2 (1 / sC2) ------- pętla 1

0 = I1 (1 / sC1) - I2 (1 / (sC1) + R2 + 1 / (sC2)) --- pętla 2

Dwa równania dla dwóch niewiadomych. Odpowiedź dla I1 i I2 będzie w domenie s. Więc weź odwrotną transformatę Laplace'a. Kiedy już mamy prądy, napięcia są również łatwe do znalezienia.

Alternatywnie metodę węzłów można zastosować bezpośrednio w celu uzyskania napięć.

— Przemyt plutonu
źródło

Jak tylko to stare pytanie, warto dodać więcej szczegółów na temat stosowania transformacji Laplace'a. Druga odpowiedź już wspomina, że technika jest łatwiejsza.

— PeterJ

Zgoda. Odpowiednio zmodyfikowałem odpowiedź.

— Przemytnik plutonu

0

Najprostszym sposobem rozwiązania tego problemu byłoby umieszczenie obwodu w laplace, czyli w domenie częstotliwości. W dziedzinie częstotliwości zmienną zależną jest częstotliwość zamiast czasu. Istnieją równoważne wartości dla każdej charakterystyki obwodu.

L -> LS

C -> 1 / Cs

R -> R

v (t) -> V (S)

i tak dalej...

Zastąp je w swoim projekcie obwodu i możesz użyć podstawowych technik analizy obwodu; biorąc pod uwagę ograniczenia połączenia. Możesz również znaleźć równoważny obwód obwodowy tak jak poprzednio.

Należy jednak pamiętać, że aby przekształcić wynikowe funkcje w coś, czego można użyć, musisz wykonać odwrotną transformację la'place. Sugeruję poszukiwanie tabeli tożsamości i próbowanie, aby twoja funkcja wyglądała jak tożsamości poprzez manipulację algebraiczną.

Jeśli masz czas, jest to świetna umiejętność do nauczenia się i uprości i analizy obwodów, które będziesz musiał zrobić w przyszłych aplikacjach.

— Rysował
źródło