Czy książka myli się co do kryterium próbkowania Nyquista?

Czy poniższe stwierdzenie z książki jest nieprawidłowe?

Myślałem, że próbkowanie z podwójną składową najwyższej częstotliwości sygnału będzie wystarczające, aby całkowicie odzyskać sygnał. Ale powyżej napisano, że dwukrotne próbkowanie tworzy falę piły. Czy książka jest zła?

Myślałem, że próbkowanie z podwójną składową najwyższej częstotliwości sygnału będzie wystarczające, aby całkowicie odzyskać sygnał. Ale powyżej napisano, że dwukrotne próbkowanie tworzy falę piły. Czy książka jest zła?

Książka jest zła, ale nie z tego powodu, dla którego myślisz. Jeśli zmrużysz oczy na kropki wskazujące próbki, próbkuje z dwukrotnie większą częstotliwością, niż mówi.

Najpierw powinieneś narysować kilka sygnałów i samemu je wypróbować (lub użyć pakietu matematycznego, jeśli nie masz ochoty na ołówek i papier).

Po drugie, twierdzenie Nyquista mówi, że teoretycznie możliwa jest rekonstrukcja sygnału, jeśli już wiesz, że widmo zawartości sygnału jest ściśle mniejsze niż 1/2 częstotliwości próbkowania.

Odtwarzasz sygnał przez filtrowanie dolnoprzepustowe. Przed filtrowaniem sygnał może być zniekształcony, więc musisz wiedzieć, na co patrzysz, aby zobaczyć, że wynik może wyglądać OK. Co więcej, im bliższe jest spektrum zawartości sygnału do limitu Nyquista, tym ostrzejsze musi być odcięcie w filtrach anty-aliasowych i filtrach rekonstrukcyjnych. Jest to teoretycznie w porządku, ale w praktyce odpowiedź filtra w dziedzinie czasu wydłuża się w przybliżeniu proporcjonalnie do tego, jak gwałtownie przechodzi z pasma przepustowego do pasma zatrzymania. Ogólnie rzecz biorąc, jeśli możesz, próbujesz znacznie powyżej Nyquista.

Oto zdjęcie, które pasuje do tego, co powinna powiedzieć Twoja książka.

Przypadek A: jedna próbka na cykl (próbki stały się oczywiste)

Przypadek B: dwie próbki na cykl, lądując na skrzyżowaniach - zauważ, że jest to ten sam wynik, co jedna próbka na przypadek cyklu, ale tylko dlatego, że próbowałem pierwszą na skrzyżowaniach.

Przypadek C: Znowu dwie próbki na cykl, ale tym razem w skrajności. Jeśli próbkujesz dokładnie z dwukrotnie większą częstotliwością składową sygnału, nie możesz zrekonstruować. Teoretycznie możesz próbować och-tak-nieco niżej, ale potrzebujesz filtra z odpowiedzią impulsową, która obejmuje wystarczająco dużo wyniku, abyś mógł zrekonstruować.

Przypadek D: Próbkowanie przy 4x częstotliwości sygnału. Jeśli połączysz kropki, otrzymasz falę trójkąta, ale nie jest to poprawne - w próbkowanym czasie próbki istnieją tylko „w kropkach”. Zauważ, że jeśli przełożysz to przez porządny filtr rekonstrukcyjny, otrzymasz falę sinusoidalną z powrotem, a jeśli zmienisz fazę próbkowania, wówczas wyjście zostanie przesunięte równomiernie w fazie, ale jego amplituda się nie zmieni.

Zdjęcie B jest bardzo błędne. Zawiera bardzo ostre rogi w sygnale wyjściowym. Bardzo ostre rogi są równe bardzo wysokim częstotliwościom, znacznie wyższym niż częstotliwość próbkowania.

Aby spełnić twierdzenia o próbkach Nyquista, musisz filtrować dolnoprzepustowy zrekonstruowany sygnał. Po filtrowaniu dolnoprzepustowym sygnał B wyglądałby jak sygnał wejściowy, a nie jak trójkąt (ponieważ wszystkie ostre rogi nie mogą przejść przez filtr dolnoprzepustowy).

Aby być dokładnym, musisz dolnoprzepustowy zarówno sygnał wejściowy, jak i wyjściowy. Sygnał wejściowy musi być filtrowany dolnoprzepustowo, aby uzyskać maksymalnie połowę częstotliwości próbki, aby nie „zaginać” wyższych częstotliwości.

Niestety jest to powszechne wprowadzenie w błąd co do sposobu próbkowania. Bardziej poprawny opis użyje funkcji sinc do rekonstrukcji (polecam poszukiwanie funkcji sinc).

W rzeczywistych zastosowaniach niemożliwe jest posiadanie „idealnego” filtra dolnoprzepustowego (przepuszczającego wszystkie częstotliwości poniżej i blokującego wszystkie powyżej). Oznacza to, że normalnie próbkowałbyś z częstotliwością co najmniej 2,2 razy większą niż maksymalna częstotliwość, którą chcesz odtworzyć (przykład: jakość CD próbkowana z częstotliwością 44,1 kHz, aby umożliwić maksymalną częstotliwość 20 kHz). Nawet ta różnica utrudniłaby tworzenie filtrów analogowych - większość rzeczywistych aplikacji „oversample”, podobnie jak filtr dolnoprzepustowy częściowo w obszarze cyfrowym.

Twierdzenie o próbkowaniu stwierdza, że ​​sygnał można doskonale odtworzyć, jeśli częstotliwość próbkowania jest ściśle większa niż najwyższa zawartość częstotliwości w sygnale. Ale rekonstrukcja polega na wstawieniu (nieskończonych) impulsów cynku do każdej próbki. Z teoretycznego punktu widzenia jest to bardzo ważny wynik, ale w praktyce niemożliwy do osiągnięcia dokładnie. Na stronie książki opisano metodę rekonstrukcji polegającą na narysowaniu prostych linii między próbkami, co jest czymś zupełnie innym. Powiedziałbym więc, że książka jest poprawna, ale nie ma nic wspólnego z twierdzeniem o próbkowaniu.

Bardzo ładny artykuł przeglądowy to Unser: Sampling - 50 lat po Shannon . Twój problem wynika z faktu, że czyste, nieskończone sygnały sinusoidalne nie są objęte twierdzeniem Shannona o próbkowaniu. Twierdzeniem stosowanym dla sygnałów okresowych jest wcześniejsze twierdzenie Nyquista o próbkowaniu.

Twierdzenie Shannona o próbkowaniu dotyczy funkcji, które można przedstawić jako

$x(t)=\int\limits_{-W}^WX(f)e^{i2\pi ft}\,df$

gdzie X jest funkcją całkowitą do kwadratu. Następnie sygnał ten można dokładnie przedstawić z dyskretnych próbek jako

$x(t)=\sum\limits_{k=-\infty}^\infty x(k\frac{T}2)\frac{\sin(\pi W(t-k\frac{T}2))}{\pi W(t-k\frac{T}2)}$

$T=\frac1{W}$$\frac1t$

Funkcja czystej sinusoidy nie jest zawarta w tej klasie, ponieważ jej transformata Fouriera składa się z rozkładów Diraca-delta.

Wcześniejsze twierdzenie Nyquista o próbkowaniu stwierdza (lub ponownie interpretuje wcześniejszy wgląd), że jeśli sygnał jest okresowy z okresem T i najwyższą częstotliwością W = N / T , to jest to wielomian trygonometryczny

$x(t)=\sum\limits_{n=-N}^NX_ne^{i2\pi\frac{n}{T}t}$

o współczynnikach 2N + 1 (nietrywialnych) i współczynniki te można odtworzyć (za pomocą algebry liniowej) z próbek 2N + 1 w tym okresie.

Przypadek funkcji czystego sinusa należy do tej klasy. Obiecuje doskonałą rekonstrukcję, jeśli próbki 2N + 1 w czasie NT .

To, co zostało udostępnione z książki, nie mówi nic o „Kryterium próbkowania Nyquista” - chodzi tylko o próbkowanie punktowe fali sinusoidalnej za pomocą hipotetycznego ADC, a następnie (niejawnie) konstruowanie sygnału wyjściowego przy użyciu (nie wspomnianego) prosty przetwornik cyfrowo-analogowy, który wykonuje liniową interpolację między wartościami próbki.

Biorąc pod uwagę ten kontekst, stwierdzenie tezy z „RYSUNKU 6.10” jest ogólnie poprawne i dobrze wykazane.

Wraz ze wzrostem częstotliwości próbkowania ADC poprawia się wierność cyfrowego sygnału.

Jeśli chcesz porozmawiać o wierności wyidealizowanej rekonstrukcji , to zupełnie inna sprawa. Jakakolwiek dyskusja na temat współczynnika Nyquista , sugeruje użycie interpolacji sinc, która znowu nie jest wymieniona na pokazanym rysunku.

Prawdziwą wadą tej figury jest pomysł, że próba punktowa jest sensowną koncepcją w inżynierii. W praktyce ADC zostanie podłączony do elementu czujnika, który działa przez gromadzenie rzeczywistego sygnału wejściowego przez pewien okres czasu.

To zabawne, ale ta liczba jest najwyraźniej błędna (wyłączona dwa razy) w odniesieniu do konkretnych częstotliwości próbkowania pokazanych na schematach - chociaż na pokazane „Wyjście” ma to wpływ tylko w przypadku „C”.

Korzystając z cytowanego oświadczenia, znalazłem niesamowicie podobny diagram w „Praktycznym podejściu do neurofizjologicznego monitorowania śródoperacyjnego” w dyskusji na temat przetwarzania kształtu fali EEG. Na ile warto, ta dyskusja obejmuje:

Twierdzenie opisujące minimalną częstotliwość próbkowania wymaganą dla ADC do wiernego przedstawienia sygnału analogowego jest znane jako twierdzenie Nyquista. Stanowi, że częstotliwość próbkowania ADC musi być większa niż dwukrotność częstotliwości składowej najszybszej kształtu fali.